2023届浙江省金华十校2高三上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023届浙江省金华十校2高三上学期11月月考数学试题含答案，共32页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题一、选择题1.设集合，，则（   ）A.B.C.D.答案：A解析：【分析】先求出集、，再求两集合的交集即可.【详解】由，得，所以，由，得，所以，所以.故选：A.2.已知，其中为虚数单位，则（   ）A.B.C.D.答案：B解析：【分析】由复数的运算得出，进而得出.【详解】，则.故选：B.3.在正方形中，，分别为，的中点，则不正确的是（   ）A.B.C.D.答案：C解析：【分析】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.【详解】由题意可得,A正确；,故B正确；由,，可得,故,故C错误，D正确；故选：C.4.已知，，，则（   ）A.B.C.D.答案：A解析：【分析】解得，又利用对数运算可判断，结合基本不等式可判断与的大小，即可得的大小关系.【详解】，由于，，取等条件应为，即，而，故，，取等条件为，即，而，故，所以.故选：A.5.打羽毛球是全民皆宜的运动.标准的羽毛球由根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，则这个圆台的体积约是（单位：）（   ）注：本题运算时取，取，运算最后结果精确到整数位.A.B.C.D.答案：D解析：【分析】由圆台的体积公式求解即可.【详解】圆台的体积为.故选：D.6.已知样本空间由所有满足，且的数组组成，在中抽取一个数组，记事件“”为抽到的数组中，，的最大值为，则（   ）A.B.C.D.答案：D解析：【分析】列举出所有符合题意的数组，可得满足的数组个数，根据古典概型的概率公式，即可得答案.【详解】由题意可知，符合题意的数组有：，，共组，其中事件“”的数组有，故，故选：D.7.已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（   ）A.B.C.D.答案：B解析：【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.【详解】由已知，函数在上单调递增，所以，解得：，由于，所以，解得：①又因为函数在上恒成立，所以，解得：，由于，所以，解得：②又因为，当时，由①②可知：，解得；当时，由①②可知：，解得.所以的取值范围为.故选：B.8.如图是一个由正四棱锥与棱长为的正方体形成的组合体，这个组合体在直径为的球内，且点，，，，在球面上，则（   ）A.的取值范围是B.正四棱锥的高可表示为C.该组合体的体积最大值为D.二面角的大小随着的增大而减小答案：C解析：【分析】由球心与截面圆的圆心以及球面上的点的关系结合勾股定理可判断AB；表示出组合体的体积，利用导数研究单调性，可判断C；表示出二面角的正切值并研究单调性可判断D【详解】球的直径为，则半径为，由题意知，所以，故A错误；设正方体上下中心分别为，外接球球心为，，则，所以高，故B错误；，，所以在单调递增，，故C正确；设二面角的平面角为，则，易知单调递增，故D错误；故选：C.二、多选题9.已知正方体，，分别为，的中点，则（   ）A.直线与所成角为B.直线与所成角为C.直线与平面所成角为D.直线与平面所成角的正弦值为答案：A、B、C解析：【分析】建立空间直角坐标系，求出正方体各顶点坐标，求出相关向量以及相关平面法向量的坐标，根据数量积的计算以及空间角的向量求法，即可判断答案.【详解】以为坐标原点，以射线为轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，,，，，，,则，,故，则，故直线与所成角为，A正确；，,又，故，即直线与所成角为，B正确；,设平面的法向量为，则，令，则，故,因为直线与平面所成角范围为，故直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角为，C正确；,设平面的法向量为，则，令，则，故,故直线与平面所成角的正弦值为，D错误.故选：ABC.10.已知函数，，，为图象上的三点，则（   ）A.有两个零点B.若为极小值点，则C.直线是曲线的切线D.若，则答案：A、C解析：【分析】利用导数研究的单调性、极值，进而确定零点并画出函数图象，即可判断A、B、C；在图象上任找两点，线段中垂线交图象与点，即有，图象上找反例，判断D.【详解】由题设，易知：、上，即递增，上，即递减.