2023届内蒙古呼和浩特第二中学高三上学期12月月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届内蒙古呼和浩特第二中学高三上学期12月月考数学（理）试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届内蒙古呼和浩特第二中学高三上学期12月月考数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用整数集的概念与列举法得到集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.2．已知，则（    ）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】化简复数z，求出共轭复数，进而可得，即得 .【详解】解：故选：A3．圆锥的母线长为2，侧面积为，若球的表面积与该圆锥的表面积相等，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于的方程，解之即可求得球的体积.【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，母线，则圆锥的侧面积为，故，所以圆锥的底面积为，则圆锥的表面积为，设球的半径为，则，得，所以球的体积.故选：C.4．为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据、、、进行分析，其中表示减重质量（单位：千克），表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），、、、，由此得到的线性回归方程为.下述四个说法：①的值一定为；②越大，减重对降低油耗的作用越大；③残差的平方和越小，回归效果越好；④至少有一个数据点在回归直线上.其中所有正确说法的编号是（    ）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根据拟合直线不一定过坐标原点可知①错误；由的实际意义可知②正确；残差的平方和越小，说明相关指数越接近于，其拟合效果越好，故③正确；由样本点和回归直线的位置关系可知④错误.【详解】的实际意义为当减重质量为时，汽车每行驶一百千米所降低的油耗，从其意义上来看，的值应该等于，但拟合直线并不一定过坐标原点，因此的值可能比略大或略小，所以①错误；的实际意义是每行驶一百千米降低的油耗量与减重质量之比，因此越大，减重对降低油耗的作用越大，所以②正确；相关指数，所以残差的平方和越小，越接近于，回归效果越好，所以③正确；有可能没有数据点在回归直线上，所以④错误.故选：B.5．如图，是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线不垂直的是（    ）A．AE B． C． D．【答案】D【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，结合平行线的性质逐一判断即可.【详解】如图，连接，则，因为，且，所以平面，且平面平面，所以，所以，又，所以.若，则，且，则平面，显然不成立，所以不垂直于.故选：D6．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出，再利用正弦函数与余弦函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】令，其中，则且不恒为零，所以，函数在上为增函数，因为在上单调递增，所以，，因为，由零点存在定理可知，所以，，且，且，由可得，且，即，故ABC都错，D对.故选：D.7．甲、乙两人各有若干个苹果，其中甲的苹果不多于10个，甲的苹果数的3倍不少于乙的苹果数，乙的苹果至少比甲的苹果多7个，则甲、乙两人一共的苹果至少有（    ）A．12个 B．13个 C．15个 D．16个【答案】C【分析】设甲的苹果数为x，乙的苹果数为y，则，结合线性规划和实际意义即可求解.【详解】由题意知，设甲的苹果数为x，乙的苹果数为y，则，不等式组表示的平面区域如图所示，其中点，由图可知，直线平移到点A时，目标函数取到最小值，此时，结合实际意义，x、y为正整数，所以，满足甲的苹果不多于10个，所以甲乙两人一共的苹果至少有15个.故选：C.8．记为等差数列的前项和，若，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据等差数列前项和公式，可得首项与公差的关系，再根据等差数列的通项公式求出相邻两项异号即可得出正确选项.【详解】设公差为，则，即可得，又所以选项中只有与异号，即.故选：A.9．已知点是圆上的点，点是直线上的点，点是直线上的点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，计算出圆心到直线的距离，结合对称性可得出的最小值为，即可得解.【详解】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，由对称性可知，点到直线的距离为，故当与直线垂直时，且当为与直线的交点以及点为圆与线段的交点(靠近直线)时，取得最小值，且.故选：B.10．在锐角中，，，，则以B，C为两个焦点且过点的双曲线的离心率为（    ）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】先利用余弦定理求出，再根据双曲线的定义及离心率公式即可得解.【详解】解：在锐角中，，，，则，即,解得或，经检验，所以在以B，C为两个焦点且过点的双曲线中，，则，所以其离心率为.故选：C.11．定义域为的函数满足，且.当时，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可得：函数关于直线对称，且周期为2，利用函数的周期和对称轴分别求出和的值即可求解.【详解】由可知，是函数图象的对称轴方程，且函数的周期为2，所以，且，故.故选：.12．设,则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,由,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,构造,求导判断单调性,判断的大小,进而判断的大小关系,即可选出选项.【详解】解:由题因为,不妨设,当时,,所以单调递减,当时,,单调递增,所以,所以,即,故;因为,即,两边同时取对数有,即,即,所以;因为,不妨设,则,所以单调递增,所以,故;因为,不妨设,则,所以单调递增,所以,故.综上,.故选:D【点睛】思路点睛:该题是函数与导数综合应用题,考查构造函数比较两个数的大小,主要思路有:(1)根据题目条件,找到都有联系的关键数,令其为x,(2)构造两个式子差的函数,(3)求导求单调性,关键数的范围即为定义域,(4)根据单调性将关键数代入,再取另一离关键数近的函数值比较大小即可. 二、填空题13．已知为单位向量，且，则__________.【答案】【分析】首先将所求模长进行平方，然后根据平面向量数量积的运算公式及运算法则进行求解即可.【详解】已知，均为单位向量，所以.，所以.故答案为：14．已知为常数，，的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为，则展开式中的系数为__________（用数字作答）.【答案】【分析】根据二项展开式的二项式系数和为，可求得；采用赋值法，令可得各项系数和，求得；根据二项式定理可得展开式通项，代入即可求得的系数.【详解】的展开式的二项式系数和为，；令，则展开式的各项系数和为，解得：；则展开式通项为：，令，解得：，则，展开式中的系数为.故答案为：.15．已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱的中点，则三棱锥的体积为__________.