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数学必修 第一册第7章 三角函数7.1 角与弧度优秀ppt课件
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这是一份数学必修 第一册第7章 三角函数7.1 角与弧度优秀ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了区域角，随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角.2.能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象
一 任意角的概念1定义一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.2角的表示在不引起混淆的前提下，将“角α”或“∠α”简记作α.如图提示 在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.3角的分类正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：一条射线没有作任何旋转.
角的概念推广到了任意角，包括正角、负角、零角.提示 1.当角的始边和终边确定，但旋转的方向和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定时，角不能确定.2.始边和终边重合的角不一定为零角，只有始边没有进行任何旋转，始边和终边重合的角才是零角.
示例［多选题］在下列说法中，说法错误的是（ ）A.小于180°的角是钝角、直角或锐角B.始边和终边重合的角是零角C.钟表的时针旋转而成的角是负角D.零角的始边和终边重合
解析 A.小于180°的角可能是钝角，直角或锐角，也可能是零角或负角，不正确；B.始边和终边重合的角相差360°的整数倍，可能是零角，也可能不是零角，不正确；C.钟表的时针是顺时针旋转而成的角，因而是负角，正确；D.零角的始边未做任何旋转，因而和终边重合，正确.
二 象限角、终边相同角1定义为了便于研究，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限，就说这个角为轴线角.2与角α终边相同的角的集合一般地，与α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°+α，k∈Z}.解读（1）α是任意角.（2）“k∈Z”有三层含义：①特殊性：每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性：表示所有与角α终边相同的角（包括α自身）.③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数时，逆时针方向旋转；k取负整数时，顺时针方向旋转；k＝0时，没有旋转.
（3）集合中的“k·360°”与“α”之间用“+”号连接，如k·360°-45°（k∈Z），应看作k·360°+（-45°） （k∈Z），表示与-45°角终边相同的角.提示 相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
知识拓展 象限角的集合表示
示例 在下列说法中：①第一象限角一定不是负角；②钝角都是第二象限角；③与-30°角终边相同的角都是第四象限角；④第二象限的角一定比第一象限的角大.其中错误说法的序号为 .
解析 ①-350°角是第一象限角，但它是负角，错误.②钝角的范围是大于90°且小于180°，显然是第二象限角，正确.③因为-30°是第四象限角，所以与-30°角终边相同的角都是第四象限角，正确.④象限角只能反映角的终边所在位置，不能反映角的大小.如376°是第一象限角，-190°是第二象限角，但376°>-190°，错误.
示例 你能说出下列角是第几象限角吗？ 131°；-76°.
解 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，画出这两角的终边如图所示，由图可知131°角为第二象限角，-76°角为第四象限角.
示例 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°+k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°+（2k+1）·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°+n·180°，n∈Z}.∴ S中适合-360°≤β<720°的元素是45°-2×180°＝-315°；45°-1×180°＝-135°；45°+0×180°＝45°；45°+1×180°＝225°；45°+2×180°＝405°；45°+3×180°＝585°.
归纳 终边落在各象限的角的集合可以借助如图所示的直角坐标系来记忆.
三 两个角终边对称或垂直的问题角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称性或互相垂直时，对应的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论.
知识拓展 轴线角的集合表示
1区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫作区间角，如{x|60°
一、判断任意角所在象限例 1 ［多选题］在①160°，②480°，③-960°，④1 530°这四个角中，是第二象限角的是（ ） A.①B.②C.③D.④
【解析】第二象限角α需满足k·360°+90°<α
二、终边相同的角的表示及应用1终边在某条射线上例 2 终边在函数y＝-x（x<0）的图象上的角β的集合S＝ .
【解析】函数y＝-x（x<0）的图象是一条射线，且是第二象限的角平分线，则{β|β＝135°+k·360°，k∈Z}，所以终边在函数y＝-x（x<0）的图象上的角β的集合S＝{β|β＝135°+k·360°，k∈Z}.
