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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数一等奖课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数一等奖课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.了解幂函数的概念，会画出5个常见函数的图象，能根据简单的幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质.2.了解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的值大小.3.进一步体会分类讨论和数形结合的思想方法，掌握由特殊到一般的综合归纳方法，激发自主研究与总结的能力.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【思考】函数y＝x0是幂函数吗？
【思考】函数y＝1是幂函数吗？
虽然x0＝1，y＝x0是幂函数，但是y＝1不是幂函数，因为它不满足幂函数的结构特征.
2.五个常见幂函数的性质
【方法总结】幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，定义域要确保解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.
【方法技巧】幂值的大小的比较方法（1）比较大小问题一般是利用函数的单调性；（2）当不便利用单调性时，可以与0和1进行比较；（3）可以利用“作商法”比较大小，但要注意函数值的正负问题.
三、一般幂函数的图象和性质 幂函数y＝xα在第一象限的图象特征（1）当α>0时，幂函数的图象恒经过定点（0，0）和（1，1），且在［0，+∞）上为增函数.（2） 当α<0时，幂函数的图象恒经过定点（1，1），且在（0，+∞）上为增函数.（3） 在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数的指数α递增，即“指大图高，指小图低”.（4）按α＝0，α＝1，α>1，0<α<1，α<0五种类型，列表如下：
【点拨】一般幂函数的性质的研究策略（1）先求幂函数的定义域，注意分数指数幂先化为根式，再求其定义域.（2）若幂函数的定义域对称，先判定其奇偶性，注意这类幂函数一定具有奇偶性.（3）先作出幂函数在第一象限的图象，若定义域对称，利用奇偶性作出其它象限的图象，幂函数的图象一定不经过第四象限.（4）利用图象研究幂函数的性质.
上凸函数 下凹函数
2.幂函数的凹凸性如图给出了幂函数在第一象限内的图象，可根据上凸函数与下凹函数的定义判断幂函数的凹凸性.幂函数y＝xα，当0<α<1时，函数在（0，+∞）上是上凸函数；当α<0或α>1时，函数在（0，+∞）上是下凹函数.
【点评】显然运用函数图象求解简单直观，若通过代数运算，则需一定的运算能力.
【方法总结】判断一个函数是不是幂函数，依据是该函数是不是y＝xα（α为常数）的形式.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件.
（-∞，0）∪（0，+∞）
【分析】根据幂函数的图象与性质，分a>0和a<0讨论，利用排除法，即可解.【解析】由题意，当a>0时，函数y＝xa在（0，+∞）上单调递增，此时y＝ax+1a单调递增，且在纵轴上的截距为正数，排除C，D；当a<0时，函数y＝xa在（0，+∞）上单调递减，此时y＝ax+1a单调递减，排除A.故选B.
【方法总结】解决与幂函数图象有关的问题，关键是掌握幂函数的图象特征.先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小，若是负指数，再区分奇偶性，就可找到对应的解析式和图象之间的关系.
A B C D
【分析】根据已知条件，先求得f（x），g（x）的解析式为f（x）＝x2，g（x）＝x-2，在同一个坐标系中，分别画出两个函数的图象，观察图象得f（x）>g（x），f（x）＝g（x），f（x）
【方法总结】用幂函数的单调性，比较幂的大小的方法（1）直接法：若指数相同而底数不同，则通过幂函数的单调性比较大小.（2）中间量法：若指数不同而底数相同，则通过幂函数在第一象限内图象的高低来比较大小，具体来说：第一象限内，在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小（即“指大图高”）；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小（即“指小图高”）.（3）转化法：若指数不同底数也不同，则需引入中间量，利用幂函数的单调性或借助幂函数在第一象限内图象的高低来比较.
【点评】关键是会用幂函数的单调性和奇偶性进行合理转化，列出含参数的方程（组）或不等式（组）求解.
3.解不等式例 7 已知（a+1）-1<（3-2a）-1，求a的取值范围.
【分析】 （a+1）-1和（3-2a）-1可看做幂函数f（x）＝x-1的两个函数值，且f（x）＝x-1在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但f（x）在整个定义域上不是减函数.因此，要根据f（x）的单调性解决该题，必须要对a+1和3-2a的符号进行讨论.
【方法总结】利用幂函数的单调性解不等式的步骤利用幂函数的单调性解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；（3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.