所以极大值为，极小值为，且，显然有两个零点，A正确，B错误；的函数图象如下：由上分析及图知：直线是曲线的切线，C正确；在图象上任找两点，线段中垂线交图象于点，此时，如上图，在图象中可取三点，其中，，，所以，存在，D错误.故选：AC.11.已知抛物线，过焦点的直线与交于，两点，，与关于原点对称，直线与直线的倾斜角分别是与，则（   ）A.B.C.D.答案：B、D解析：【分析】作轴于，做轴于，设直线的方程为，与抛物线方程联立求出，求出，可判断A；求出可判断B；求出利用基本不等式得出可判断C；求出、，做差与比较大小可判断D.【详解】做轴于，做轴于，所以，，抛物线的焦点，因为，所以，即，所以直线的斜率存在设为，可得直线的方程为，与抛物线方程联立，整理得，所以，，对于A，，，所以，故错误；对于B，因为，所以，所以直线与的倾斜角互补，即，故正确；对于C，因为，所以，即，因为，所以，故错误；对于D，因为，所以，，，所以，所以，所以，即，故正确.故选：BD.12.己知函数及其导函数的定义域均为.记，若为偶函数，为奇函数，则（   ）A.B.C.D.答案：C、D解析：【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得的图象关于对称，再由，可得的图象关于对称，然后逐个分析判断即可.【详解】因为为偶函数，所以，令，则，所以，即，所以的图象关于直线对称，所以，所以D正确，由，得，所以，所以，所以的图象关于对称，因为为奇函数，所以，所以的图象关于对称，所以的周期为，令，则，所以，所以，所以，所以C正确，因为的周期为，所以，因为的图象关于对称，所以，所以不一定成立，所以B错误，由，可得，所以（为常数），所以，此式不一定为零，所以A错误，故选：CD.三、填空题13.二项式的展开式中常数项是________.答案：解析：【分析】求出二项式展开式的通项，令x的指数为0，结合通项公式即可求得答案.【详解】二项式的展开式的通项为，令，即二项式的展开式中常数项是.故答案为：.14.若直线是曲线和的公切线，则实数的值是________.答案：解析：【分析】设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值.【详解】设直线与曲线、分别相切于点、，对函数求导得，则，曲线在点处的切线方程为，即，对函数求导得，则，曲线在点处的切线方程为，即，所以，，化简可得.故答案为：.15.已知圆与圆，点是圆上的一点，过圆心作直线的平行线与圆交于点（和不在轴同侧），交轴于点，以为直径的圆与圆的一个交点为，则圆心与圆心到直线的距离之和是________.答案：解析：【分析】根据三角形相似，以及两圆位置关系，通过几何关系，即可容易求得结果.【详解】根据题意，连接交轴于，过作的垂线，垂足记作，如下所示：因为，故，则；又因为点在以为直径的圆上，故，又在圆上，则，又，则，故；则，即圆心与圆心到直线的距离之和为.故答案为：.16.已知椭圆，过椭圆右焦点作互相垂直的两条弦，，则的最小值为________.答案：或解析：【分析】考虑直线的斜率是否存在情况，存在时设，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求得弦长，的表达式，进而推出，从而将化为，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由椭圆可知右焦点，当直线的斜率不存在时，方程为，则，此时，，；当直线的斜率存在时，设，则，又设点.联立方程组，消去并化简得，因为过椭圆右焦点，则必有，∴，，∴，由题意知，直线的斜率为，同理可得，所以.所以，当且仅当时取得等号，故综合以上，的最小值为，故答案为：.四、解答题17.已知数列是首项为，公差为的等差数列.(1)求：(2)若，求数列的前项和.答案：见解析解析：【分析】（1）由于数列是首项为，公差为，则可求得，即得；（2）按照裂项求和求即可.【详解】（1）∵是首项为，公差为的等差数列，则，可得.（2）∵，时，，∴.18.设的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，，，求.答案：见解析解析：【分析】(1)由已知，借助正弦定理进行边角转化，将条件转化为，然后利用，进行拆分组合，即可完成角；(2)由已知，可设，，借助余弦定理得到等量关系，直接求解即可.【详解】（1）∵.由正弦定理可得.由，则有，化简可得：，即，则，∵，，且，解得或（舍）.故.（2）在中，设，，，，因为，所以有：；由余弦定理：，代入可得，由，解得，（舍）.因为，所以，∴.19.如图，在四棱锥中，平而平面，，，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离：(3)求平面与平面的夹角.