{β|β＝135°+k·360°，k∈Z}
【方法技巧】先在0°~360°范围内，确定终边落在射线或直线上的特殊角，再推广到一般情况，最后写出终边相同的角的集合.拓展：终边落在直线y＝x上的角的集合为S＝{α|α＝45°+k·180°，k∈Z}，终边落在直线y＝-x上的角的集合为S＝{α|α＝-45°+k·180°，k∈Z}.
{α|α＝60°+k·180°，k∈Z}
三、两个角的终边成对称问题例 4 角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为（ ）A. α+β＝k·360°，k∈Z B. α+β＝k·360°+180°，k∈ZC. α-β＝k·360°+180°，k∈Z D. α-β＝k·360°，k∈Z
【解析】（方法1：特殊值法）令α＝30°，β＝150°，则α+β＝180°，故α与β的关系为α+β＝k·360°+180°，k∈Z.（方法2：直接法）因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°-α+k·360°，k∈Z，即α+β＝k·360°+180°，k∈Z.
【方法总结】（1）若角α与β的终边关于x轴对称，则β＝-α+k·360°，k∈Z.（2）若角α与β的终边关于y轴对称，则β＝180°-α+k·360°，k∈Z.（3）若角α与β的终边关于原点对称，则β＝180°+α+k·360°，k∈Z.（4）若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则β＝-α+90°+ k·360°，k∈Z.
四、任意角终边位置的确定和表示例 5 在-360°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： （1）-480°；（2）640°.
【解】（1）与-480°终边相同的角的集合为M＝{α|α＝-480°+ k·360°，k∈Z}.当k＝1时，α＝-480°+1×360°＝-120°；当k＝2时，α＝-480°+2×360°＝240°，∴ 在-360°到360°范围内，与-480°终边相同的角是-120°和240°，都是第三象限的角.（2）与640°终边相同的角的集合为N＝{β|β＝640°+k· 360°，k∈Z}.当k＝-2时，β＝640°-2×360°＝-80°；当k＝-1时，β＝640°-1×360°＝280°，∴ 在-360°到360°范围内，与640°终边相同的角是-80°和280°，都是第四象限的角.
【方法总结】在给定范围内找与给定角α终边相同的角的方法（1）一般地，先写出与角α终边相同的角k·360°+α，k∈Z.（2）根据所给范围，对k进行赋值，求出具体的角.
例 7 已知α是第三象限角，则-α是第（ ）象限角.A.一B.二 C.三D.四
【解析】 ∵ α是第三象限角，∴ k·360°+180°<α
六、区间角的表示1.阴影为一部分的区间的表示例 8写出角的终边在图中阴影区域的角的集合（包括边界）.
【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|-150°+ k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z}.
【解题步骤】表示区间角的三个步骤（1）确定边界：按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；（2）写出终边相同的角：先按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°~360°范围内的角，再写出终边落在起始和终止边界的所有角；（3）写出区间角：按照逆时针方向，写出在起始边和终止边区间内的角的集合（或区间）.
2.阴影为两部分的区间角的表示例 9 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在第一象限的阴影区域内；（2）终边落在阴影区域内.
【解】 （1）终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线ON上的角的集合为C＝{α|α＝60°+k·360°，k∈Z}，故终边落在第一象限的阴影区域内的角的集合为D＝{α|45°+k· 360° ≤α<60°+k·360°，k∈Z}.（2）终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°+k· 360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°+ k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°+2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°+（2k+1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°+n·180°，n∈Z}.同理，终边落在直线ON上的角的集合为E＝{α|α＝60°+n·180°，n∈Z}，则终边落在阴影区域内的角的集合为F＝{α|45°+n·180°≤α<60°+n·180°，n∈Z}.
1. 已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C关系正确的是（ ）A. B＝A∩CB. B∪C＝C C. ACD. A＝B＝C2. 集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°，k∈Z}中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（ ） A B C D3. 若α与β终边相同，则α-β的终边落在（ ）A. x轴的非负半轴上 B. x轴的非正半轴上 C. y轴的非负半轴上 D. y轴的非正半轴上4. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α是（ ）A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角5.给出下列四个结论：①-15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④-350°角是第一象限角.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4
1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角.2.能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象
一 任意角的概念1定义一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边.2角的表示在不引起混淆的前提下，将“角α”或“∠α”简记作α.如图提示 在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.3角的分类正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：一条射线没有作任何旋转.
