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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数一等奖ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数一等奖ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.理解对数的概念，能够熟练地转化指数式与对数式.2.理解对数的运算性质.3.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.4.了解对数在简化运算中的作用.核心素养：数学抽象、数学运算
一、对数的概念 1.对数的概念一般地，如果ab＝N（a>0，a≠1），那么就称b是以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
【说明】规定a>0且a≠1是因为：（1）若a<0，则当N为某些值时，b的值不存在.如：b＝lg（-2）8不存在.（2）若a＝0，则①当N≠0时，b的值不存在.如：lg03（可理解为0的多少次幂是3）不存在.②当N＝0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即lg00有无数个值.（3）若a＝1，则①当N≠1时，b的值不存在.如：lg13不存在. ②当N＝1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即lg11有无数个值.因此规定a>0，且a≠1.
示例 在b＝lga-2（5-a）中，实数a的取值范围是 .
（2，3）∪（3，5）
2.指数式与对数式的关系根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，a≠1时，ab＝Nb＝lgaN.在ab＝N与b＝lgaN中，a，b，N是同一个代表符号，只是有不同的名称.
【注意】并非所有的指数式都可以直接化为对数式，如（-3）2＝9就不能直接写成lg-39＝2，只有符合a>0，a≠1，才有ab＝Nb＝lgaN.
由此可知：开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.
3.自然对数与常用对数
【方法技巧】求对数式lgaN（a>0，且a≠1，N>0）的值的步骤（1）设lgaN＝m；（2）将lgaN＝m写成指数式am＝N；（3）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即lgaN＝b.
二、对数的运算性质 1.对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，则（1）lga（MN）＝lgaM+lgaN. 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数对数的和.
2.对数运算性质与指数运算性质的对比
【巧记】 积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.
【说明】换底公式的用途和本质（1）换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，以此来解决对数求值问题.（2）换底公式的本质在于改变对数式的底数，以便进行计算和证明.究竟以哪个数为底数，由已知条件来决定.一般换成以10为底的常用对数.
【知识拓展】（1）lgab·lgbc＝lgac（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0）.（2）lgab·lgbc·lgca＝1（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1）.
【注意】（1）利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.（2）题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.
【方法总结】（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法：“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）.（2）对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“lg 5+lg 2＝1”来解题.（3）对含有多重对数符号的对数式，应从内向外逐层化简.
二、对数换底公式及其应用例 2 计算：（lg2125+lg425+lg85）×（lg52+lg254+lg1258）.
【方法技巧】利用换底公式，先将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数 ，然后运用对数的运算性质运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
【技巧点拨】与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.
【解】（1）由方程，得lg2（x+1）＝lg4（x+4）+1，∴ lg4（x+1）2＝lg4［4（x+4）］，∴ （x+1）2＝4（x+4），解得x＝5或x＝-3.经检验，知x＝-3不符合题意，舍去；x＝5为原方程的解.故原方程的解为x＝5.（2）方程两边取常用对数，得［（lg x）3-2lg x］lg x＝lg 0.1，整理，得（lg x）4-2（lg x）2+1＝0，∴ ［（lg x）2-1］2＝0，∴ （lg x）2＝1，则lg x＝±1，解得x＝10或x＝0.1.经检验，知x＝10与x＝0.1均为原方程的解.故原方程的解为x＝10或x＝0.1.
【点评】解对数方程就是将其转化为同底数的对数式求解，或通过换元转化为一般的代数方程求解，注意在将对数方程化为一般代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小都容易产生增根或漏掉原方程的根，故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验.
【方法技巧】对数方程的类型与解法
五、对数的实际应用例 5 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）A.2021年B.2022年C.2023年D.2024年
1.理解对数的概念，能够熟练地转化指数式与对数式.2.理解对数的运算性质.3.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.4.了解对数在简化运算中的作用.核心素养：数学抽象、数学运算
一、对数的概念 1.对数的概念一般地，如果ab＝N（a>0，a≠1），那么就称b是以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
【说明】规定a>0且a≠1是因为：（1）若a<0，则当N为某些值时，b的值不存在.如：b＝lg（-2）8不存在.（2）若a＝0，则①当N≠0时，b的值不存在.如：lg03（可理解为0的多少次幂是3）不存在.②当N＝0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即lg00有无数个值.（3）若a＝1，则①当N≠1时，b的值不存在.如：lg13不存在. ②当N＝1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即lg11有无数个值.因此规定a>0，且a≠1.
示例 在b＝lga-2（5-a）中，实数a的取值范围是 .
（2，3）∪（3，5）
2.指数式与对数式的关系根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，a≠1时，ab＝Nb＝lgaN.在ab＝N与b＝lgaN中，a，b，N是同一个代表符号，只是有不同的名称.
【注意】并非所有的指数式都可以直接化为对数式，如（-3）2＝9就不能直接写成lg-39＝2，只有符合a>0，a≠1，才有ab＝Nb＝lgaN.
由此可知：开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.
3.自然对数与常用对数
【方法技巧】求对数式lgaN（a>0，且a≠1，N>0）的值的步骤（1）设lgaN＝m；（2）将lgaN＝m写成指数式am＝N；（3）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即lgaN＝b.
二、对数的运算性质 1.对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，则（1）lga（MN）＝lgaM+lgaN. 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数对数的和.
2.对数运算性质与指数运算性质的对比
【巧记】 积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.
【说明】换底公式的用途和本质（1）换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，以此来解决对数求值问题.（2）换底公式的本质在于改变对数式的底数，以便进行计算和证明.究竟以哪个数为底数，由已知条件来决定.一般换成以10为底的常用对数.
【知识拓展】（1）lgab·lgbc＝lgac（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0）.（2）lgab·lgbc·lgca＝1（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1）.
【注意】（1）利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.（2）题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.
【方法总结】（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法：“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）.（2）对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“lg 5+lg 2＝1”来解题.（3）对含有多重对数符号的对数式，应从内向外逐层化简.
二、对数换底公式及其应用例 2 计算：（lg2125+lg425+lg85）×（lg52+lg254+lg1258）.
【方法技巧】利用换底公式，先将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数 ，然后运用对数的运算性质运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
【技巧点拨】与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.
【解】（1）由方程，得lg2（x+1）＝lg4（x+4）+1，∴ lg4（x+1）2＝lg4［4（x+4）］，∴ （x+1）2＝4（x+4），解得x＝5或x＝-3.经检验，知x＝-3不符合题意，舍去；x＝5为原方程的解.故原方程的解为x＝5.（2）方程两边取常用对数，得［（lg x）3-2lg x］lg x＝lg 0.1，整理，得（lg x）4-2（lg x）2+1＝0，∴ ［（lg x）2-1］2＝0，∴ （lg x）2＝1，则lg x＝±1，解得x＝10或x＝0.1.经检验，知x＝10与x＝0.1均为原方程的解.故原方程的解为x＝10或x＝0.1.
【点评】解对数方程就是将其转化为同底数的对数式求解，或通过换元转化为一般的代数方程求解，注意在将对数方程化为一般代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小都容易产生增根或漏掉原方程的根，故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验.
【方法技巧】对数方程的类型与解法
五、对数的实际应用例 5 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）A.2021年B.2022年C.2023年D.2024年
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