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高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.6 解三角形评优课课件ppt
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.6 解三角形评优课课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，解三角形，余弦定理，正弦定理，典例剖析等内容，欢迎下载使用。
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的解三角形问题.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素（其中至少包括一条边）就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形.
思考：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么在△ABC中隐含了哪些基本性质？
5.正弦定理的应用应用1：已知两角和一边，解三角形.其基本解法是：若所给边是已知角的对边，可由正弦定理求另一已知角的对边，再由三角形内角和定理求第三个角，最后由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.应用2：已知两边和其中一边的对角，解三角形.其基本解法是：先由正弦定理求出另一已知边所对的角，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边.
6.利用正弦定理确定三角形解的情况已知三角形两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他边和角时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.（1）在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与射线AB的公共点（除去顶点A）的个数即为三角形解的个数.解的个数见下表：
一、利用余弦定理解三角形
方法总结：利用余弦定理可以解三类解三角形问题1.已知三角形的两边及其夹角解三角形的一般步骤.（1）利用余弦定理求出第三边；（2）角的求解有两种思路：①先利用余弦定理的推论求出另一角，再利用三角形内角和定理求出第三个角；②利用正弦定理（已知两边和一边的对角）.求出另一角，再利用三角形内角和定理求出第三个角.注意：用正弦定理求角时，角的取值需根据“大边对大角”进行取舍；用余弦定理求角时，因为在（0，π）上，余弦值对应的角是唯一的，所以不需要分情况讨论.故用余弦定理求解较好.2.已知三角形的两边及一边的对角解三角形的一般步骤.（1）利用余弦定理求出第三边； （2）利用余弦定理求出一个未知角；（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.求出第三边后，再选用正弦定理求其他角也可以，但计算量大，故此类型题用余弦定理求解较好.3.已知三角形的三边解三角形的一般步骤.（1）利用余弦定理求出一个角； （2）利用余弦定理求出第二个角；（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.求出第一个角后，再用正弦定理求其他两角也可以，但较麻烦，故建议此类题目自始至终选用余弦定理.
二、利用正弦定理解三角形
方法总结1.已知三角形两角及其一边解三角形的方法（1）当所给边是已知角的对边时，可先由正弦定理求出另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边.（2）当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求出另外两边.2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法（1）由正弦定理求出另一边的对角的正弦值.（2）当已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判定另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出唯一锐角.（3）当已知的角为小边所对的角时，不能判定另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论.
3.判断三角形解的个数的方法已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况.如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表：
三、正、余弦定理的综合应用
方法总结1.进行边角互化的方法（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.（2）选用正弦定理和余弦定理进行边角互化的注意点：若遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理.若遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理.若特征不明显，则考虑两个定理都有可能用.2.边角互化求值的基本步骤（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果. 3.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.
2.判断三角形的形状例 5 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B+sin2C，则△ABC的形状为（ ）A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
方法总结：求解与三角形有关的长度或面积的取值范围（或最值）问题常用的方法1.统一成边的形式，利用重要不等式或基本不等式求解.2.统一成角的形式，利用三角函数的性质求解.
5.多三角形问题例 8 已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.（1）求角C的度数和BD的长； （2）求四边形ABCD的面积.
方法总结：多三角形问题的解题思路1.多边形问题一般可以分割为几个三角形问题来解决；2.在每个三角形中利用正、余弦定理求解.
方法技巧：解三角形经常与平面向量或三角函数综合考查，这类问题综合性强，覆盖面广，但难度一般不大，按部就班，逐步求解即可.
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的解三角形问题.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素（其中至少包括一条边）就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形.
思考：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么在△ABC中隐含了哪些基本性质？
5.正弦定理的应用应用1：已知两角和一边，解三角形.其基本解法是：若所给边是已知角的对边，可由正弦定理求另一已知角的对边，再由三角形内角和定理求第三个角，最后由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.应用2：已知两边和其中一边的对角，解三角形.其基本解法是：先由正弦定理求出另一已知边所对的角，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边.
6.利用正弦定理确定三角形解的情况已知三角形两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他边和角时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.（1）在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与射线AB的公共点（除去顶点A）的个数即为三角形解的个数.解的个数见下表：
一、利用余弦定理解三角形
方法总结：利用余弦定理可以解三类解三角形问题1.已知三角形的两边及其夹角解三角形的一般步骤.（1）利用余弦定理求出第三边；（2）角的求解有两种思路：①先利用余弦定理的推论求出另一角，再利用三角形内角和定理求出第三个角；②利用正弦定理（已知两边和一边的对角）.求出另一角，再利用三角形内角和定理求出第三个角.注意：用正弦定理求角时，角的取值需根据“大边对大角”进行取舍；用余弦定理求角时，因为在（0，π）上，余弦值对应的角是唯一的，所以不需要分情况讨论.故用余弦定理求解较好.2.已知三角形的两边及一边的对角解三角形的一般步骤.（1）利用余弦定理求出第三边； （2）利用余弦定理求出一个未知角；（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.求出第三边后，再选用正弦定理求其他角也可以，但计算量大，故此类型题用余弦定理求解较好.3.已知三角形的三边解三角形的一般步骤.（1）利用余弦定理求出一个角； （2）利用余弦定理求出第二个角；（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.求出第一个角后，再用正弦定理求其他两角也可以，但较麻烦，故建议此类题目自始至终选用余弦定理.
二、利用正弦定理解三角形
方法总结1.已知三角形两角及其一边解三角形的方法（1）当所给边是已知角的对边时，可先由正弦定理求出另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边.（2）当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求出另外两边.2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法（1）由正弦定理求出另一边的对角的正弦值.（2）当已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判定另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出唯一锐角.（3）当已知的角为小边所对的角时，不能判定另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论.
3.判断三角形解的个数的方法已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况.如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表：
三、正、余弦定理的综合应用
方法总结1.进行边角互化的方法（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.（2）选用正弦定理和余弦定理进行边角互化的注意点：若遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理.若遇到的式子中含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理.若特征不明显，则考虑两个定理都有可能用.2.边角互化求值的基本步骤（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果. 3.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.
2.判断三角形的形状例 5 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，且sin2A＝sin2B+sin2C，则△ABC的形状为（ ）A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
方法总结：求解与三角形有关的长度或面积的取值范围（或最值）问题常用的方法1.统一成边的形式，利用重要不等式或基本不等式求解.2.统一成角的形式，利用三角函数的性质求解.
5.多三角形问题例 8 已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.（1）求角C的度数和BD的长； （2）求四边形ABCD的面积.
方法总结：多三角形问题的解题思路1.多边形问题一般可以分割为几个三角形问题来解决；2.在每个三角形中利用正、余弦定理求解.
方法技巧：解三角形经常与平面向量或三角函数综合考查，这类问题综合性强，覆盖面广，但难度一般不大，按部就班，逐步求解即可.
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