角的概念推广到了任意角，包括正角、负角、零角.提示 1.当角的始边和终边确定，但旋转的方向和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定时，角不能确定.2.始边和终边重合的角不一定为零角，只有始边没有进行任何旋转，始边和终边重合的角才是零角.
示例［多选题］在下列说法中，说法错误的是（ ）A.小于180°的角是钝角、直角或锐角B.始边和终边重合的角是零角C.钟表的时针旋转而成的角是负角D.零角的始边和终边重合
解析 A.小于180°的角可能是钝角，直角或锐角，也可能是零角或负角，不正确；B.始边和终边重合的角相差360°的整数倍，可能是零角，也可能不是零角，不正确；C.钟表的时针是顺时针旋转而成的角，因而是负角，正确；D.零角的始边未做任何旋转，因而和终边重合，正确.
二 象限角、终边相同角1定义为了便于研究，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限，就说这个角为轴线角.2与角α终边相同的角的集合一般地，与α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°+α，k∈Z}.解读（1）α是任意角.（2）“k∈Z”有三层含义：①特殊性：每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性：表示所有与角α终边相同的角（包括α自身）.③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数时，逆时针方向旋转；k取负整数时，顺时针方向旋转；k＝0时，没有旋转.
（3）集合中的“k·360°”与“α”之间用“+”号连接，如k·360°-45°（k∈Z），应看作k·360°+（-45°） （k∈Z），表示与-45°角终边相同的角.提示 相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
知识拓展 象限角的集合表示
示例 在下列说法中：①第一象限角一定不是负角；②钝角都是第二象限角；③与-30°角终边相同的角都是第四象限角；④第二象限的角一定比第一象限的角大.其中错误说法的序号为 .
解析 ①-350°角是第一象限角，但它是负角，错误.②钝角的范围是大于90°且小于180°，显然是第二象限角，正确.③因为-30°是第四象限角，所以与-30°角终边相同的角都是第四象限角，正确.④象限角只能反映角的终边所在位置，不能反映角的大小.如376°是第一象限角，-190°是第二象限角，但376°>-190°，错误.
示例 你能说出下列角是第几象限角吗？ 131°；-76°.
解 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，画出这两角的终边如图所示，由图可知131°角为第二象限角，-76°角为第四象限角.
示例 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°+k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°+（2k+1）·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°+n·180°，n∈Z}.∴ S中适合-360°≤β<720°的元素是45°-2×180°＝-315°；45°-1×180°＝-135°；45°+0×180°＝45°；45°+1×180°＝225°；45°+2×180°＝405°；45°+3×180°＝585°.
归纳 终边落在各象限的角的集合可以借助如图所示的直角坐标系来记忆.
三 两个角终边对称或垂直的问题角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称性或互相垂直时，对应的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论.
知识拓展 轴线角的集合表示
1区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫作区间角，如{x|60°
一、判断任意角所在象限例 1 ［多选题］在①160°，②480°，③-960°，④1 530°这四个角中，是第二象限角的是（ ） A.①B.②C.③D.④
【解析】第二象限角α需满足k·360°+90°<α
二、终边相同的角的表示及应用1终边在某条射线上例 2 终边在函数y＝-x（x<0）的图象上的角β的集合S＝ .
【解析】函数y＝-x（x<0）的图象是一条射线，且是第二象限的角平分线，则{β|β＝135°+k·360°，k∈Z}，所以终边在函数y＝-x（x<0）的图象上的角β的集合S＝{β|β＝135°+k·360°，k∈Z}.
{β|β＝135°+k·360°，k∈Z}
【方法技巧】先在0°~360°范围内，确定终边落在射线或直线上的特殊角，再推广到一般情况，最后写出终边相同的角的集合.拓展：终边落在直线y＝x上的角的集合为S＝{α|α＝45°+k·180°，k∈Z}，终边落在直线y＝-x上的角的集合为S＝{α|α＝-45°+k·180°，k∈Z}.