【答案】【分析】由线面平行，根据等体积法即可求解.【详解】解：延长到点，使得，连接，，则，所以，在中，则；在中则；在中则所以所以，所以.故答案为：16．过抛物线的焦点的直线与交于两点.设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则__________.【答案】4【分析】根据抛物线方程以及直线过焦点，联立直线和抛物线方程，由轴可知，点纵坐标为1，根据韦达定理及焦点弦公式即可求出的值.【详解】解：易知的焦点为，直线斜率不存在时不符合题意；设过的直线的斜率为，则，将代入，得，即.设，，则，所以，又因为点，轴，所以点纵坐标为1，即，即所以，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，所以，即或（舍）故答案为：4【点睛】关键点点睛：由点以及轴可知，点纵坐标为1，根据韦达定理即可得出直线斜率，再根据焦点弦公式以及可得的长，进而求出. 三、解答题17．已知数列满足是公差为1的等差数列.(1)证明：是等比数列；(2)求的前项和.【答案】(1)答案见解析(2)，. 【分析】对于（1），证明常数即可；对于（2），由（1）可知，后可求得.【详解】（1）根据题意有，即，所以，故，所以是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，，所以，所以.，其中.18．如图，三棱柱的所有棱长都相等，点在底面上的射影恰好是等边的中心.(1)证明：四边形是正方形；(2)设分别为的中点，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明平面，可得，有几何体结构特征即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面的法向量即可求出二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值.【详解】（1）设点为的中心，连接，连接并延长交于点，则平面.因为平面，所以，又因为，所以平面.因为平面，所以，又因为，所以，且，所以四边形是矩形，因为，所以四边形是正方形.（2）以为坐标原点，平行于且指向的方向为轴正方向，分别为，轴建立坐标系，设棱长为3，则,所以因为为的中点，所以所以，设平面与平面的法向量分别为，则，即，取，则，所以易知，平面的法向量沿轴方向，不妨取，所以，故二面角的正弦值为.19．设随机变量，若，且，则，其中，．某工厂对一批零件进行抽样检测，根据经验可知每个零件是次品的概率均为．(1)若从这批零件中抽取2个进行检测，求其中次品数的分布列及数学期望；(2)现对这批零件抽取100个进行检测，若其中次品数多于3个，则这批零件为不合格产品．估算这批零件为不合格产品的概率（精确到．【答案】(1)答案见解析(2)0.14 【分析】（1）根据题意可知，求出对应的概率，即可得出分布列和期望；（2）设为次品的数量，则，且，则这批零件为不合格产品的概率为，求解即可．【详解】（1）根据题意可知，则，，，所以的分布列为：012 的数学期望为．（2）设为次品的数量，则，且，所以，根据题意可知，其中，当时，这批零件为不合格产品，则这批零件为不合格产品的概率为，即，综上，这批产品为不合格产品的概率约为．20．已知椭圆的右焦点为．过且斜率为正数的直线交于两点，关于轴，轴的对称点分别为，且．(1)求的方程；(2)设直线交轴于点，直线与的另一交点为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设为的左焦点，则，由椭圆的定义可知，可求得，结合可得，从而得的方程；（2）设的方程为，代入的方程，设，则，直线的方程可表示为，令，结合韦达定理可得．由对称性可知直线的斜率为，则．设直线的方程为，代入的方程，结合韦达定理可得，综合即可得出答案．【详解】（1）设为的左焦点，则由对称性可知，所以由椭圆的定义可知，设的半焦距为，则，所以，所以的方程为．（2）设的方程为，代入的方程得：，当时，，设，则，则，直线的方程可表示为，令，得，将代入化简得，即．由对称性可知直线的斜率为，为坐标原点，则．设直线的方程为，代入的方程得：，设，则，所以直线的斜率和为，将代入化简得，故，所以，即．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知函数.(1)若，求；(2)若有两个零点，证明：.【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】（1）由的特征可知，，可令求出的值并证明；（2）不等式右边可根据函数有两个零点求出的取值范围，进而确定两零点的范围，构造函数利用函数单调性即可证明；不等式左边采用分析法证明，将不等式左边转化为证明，再利用构造函数即可得出证明.【详解】（1）若，则，故.当时，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以等价于.，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，故.综上，若，则.所以，.（2）若为的零点，则，故.设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故，所以若有两个零点，则，且在区间各有一个零点.不妨设，则.设，由（1）可知，单调递减，所以.因为，当时，单调递减，故，即，且，即，故.同理，当时，也有.方法1：等价于，且由可知，.设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，.设，则，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故时，，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，.所以，故.综上，.方法2：由可知，当时，.当时，由于，故只需证明.设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当且时，.设，则，设，则，当时，单调递增，此时单调递减，当时，由上可知，故单调递增，所以当时，.所以当时，，即，故.综上，.【点睛】方法点睛：对于第二问的证明，首先利用函数有两个零点可确定参数的取值范围，进而确定两零点的取值范围；再结合不等式左右两端特征，通过合理变形进行构造函数，借助函数单调性及中间值即可得出证明.22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)设是上的点，，是的两个焦点，求的最大值.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据的参数方程和化简即可求出的普通方程；根据二倍角的余弦公式和、化简即可求出的直角坐标方程；(2)由题意可知，，根据两点坐标求距离公式可得，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知，，又，所以，即的普通方程为；由，得，整理，得，又，，所以的直角坐标方程为，即；（2）因为P是上的点，所以，由(1)知，，得，，所以，由二次函数的性质知，当时，取到最大值，且最大值为，所以的最大值为.23．设、、为正数，且.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由不等式的基本性质可得出，利用反比例函数在上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出，，，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为、、为正数，由可得，所以，，因为函数在上为增函数，故.（2）证明：由基本不等式可得，，，由不等式的基本性质可得，当且仅当时，等号成立，故.