2023届湛江市高三毕业班调研测试数学试题含答案

湛江市2023届高中毕业班调研测试数学

一、选择题

1.已知集合，，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

因为，，所以.

2.（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

.

3.函数的部分图象大致为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

因为，所以为奇函数，排除C，D；因为当时，，所以排除B.

4.已知双曲线的渐近线方程为，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

因为，，所以，故.

5.已知，，，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

因为，，所以.

因为，，所以，所以.

6.如图，长方体中，是棱的中点，则（   ）

A.平面

B.平面

C.平面

D.平面

答案：

D

解析：

因为，与平面相交，所以与平面不平行，故A错误；

因为，与平面相交，所以与平面不平行，故B错误；

取的中点，连接（图略），则，因为与平面相交，所以与平面不平行，故C错误；

取的中点，连接，（图略），易知平面平面，故D正确.

7.如图，在中，为的中点，若为上一点，且，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

因为，且，，三点共线，所以.

8.已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

C

解析：

设圆锥底面的半径为，则圆锥的高为，所以圆锥的体积.

令，则，所以.

因为，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，

故圆锥体积的最大值为.

二、多选题

9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，如表所示，根据表中数据，得到经验回归方程：，则下列结论正确的是（   ）

A.

B.

C.直线必过点

D.直线必过点

答案：

A、B、D

解析：

通过散点图（图略）可以看出A，B正确，且回归直线必经过，故D也正确.

10.已知函数，则下列结论中错误的是（   ）

A.的最小正周期为

B.的图象关于点中心对称

C.的图象关于直线对称

D.在上单调递增

答案：

A、B、C

解析：

因为，所以的最小正周期为，故A错误；

令，得，所以图象的对称中心为，故B错误；

令，得，所以图象的对称轴为直线，故C错误；

令，得，所以的单调递增区间为，故D正确.

11.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，且的最小值为，是线段的中点，是平面内一定点，则（   ）

A.

B.若，则到轴距离为

C.若，则

D.的最小值为

答案：

A、B、D

解析：

设点，.因为，所以的最小值为，所以，故A正确；

若，则，所以到轴的距离为，故B正确；

当过时，设的方程为，与联立可得，则.

由，得，所以或，所以，故C错误；

过点作抛物线的准线：的垂线，垂足为点.

由抛物线的定义可得，所以，

当且仅当，，三点共线时，即当时，取得最小值，故D正确.

12.已知定义域为的奇函数满足：当时，；当时，.下列说法正确的有（   ）

A.的周期为

B.当时，

C.若，，则

D.若方程在上恰有三个根，则实数的取值范围是

答案：

B、D

解析：

因为当时，，当时，，

所以当时，.

因为是定义在上的奇函数，

所以当时，，故A错误，B正确.

因为，

所以.

因为在上单调递减，

所以，所以，故C错误.

方程在上恰有三个根，即的图象与直线在上有三个交点.

如图所示，直线过定点，所以，

其中为点，连线的斜率，，

为直线与曲线相切时的斜率.

设切点为，则.

因为，所以，切线方程为，

将点的坐标代入，得，即，

则，所以，故D正确.

三、填空题

13.一个正棱锥有条棱，高为，底面边长为，其体积为________.

答案：

解析：

因为该正棱锥有条棱，所以该正棱锥为正三棱锥.因为高为，底面边长为，所以该正棱锥的体积为.

14.的展开式中的系数为________.

答案：

解析：

展开式的通项公式为，

所以展开式中的系数为.

15.写出与直线垂直且和圆相切的一条直线的方程：________.

答案：

或（写出一条即可）

解析：

因为直线的斜率是，所以可设直线方程是.

因为的圆心为，半径为，

所以，即，解得或，

故所求直线的方程为或.

16.已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是________.

答案：

解析：

因为存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根.

因为，所以只有唯一变号正实根.

当时，，方程只有唯一变号正实根，符合题意；

当时，方程没有除之外的正实根.

令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以.综上所述.

四、解答题

17.设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

答案：

见解析

解析：

（1）因为，是公差为的等差数列，

所以，所以.

当时，；

当时，，

所以.

因为，，所以的通项公式为.

（2）因为，

所以.

18.如图，在直三棱柱中，，为的中点，.

（1）证明：.

（2）求二面角的余弦值.

答案：

见解析

解析：

（1）证明：因为平面，平面，所以，

又，，，平面，所以平面.

因为平面，所以.

（2）如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，则，令，得.

取平面的一个法向量为，

所以.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

19.已知在中，角，，所对的边分别为，，且.

（1）求角的大小；

（2）若平分并交于，且，，求的面积.

答案：

见解析

解析：

（1）因为，所以，整理得.

由余弦定理可得，又，所以.

（2）因为平分，所以.

因为，所以.

因为，所以.

因为，，所以，所以，所以.

20.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中随机选取了名学生，调查得到如下表所示的统计数据.

（1）从该校任选名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于的概率；

（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间的中位数；

（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选人，记这人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.

答案：

见解析

解析：

（1）由题表知，该校学生每日使用手机的时间小于的有人，

所以从该校任选名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于的概率.

（2）设中位数为，因为该校所有学生每日使用手机的时间小于的频率为，

每日使用手机的时间小于的频率为，所以，

由，解得，

故估计该校所有学生每日使用手机的时间的中位数为.

（3）的所有可能取值为，，，.

由表中数据可知，任意挑选一人，每日使用手机的时间在的概率为，则.

因为，，

，，

所以的分布列为

故的数学期望（或）.

21.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，连接交椭圆于点，若，求直线的方程.

答案：

见解析

解析：

（1）由题意得，所以.

因为椭圆的离心率，所以.

因为，所以，，故椭圆的方程为.

（2）由题意知，直线不垂直于轴，

设直线的方程为，，，

联立方程组，消去并整理得，

所以，，

所以.

因为点到直线的距离，且是线段的中点，所以点到直线的距离为，

所以.

由，解得或（舍去），所以，

故直线的方程为，即或.

22.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围.（参考数据：，）

答案：

见解析

解析：

（1）因为，所以.

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2），即，即.

令，则.

令，则恒成立，所以在上单调递增.

因为，，所以，，即.

所以当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

因为，

所以，.

令，则，所以在上单调递增.

因为，，所以，，

所以，即的取值范围是.