答案：见解析解析：【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出的方向向量和平面的法向量，通过计算其向量垂直来证明线面平行；（2）利用向量法求点到面的距离；（3）利用法向量的夹角求二面角.【详解】（1）由已知可得：，，如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则由，，可得方程组，解得.可得.由于，可得.所以，设平面的法向量，由，解得平面的法向量是，∴，不在平面内，故平面.（2）设点到平面的距离为，∵由，∴点到平面的距离是.（3）设平面的法向量为，由可得平面的法向量为，设平面与平面的夹角为.则，则，故平面与平面的夹角为.20.浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在月与选考科目同期进行，称为“首考”，第二次在月与语文、数学同期进行，称为“老高考”，考生可选用其中一次较好的成绩计入高考总分.英语在“首考”中“一考两用”，成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生，英语第二次考试成绩仅用于高考，不计算学考等第.年月“首考”中，英语成绩达到分及以上的考生，学考等第为.某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男、女各名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表，并经过计算可得.(1)从名学生中随机选择人，已知选到的学生英语学考等第为，求这个学生是男生的概率；(2)从名女生中任意选人，记这人中获得等的人数为，求的数学期望与方差.附：，其中.附表：答案：见解析解析：【分析】（1）由条件概率的概率公式求解即可；（2）先由求得，再求出的可能取值以及每个值所对应的概率，即可得分布列，进而由期望与方差公式求解即可【详解】（1）用表示事件“选到的学生学考等第为等”，用表示事件“选到男生”，则.（2）由，而，可得.因为的可能取值为,,.，，，所以这人种获得A等人数的概率分布列为数学期望方差.21.已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点到这条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的右支上存在三点、、，满足，，，求直线的方程.答案：见解析解析：【分析】（1）根据渐近线方程以及点到直线的距离公式，求得，则双曲线方程得解；（2）设出直线的方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由点在双曲线上，三角形的面积，以及，建立参数之间的方程组，求解即可.【详解】（1）由已知条件得：，解得：，所以双曲线方程为：.（2）取中点，根据题意，作图如下：当不存在时，设直线方程为，则点坐标为，故，解得，不妨取，又点坐标为，故，不符合题意，故舍去；当存在时，不妨设，则此时，由韦达定理得：，，∴∴点的坐标为，即，将它代入得：，化简得：.又，∴，即，∴，又.∴，解得：，此时，则的方程为，根据对称性，的另外一条直线方程为.22.已知函数，记.(1)当时，求函数的最小值；(2)若函数有三个零点，且.①求的取值范围；②证明：.答案：见解析解析：【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，确定函数单调性，进而求得函数的最小值；（2）（i）当时，判断函数的单调性，说明不合题意，当时，根据导数判断函数的单调情况，结合零点存在定理，判断函数有三个零点，符合题意；（ii）由题意可判断三个零点的范围且满足，因为要证明，即，也即，又因为，故只要证明，故构造函数，利用其单调性证明即可证明结论成立.【详解】（1）因为，当时，，所以函数在上单调递增，又.因此，当时，，当时，.即函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为.（2）（i）由，所以，于是，当时，,仅当时取等号，,仅当时取等号，函数在上单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意；当时，令，得，当或时，，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.注意到，当时，，所以，，又，，令，当时，，当时，，故，所以，故，则，，因此，在内恰有一个零点（即在有一个零点），在内有一个零点，即，在内有一个零点，故有三个零点，则.（ii）由题意知，又注意到，所以，即.当时，先证明不等式恒成立，设，则，所以函数在上单调递增，于是，即当时，不等式恒成立.由，可得，因此，，两边同除以，得，而，故.