新高考数学一轮复习讲义8.6《空间向量及其运算》(2份打包，解析版+原卷版)

§8.6　空间向量及其运算

1．空间向量的有关概念

2．空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b        ，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

概念方法微思考

1．共线向量与共面向量相同吗？

2．零向量能作为基向量吗？

3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　 　)

(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　 　)

(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　 　)

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　 　)

(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　 　)

(6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　 　)

题组二　教材改编

2．[P97A组T2]如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c   B.a＋b＋c

C．－a－b＋c   D.a－b＋c

3．[P98T3]正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．

题组三　易错自纠

4．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)

A．垂直   B．平行

C．异面   D．相交但不垂直

5．已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.

6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.

题型一　空间向量的线性运算

例1 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；

(2)＋.

跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________________.

(2)如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)

A.(－a＋b＋c)       B.(a＋b－c)

C.(a－b＋c)         D.(－a－b＋c)

题型二　共线定理、共面定理的应用

例2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)求证：BD∥平面EFGH.

思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较

跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？

(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？

题型三　空间向量数量积的应用

例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．

(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求的长；

(2)求与夹角的余弦值．

1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)

A．(0，3，－6)   B．(0，6，－20)

C．(0，6，－6)   D．(6，6，－6)

2．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

3．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)

A.   B．－2

C．0   D.或－2

4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(　　)

A．(3，0，0)   B．(0，3，0)

C．(0，0，3)   D．(0，0，－3)

5．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A.  B.  C．1  D.

7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.

8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.

9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．

10．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，

①(＋＋)2＝32；

②·(－)＝0；

③向量与向量的夹角是60°；

④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.

其中正确的序号是________．

11．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内．

12．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．

(1)求|2a＋b|；

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)

13.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

A．钝角三角形   B．锐角三角形

C．直角三角形   D．不确定

15．已知O(0,0,0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．

16．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．