{α|α＝60°+k·180°，k∈Z}
三、两个角的终边成对称问题例 4 角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为（ ）A. α+β＝k·360°，k∈Z B. α+β＝k·360°+180°，k∈ZC. α-β＝k·360°+180°，k∈Z D. α-β＝k·360°，k∈Z
【解析】（方法1：特殊值法）令α＝30°，β＝150°，则α+β＝180°，故α与β的关系为α+β＝k·360°+180°，k∈Z.（方法2：直接法）因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°-α+k·360°，k∈Z，即α+β＝k·360°+180°，k∈Z.
【方法总结】（1）若角α与β的终边关于x轴对称，则β＝-α+k·360°，k∈Z.（2）若角α与β的终边关于y轴对称，则β＝180°-α+k·360°，k∈Z.（3）若角α与β的终边关于原点对称，则β＝180°+α+k·360°，k∈Z.（4）若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则β＝-α+90°+ k·360°，k∈Z.
四、任意角终边位置的确定和表示例 5 在-360°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： （1）-480°；（2）640°.
【解】（1）与-480°终边相同的角的集合为M＝{α|α＝-480°+ k·360°，k∈Z}.当k＝1时，α＝-480°+1×360°＝-120°；当k＝2时，α＝-480°+2×360°＝240°，∴ 在-360°到360°范围内，与-480°终边相同的角是-120°和240°，都是第三象限的角.（2）与640°终边相同的角的集合为N＝{β|β＝640°+k· 360°，k∈Z}.当k＝-2时，β＝640°-2×360°＝-80°；当k＝-1时，β＝640°-1×360°＝280°，∴ 在-360°到360°范围内，与640°终边相同的角是-80°和280°，都是第四象限的角.
【方法总结】在给定范围内找与给定角α终边相同的角的方法（1）一般地，先写出与角α终边相同的角k·360°+α，k∈Z.（2）根据所给范围，对k进行赋值，求出具体的角.
例 7 已知α是第三象限角，则-α是第（ ）象限角.A.一B.二 C.三D.四
【解析】 ∵ α是第三象限角，∴ k·360°+180°<α
六、区间角的表示1.阴影为一部分的区间的表示例 8写出角的终边在图中阴影区域的角的集合（包括边界）.
【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|-150°+ k·360°≤α≤150°+k·360°，k∈Z}.
【解题步骤】表示区间角的三个步骤（1）确定边界：按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；（2）写出终边相同的角：先按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°~360°范围内的角，再写出终边落在起始和终止边界的所有角；（3）写出区间角：按照逆时针方向，写出在起始边和终止边区间内的角的集合（或区间）.
2.阴影为两部分的区间角的表示例 9 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在第一象限的阴影区域内；（2）终边落在阴影区域内.
【解】 （1）终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线ON上的角的集合为C＝{α|α＝60°+k·360°，k∈Z}，故终边落在第一象限的阴影区域内的角的集合为D＝{α|45°+k· 360° ≤α<60°+k·360°，k∈Z}.（2）终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°+k· 360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°+ k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°+2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°+（2k+1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°+n·180°，n∈Z}.同理，终边落在直线ON上的角的集合为E＝{α|α＝60°+n·180°，n∈Z}，则终边落在阴影区域内的角的集合为F＝{α|45°+n·180°≤α<60°+n·180°，n∈Z}.
1. 已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C关系正确的是（ ）A. B＝A∩CB. B∪C＝C C. ACD. A＝B＝C2. 集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°，k∈Z}中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（ ） A B C D3. 若α与β终边相同，则α-β的终边落在（ ）A. x轴的非负半轴上 B. x轴的非正半轴上 C. y轴的非负半轴上 D. y轴的非正半轴上4. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α是（ ）A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角5.给出下列四个结论：①-15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④-350°角是第一象限角.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4
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