2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中模拟数学试题含答案

  2022-2023学年度湖北省新高考联考协作体高二年级期中模拟考试

数学试卷

一、单选题

1. 若(为虚数单位)是纯虚数,则(    )

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

,

由于为纯虚数,因此且,故,

故选：C.

2. 已知向量,若,则等于(    )

A. B.  C.  D.

答案：

C

解析：

因为,若,

所以,所以,

所以.

故选：C.

3.已知向量,且与互相垂直,则的值是(    )

A.  B. C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

先利用空间向量的数量积及模长的坐标表示求出,再利用空间向量的数量积的运算律进行求解.

【详解】

因为,

所以,,,

因为与互相垂直,

所以,

即,

即,

解得.

故选：A.

4.按从小到大顺序排列的个数据:,若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是,则等于(    )

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据四分位数定义列出关于的方程即可得出答案.

【详解】

由题干可知为个数据,

所以,所以第一四分位数为,

因为,所以第三四分位数为,

则,所以.

故选：C.

5. 一束光线从点出发,经轴反射到圆：上的最短距离为(    )

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

由题意,圆的标准方程为:,

所以圆的圆心坐标为,半径,

又点关于轴的对称点为,

所以,

所以,所求最短距离为.

故选：A.

6. 在棱长为的正方体中,点分别是棱的中点,动点在正方形(包括边界)内运动．若平面,则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

如图所示,取的中点,的中点,连接,

因为分别是棱的中点,所以,,

又因为,,,

所以平面平面,平面,且点在右侧面,

所以点的轨迹是,且,,

所以当点位于中点处时,最小,

此时,.

故选：C.

7.在平面直角坐标系中,已知圆：,点是轴上的一个动点,,分别切圆于两点,则线段长的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

设,利用面积相等得到,再根据即可求得的取值范围.

【详解】

设,则,

由可知,

∵垂直平分,

∴,

∴当时, 取得最小值,

又,∴,

∴．

故选：B．

.

8. 已知椭圆,,分别为椭圆的左右焦点,若椭圆上存在点()使得,则椭圆的离心率的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

根据题意作图如下：

由图可得：当点在椭圆的上(下)顶点处时,最大,

要满足椭圆上存在点()使得,则,

∴,即：,整理得：,

又,∴得到：,∴,

∴椭圆离心率的取值范围为,

故选:B．

二、多选题

9. 建三江国际家乐购大型超市因为开车前往购物的人员较多,因此超市在制定停车收费方案时,需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了个停车时间的数据(单位：),其频率分布直方图如下：

超市决定对停车时间在分钟及以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替),则下列说法正确的是(    )

A

B. 免收停车费的顾客约占总数的

C. 开车购物的顾客的平均停车时间约为

D. 所采集数据中停车时间在区间的最多,可以将作为众数的估计值

答案：

B、C、D

解析：

,解得：,故A错误；

开车购物的顾客免交停车费的频率为,故B正确；

开车购物的顾客平均停车时间约为,故C正确；

由众数的概念可知：众数为,故D正确．

故选：BCD．

10. 已知的内角所对的边分别为,下列命题中正确的有(    )

A. 若,则一定是等边三角形

B. 若,则一定是等腰三角形

C. 是成立的充要条件

D. 若,则一定是锐角三角形

答案：

A、C

解析：

对于A,由正弦定理可得,

故,而为三角形内角,故,

故三角形为等边三角形,故A正确.

对于B,由正弦定理可得,

故,故或,

而,

故或即或,

故三角形为等腰三角形或直角三角形,故B错误.

对于C,等价于,而后者等价于,即,

其中为三角形外接圆半径,故的充要条件为,故C正确.

对于D,由可得,故为锐角,

但不能保证三角形为锐角三角形,故D错误.

故选：AC.

11. 如图,正方体的棱长为分别为棱的中点,则下列结论正确的是(    )

A. 直线到平面的距离为

B. 点到平面的距离为

C. 点到直线的距离为

D. 点与点到平面的距离相等

答案：

A、B、C

解析：

对于A,因为平面平面,平面,

则线段的长度即为直线到平面的距离,

所以直线到平面的距离为,故A正确；

对于B,如图,以为原点建立空间直角坐标系,

则,

则,

设平面的法向量为,

则有,可取,

则,

所以直线与平面所成角的正弦值为,

所以点到平面的距离为,故B正确；

对于C,,

则,,

所以,故,

所以点到直线的距离为,故C正确；

对于D,,

则,

则,

所以直线与平面所成角的正弦值为,

直线与平面所成角的正弦值为,

所以点到平面的距离为,

点到平面的距离为,

所以点与点到平面的距离不相等,故D错误.

故选：ABC.

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中,已知点满足,设点的轨迹为圆,则下列说法正确的是(    )

A. 圆的方程是

B. 过点向圆引切线,两条切线的夹角为

C. 过点作直线,若圆上恰有三个点到直线的距离为,则该直线的斜率为

D. 过直线上的一点向圆引切线,则四边形的面积的最小值为

答案：

A、B、D

解析：

【分析】

对于A,设点坐标,根据代入化简,可得A正确；

对于B,设切线夹角为,可得,解得B正确；

对于C,若圆上恰有三个点到直线的距离为,可判断直线与圆相切,进而可解得,故C错误；

对于D,由条件可表达四边形面积为,求的最小值,计算可得D正确.