6. ［多选题］已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如表：
1.了解幂函数的概念，会画出5个常见函数的图象，能根据简单的幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质.2.了解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的值大小.3.进一步体会分类讨论和数形结合的思想方法，掌握由特殊到一般的综合归纳方法，激发自主研究与总结的能力.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【思考】函数y＝x0是幂函数吗？
【思考】函数y＝1是幂函数吗？
虽然x0＝1，y＝x0是幂函数，但是y＝1不是幂函数，因为它不满足幂函数的结构特征.
2.五个常见幂函数的性质
【方法总结】幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，定义域要确保解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.
【方法技巧】幂值的大小的比较方法（1）比较大小问题一般是利用函数的单调性；（2）当不便利用单调性时，可以与0和1进行比较；（3）可以利用“作商法”比较大小，但要注意函数值的正负问题.
三、一般幂函数的图象和性质 幂函数y＝xα在第一象限的图象特征（1）当α>0时，幂函数的图象恒经过定点（0，0）和（1，1），且在［0，+∞）上为增函数.（2） 当α<0时，幂函数的图象恒经过定点（1，1），且在（0，+∞）上为增函数.（3） 在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数的指数α递增，即“指大图高，指小图低”.（4）按α＝0，α＝1，α>1，0<α<1，α<0五种类型，列表如下：
【点拨】一般幂函数的性质的研究策略（1）先求幂函数的定义域，注意分数指数幂先化为根式，再求其定义域.（2）若幂函数的定义域对称，先判定其奇偶性，注意这类幂函数一定具有奇偶性.（3）先作出幂函数在第一象限的图象，若定义域对称，利用奇偶性作出其它象限的图象，幂函数的图象一定不经过第四象限.（4）利用图象研究幂函数的性质.
上凸函数 下凹函数
2.幂函数的凹凸性如图给出了幂函数在第一象限内的图象，可根据上凸函数与下凹函数的定义判断幂函数的凹凸性.幂函数y＝xα，当0<α<1时，函数在（0，+∞）上是上凸函数；当α<0或α>1时，函数在（0，+∞）上是下凹函数.
【点评】显然运用函数图象求解简单直观，若通过代数运算，则需一定的运算能力.
【方法总结】判断一个函数是不是幂函数，依据是该函数是不是y＝xα（α为常数）的形式.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件.
（-∞，0）∪（0，+∞）
【分析】根据幂函数的图象与性质，分a>0和a<0讨论，利用排除法，即可解.【解析】由题意，当a>0时，函数y＝xa在（0，+∞）上单调递增，此时y＝ax+1a单调递增，且在纵轴上的截距为正数，排除C，D；当a<0时，函数y＝xa在（0，+∞）上单调递减，此时y＝ax+1a单调递减，排除A.故选B.
【方法总结】解决与幂函数图象有关的问题，关键是掌握幂函数的图象特征.先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小，若是负指数，再区分奇偶性，就可找到对应的解析式和图象之间的关系.
A B C D
【分析】根据已知条件，先求得f（x），g（x）的解析式为f（x）＝x2，g（x）＝x-2，在同一个坐标系中，分别画出两个函数的图象，观察图象得f（x）>g（x），f（x）＝g（x），f（x）
【方法总结】用幂函数的单调性，比较幂的大小的方法（1）直接法：若指数相同而底数不同，则通过幂函数的单调性比较大小.（2）中间量法：若指数不同而底数相同，则通过幂函数在第一象限内图象的高低来比较大小，具体来说：第一象限内，在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小（即“指大图高”）；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小（即“指小图高”）.（3）转化法：若指数不同底数也不同，则需引入中间量，利用幂函数的单调性或借助幂函数在第一象限内图象的高低来比较.
【点评】关键是会用幂函数的单调性和奇偶性进行合理转化，列出含参数的方程（组）或不等式（组）求解.
3.解不等式例 7 已知（a+1）-1<（3-2a）-1，求a的取值范围.
【分析】 （a+1）-1和（3-2a）-1可看做幂函数f（x）＝x-1的两个函数值，且f（x）＝x-1在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但f（x）在整个定义域上不是减函数.因此，要根据f（x）的单调性解决该题，必须要对a+1和3-2a的符号进行讨论.
【方法总结】利用幂函数的单调性解不等式的步骤利用幂函数的单调性解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；（3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.
6. ［多选题］已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如表：
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