高中数学5.3 函数的单调性优质ppt课件

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这是一份高中数学5.3 函数的单调性优质ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了随堂小测等内容，欢迎下载使用。

1.理解函数的单调性、最值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性.2.掌握二次函数在闭区间上的最值问题.3.学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
2.单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f（x）在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.
【解读】（1）函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替.（2）有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数（常数函数）.（3）函数的单调性只能在定义域内讨论，因此求单调区间必须先求定义域. （4）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.
示例（1）下列说法正确的是（　）A.定义在（a，b）上的函数f（x），若存在x1，x2∈（a，b），且x1［-2，1），［3，5］
二、函数的最大（小）值1.函数的最大（小）值设y＝f（x）的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤ f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最大值，记为ymax＝f（x0）；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最小值，记为ymin＝f（x0）.
【解读】（1）最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2（x∈R）的最小值是0，有f（0）＝0.（2）最大（小）值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0））成立，也就是说，函数y＝f（x）的图象不能位于直线y＝ f（x0）的上（下）方.（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）至少有一个交点.
2.二次函数在闭区间上的最值初探二次函数在闭区间上一定有最大值和最小值，通常借助于二次函数在该区间上的简图，根据二次函数在该区间上的单调性，求出其最大值和最小值.
【解】（1）当a<0时，由图可知，f（x）在区间［0，2］上单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝-1，f（x）max＝f（2）＝3-4a.
示例　求f（x）＝x2-2ax-1在区间［0，2］上的最大值f（x）max和最小值f（x）min.
（2）当0≤a≤1时，由图可知，对称轴在区间［0，1］内，f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（2）＝3-4a.
（3）当1（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
（6）当f（x），g（x）都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f（x）g（x）也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则f（x）g（x）是减（增）函数.
（5）在f（x），g（x）的公共单调区间上，有如下结论：
【方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1【方法总结】利用函数单调性的定义，按照“取值——作差（商）——变形——定号——结论”的步骤探究函数的单调性并求出其单调区间，这是一种常用的方法，需要熟练掌握，在解题过程中一定要注意所给函数的定义域，如果题目中没有给出，那么要先求出函数的定义域.
例 3 函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x+y）＝f（x）+f（y）-1，当x>0时，f（x）>1，且f（3）＝4，则（　）A. f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3　 B. f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3C. f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2　 D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝2
例 4 画出函数y＝-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间.
【方法总结】先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态确定函数的单调区间.注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”字或“逗号”连接，不能用“∪”连接.
【方法总结】求复合函数的单调区间首先搞清楚复合的内外两层函数，并求出定义域，再考虑内外两层函数的单调性，利用相应区间上“同增异减”的法则，写出定义域内的单调区间.
【方法总结】运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.
例7 用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值为　　　　.
【方法总结】利用图象求函数最值的步骤（1）画出函数y＝f（x）的图象；（2）观察图象，找出图象的最高点和最低点；（3）写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
三、函数单调性的应用例9 设函数f（x）＝x2+（x-1）|x-a|+3（a∈R）.（1）当a＝0时，求函数的单调递减区间.（2）若函数f （x）在R上单调递增，求a的取值范围.
【方法总结】利用函数单调性求参数取值范围的两种思路1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.2.借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解.
【解析】函数f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝-1，函数在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增.由于x1例10 已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（0f（x2）C. f（x1）＝f（x2） D. f（x1）与f（x2）大小关系不确定
【方法总结】利用单调性比较大小的方法或解不等式的方法（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.（2）相关结论.①正向结论：若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当x1x2时， f（x1）>f（x2）.②逆向结论：若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当f（x1） f（x2）时，x1>x2.当y＝f（x）在给定区间上是减函数时，也有相应的结论.
例11 已知f（x）是定义在区间［-1，1］上的增函数，且f（x-2）

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