【详解】

对于A,因为,点满足,设,则,

化简得,,即,故A正确；

对于B,因为,设两条切线的夹角为,所以,解得,则,故B正确；

对于C,易知直线的斜率存在,设直线的方程为,即,

因为圆上恰有三个点到直线的距离为,所以圆心到直线的距离,解得,故C错误；

对于D,由题意可得,故只需求的最小值即可,的最小值为点到直线的距离,即,所以四边形的面积的最小值为,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13. 端午节吃粽子是我国的传统习俗,若一盘中共有两种粽子,其中个蜜枣粽子,个蛋黄粽子,现从盘中任取个都是相同馅粽子的概率为__________.

答案：

解析：

设从盘中任取个都是相同馅粽子为事件,

则．

故答案为：．

14. 四面体中,,,,则四面体外接球的表面积为________．

答案：

解析：

由题意可采用割补法,考虑到四面体的四个面为全等的三角形,所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面,且分别以为长、侧棱两两垂直的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为的长方体,

并且,

设球半径为,则有,

∴,

∴球的表面积为．

故答案为：．

15. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“如图,点是锐角的一边上的两点,试在边上找一点,使得最大”.如图,其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中,给定两点,点在轴上移动,当取最大值时,点的横坐标为_________.

答案：

解析：

设直线与轴交于,易得,过点的圆且与轴相切于点即为所求.则由圆幂定理得,所以,易得或,而过点的圆的半径大于过点的圆的半径,所以,故点的横坐标为.

故答案为：.

16.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”,该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日()最先发现．若椭圆的左、右焦点分别为,为椭圆上一动点,过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于,则_________．

答案：

解析：

【分析】

令,利用椭圆的定义可得,再由平面向量的知识可得,从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知,由此得到,故得解.

【详解】

因为椭圆,所以,故,,如图,令,

因为,所以,即,

结合图象,由平面向量的知识可得,故,

两式相加得,即,即,

由“蒙日圆”的定义,当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时,易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线,故由勾股定理得,

所以,故.

故答案为：.

.

四、解答题

17. 的内角,,的对边分别为,,,已知．

(1)求角的大小；

(2)若,的面积为,求的周长．

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)已知,由正弦定理及三角恒等变换,可得

,则；

(2)由三角形面积解得,再由余弦定理得,∴的周长为．

【详解】

(1)已知,由正弦定理可得：

,

整理得：,,,,又,；

(2)由余弦定理,得,,

,,

,,,

的周长为．

18.某学校为了解学校食堂的服务情况,随机调查了名就餐的教师和学生.根据这名师生对餐厅服务质量进行评分,绘制出了频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组为.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)从评分在的师生中,随机抽取人,求此人中恰好有人评分在上的概率；

(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于分,否则将进行内部整顿,试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分,并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)由频率分布直方图小长方形面积之和为可得关于实数的方程,解方程可得；

(2)利用题意列出所有可能的结果,由古典概型公式可得此人中恰好有人评分在上的概率为

(3)求解平均值 可知食堂不需要内部整顿.

【详解】

(1)由,得.

(2)设被抽取的人中恰好有一人评分在上为事件.

因为样本中评分在的师生人数为：,记为号

样本中评分在的师生人数为：,记为号

所以从人中任意取人共有共种等可能情况；人中恰有人评分在上有共种等可能情况.得.

答：人中恰好有人评分在上的概率为.

(3)服务质量评分的平均分为

因为,所以食堂不需要内部整顿.

19. 如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,是的中点,且,.

(1)证明：平面；

(2)若,,求二面角的正弦值.

答案：

见解析   

解析：

（1）证明：设,连接.

因为四边形是菱形,所以是的中点.

因为,所以.

因为四边形是菱形,所以.

因为平面,平面,且,

所以平面.

（2）因为,所以,所以.

因为,又平面.

所以平面.

因为分别是,的中点,所以,所以平面.

故以为坐标原点,分别以的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

因为四边形是菱形,，所以是等边三角形

故

又

,,,,,故,,,设平面的法向量,则,

令,得.

设平面的法向量,则,

令,得.设二面角为,

则.

所以.

20. 已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切,其半径小于,若圆与圆关于直线对称．

(1)求圆的方程；

(2)过直线上一点作圆的切线,切点为,求四边形面积的最小值及此时直线的方程.

答案：

见解析

解析：

（1）由题意,圆心在直线上,可设,

因为圆过点,且与直线相切,

可得,整理得,

因为圆的半径小于,所以,即,且半径

所以圆的方程为,

设圆,因为圆与圆关于直线对称,

可得,解得,所以圆的方程为．

（2）圆,可得,

则四边形的面积,

设,因为,

所以当时,,

此时四边形的面积最小,最小值为,且；

由,可得以为直径的圆的方程为

因为在以为直径的圆上,且在上,且圆,

两圆的方程相减,可得直线的方程为

21. 如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且.

(1)求证：平面.

(2)求二面角的平面角的余弦值.

(3)若点在棱上(不与点,重合),直线能与平面垂直吗？若能,求出的值；若不能,请说明理由.

答案：

见解析

解析：

（1）因为平面,所以,又

则以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则,

所以,

所以,,

所以,,且,平面

所以平面.

（2）由(1)知是平面一个法向量.

,.

设平面的一个法向量为,

所以,即

令,则,,

所以,

所以.

又由图可知二面角的平面角为锐角

所以二面角的平面角的余弦值为.

（3）由(1)得.

设,则,

可得,所以.

由(2)知是平面的一个法向量.

若平面,可得

则,该方程无解,

所以直线不能与平面垂直.

22. 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,且是边长为的等边三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点,记,的面积分别为,若,求直线的斜率．

答案：

见解析

解析：

（1）由椭圆的定义,知,

因为是边长为的等边三角形,所以,

所以,则,

所以椭圆的方程为．

（2）设点到直线的距离为．因为,所以,

即,所以．

设．因为,所以,

所以,即．

由,解得,

所以直线的斜率．