2023届上海市南洋模范中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023届上海市南洋模范中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市南洋模范中学高三上学期10月月考数学试题 一、填空题1．已知集合，，则_____________.【答案】【分析】求出集合、，然后利用交集的定义求出集合.【详解】，，故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.2．若复数满足，则的虚部为______.【答案】.【解析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.【详解】由题.故虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.3．二项式展开式中的常数项为__________．【答案】【详解】由题额意得，二项式的展开式的通项为，令，所以，所以展开式的常数项为． 4．集合，，若，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先化简集合，再根据集合间的基本关系，与集合进行集合包含关系运算即可，注意讨论子集中的空集的情况.【详解】，若，则是的子集，当时，，所以，当时，，所以，综上，实数的取值范围是．故答案为: .5．函数的值域为________．【答案】【分析】求出函数的定义域，并化简函数的解析式，利用反比例函数的值域可求得函数的值域.【详解】由，可得且，函数的定义域为且，，所以且，所以函数的值域为．故答案为：．6．一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中（单位：）是小球相对于平衡点的位移，（单位：）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为______.【答案】【分析】求导后，代入即可得到结果.【详解】，，即小球在时的瞬时速度为.故答案为：.7．直线是曲线的切线，则的最小值为__________．【答案】2【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，可得，再根据基本不等式可得的最小值.【详解】设直线与曲线相切于点，当时，直线不是曲线的切线，故,由得，所以切线方程为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．故答案为：2.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.8．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，（其中是自然对数的底数），若，则实数的值为______.【答案】3【分析】根据题意，由函数的奇偶性和分析可得，即函数是周期为4的周期函数，进而可得，结合函数的解析式分析可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，又由，则，则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，若，则有，又由函数是定义在上的奇函数，则，又由当时，，则有，变形可得；故答案为：3【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9．有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，则抽到的最大数与最小数的差小于4的概率是________【答案】【解析】五张不同的卡片，有放回的抽4次，共有种不同的取法，最大数与最小数的差小于4的取法指所选的数字均来自1，2，3，4或者2，3，4，5的情况，再去掉重复的部分——所选的数字均来自2，3，4的情况，再利用概率公式即可求概率.【详解】有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，共有种不同的取法，差值可能为1、2、3、4，最大数与最小数的差等于4，则4 次抽取中5或1没有抽到，没有抽到1的有 没有抽到5的有 ，5和1都没有抽到的有种，所以抽到的最大数与最小数的差小于4有种，所以抽到的最大数与最小数的差小于4的概率故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型求概率，涉及排列组合知识，属于中档题.10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，平有“数学王子”的称号.为了纪念高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，已知，则函数的值域为______.【答案】【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，利用分离常数法化简函数的解析式，判定函数的单调性且求出的值域，分情况讨论与的可能取值.【详解】，因为，即，所以为奇函数；因为，所以，，，则，即的值域为，又因为在上单调递增，且，所以当时，，当时，；当时，，，此时，，，，则；当时，，，此时，，，，则；当时，，此时，则；综上所述，，即的值域为.故答案为: .11．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】先求出的零点为，设函数的零点为，根据“零点相邻函数”的定义得到，则函数在上有零点，再根据二次函数的图象列式可求出结果.【详解】因为，且函数为单调递增函数，所以为函数的唯一零点，设函数的零点为，又因为函数与互为“零点相邻函数”，所以，解得，所以函数在上有零点，所以或或，即或或，所以.故答案为：.12．定义域为集合上的函数满足：①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为________【答案】【分析】分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f（x）的个数即可．【详解】解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2﹣x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为10种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为15种．根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．（2）当f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为5种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为1种．根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．综上，满足条件的f（x）共有：150+5＝155种．故填：155．【点睛】解决本题的难点在于发现 f（x）的取值规律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题． 二、单选题13．设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（    ）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】D【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理以及面面平行、垂直的判定定理进行判断.【详解】因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确，选项A错误；因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，即选项B、C错误；故选：D.14．设函数 ，其中常数满足．若函数（其中 是函数的导数）是偶函数，则等于（        ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件求出的解析式，然后再根据为偶函数得到的值．【详解】∵，∴，∴．∵函数为偶函数，∴，∴．∵，∴．故选A．【点睛】关于三角函数奇偶性的结论与方法(1)函数y＝Asinωx是奇函数，y＝Acosωx是偶函数．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数φ＝kπ(k∈Z)；函数函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数φ＝kπ＋ (k∈Z)．(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数φ＝kπ＋ (k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数φ＝kπ(k∈Z)．15．设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，，令，，则，存在．故选：．【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．16．在平面直角坐标系中，函数的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出函数图像，由图可知，直线，当时，由，解得其中一根，当时，联立直线和函数方程，由韦达定理及三根之和为0，即可求解.【详解】解：当，当所以，画出图像：设直线方程为：，当时，直线l与函数的图像的交点个数不可能是3个,故，依题意可知，关于x的方程有三个不等实根，当时，由，可解得，不妨令，当时，由可得，，则关于x的方程（*）有两个不等负实根，则由韦达定理可得，，依题意可知，则，直线方程为：，故直线恒过定点，故选：A. 三、解答题17．如图，在直三棱柱中，.(1)若，求证：平面；(2)若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.【答案】(1)证明见解析(2)当点为棱的中点时，使点到平面的距离等于 【分析】（1）先证明和，再根据直线与平面垂直的判定定理可证平面；（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：设，利用点面距的向量公式列式可求出结果.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，所以，，又因为，，所以平面，所以，因为，，所以四边形为正方形，所以，因为，所以平面.（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：因为，则，，，，设，则，，，设平面的一个法向量为，则，则，取，则，，所以点到平面的距离等于，又已知点到平面的距离等于，所以，解得，（舍），所以点为棱的中点时，使点到平面的距离等于.18．已知.（1）若，求的取值范围；（2）设的三边分别是，，，周长为1，若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用倍角公式，结合辅助角公式进行化简，根据角的范围，对函数取值范围进行求解．（2）根据三角形的周长，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1），由.（2）即又，可得，，，由余弦定理：而，代入上式得：，即面积的最大值为.【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．19．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【答案】(1)；（2）.【详解】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.试题解析：（1）当时，由,解得. ∴在上是减函数，在上是增函数. ∴的极小值为，无极大值. （2）. ①当时，在和上是减函数，在上是增函数； ②当时，在上是减函数； ③当时，在和上是减函数，在上是增函数. （3）当时，由（2）可知在上是减函数，∴. 由对任意的恒成立，∴即对任意恒成立，即对任意恒成立， 由于当时，，∴. 【解析】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.(1)求椭圆方程；(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.【答案】(1)(2)证明见解析(3)，的取值范围是 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程.（2）设，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算来证得结论成立.（3）根据求得的取值范围，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由求得与的关系.【详解】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且，所以，解得，所以椭圆方程为.（2）由（1）得，由于在椭圆内，所以，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆必有两个交点，设此时直线的方程为，由消去并化简得，设，则，设， 所以，所以，所以，所以点是左焦点的配对点.（3）依题意，点有配对点，设直线的方程为，由于，所以必须在之间，而在椭圆上，结合椭圆的对称性以及直线与坐标轴不平行，可知的取值范围是.此时在椭圆的内部，直线必与椭圆有两个交点，由消去并化简得，设，则，由于，所以，即，所以.【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（），可转化为斜率问题来进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解.