2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期期初测试数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期期初测试数学试题

一、单选题

1．已知全集为，，或，则正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式得到集合M，再根据集合M和集合N的范围确定包含关系.

【详解】不等式解得，则，

或，，所以.

故选：C

2．命题“∀x＞0，都有x2﹣x+3≤0”的否定是（　　）

A．∃x＞0，使得x2﹣x+3≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x+3＞0

C．∀x＞0，都有x2﹣x+3＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x+3＞0

【答案】B

【详解】命题都有的否定是：

使得

故选

3．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C．9 D．10

【答案】D

【分析】根据共线求解出的值，然后根据向量的模长计算公式求解出结果.

【详解】因为，所以，所以，

所以，

故选：D.

4．已知，则的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】结合基本不等式来求得最小值.

【详解】依题意，

，当且仅当时取等号．

故选：C

5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马､中等马､下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获胜，则田忌获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对马匹进行编号，列出所有基本事件并求总数，找出田径获胜的基本事件并基数，根据古典概型概率计算方法即可计算概率.

【详解】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为，

设田忌的上等马、中等马、下等马分别为，

每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜.

基本事件有：，

共6个，

田忌获胜包含的基本事件有：，只有1个，

田忌获胜的概率为.

故选：B.

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的定义域为，可得，再求解的解集，即可得函数的定义域.

【详解】由题意可知，函数的定义域为，则函数的定义域满足，则，所以函数的定义域为.

故选：C.

7．如图，在直角梯形 ABCD 中，，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】结合平面向量的线性运算，利用求得，即而求得.

【详解】依题意：，

，

，

所以，解得.

所以.

故选：B

8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是满足的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解即可.

【详解】由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，函数有3个零点，即有3个不同根，

画出函数与的图象如图：

要使函数与的图象有3个交点，则，且，即.∴  实数的取值范围是.

故选：B.

二、多选题

9．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（    ）

A．样本中女生人数多于男生人数 B．样本中层人数最多

C．样本中层次男生人数为6人 D．样本中层次男生人数多于女生人数

【答案】ABC

【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.

【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；

样本中层人数为：；样本中层人数为：；

样本中层人数为：；样本中层人数为：；

样本中层人数为：；故正确；

样本中层次男生人数为：，正确；

样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.

故选：.

【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.

10．已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是（    ）

A．函数图象经过点 B．当时，函数的值域是

C．函数满足 D．函数的单调减区间为

【答案】ABD

【分析】根据题意，求得函数，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，幂函数的图象经过点，

可得，解得，即，

由，可得函数的图象过，所以A正确；

由二次函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

又由，所以，所以函数的值域为，所以B正确；

由，可得C错误；

根据二次函数的图象与性质，可得函数开口向上，对称轴为，

所以函数在区间上单调递减，所以D正确.

故选：ABD.

11．下列说法错误的有（    ）

A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同

B．在中，必有

C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点

D．若，均为非零向量，则

【答案】ACD

【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的应用判断、、、的结论．

【详解】解：对于：非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故错误；

对于：在中，必有，故正确；

对于：若，则，，一定为一个三角形的三个顶点，

或、、三点共线时，也成立，故错误；

对于，均为非零向量，则，故错误；

故选：．

12．已知函数，方程有四个实数根，且满足，下列说法正确的是（    ）

A．

B．的取值范围为

C．t的取值范围为

D．的最大值为4

【答案】BC

【分析】或，作出函数f(x)图像，数形结合即可求解.

【详解】或，

作出的图象，

当时，，有一个实根；

当时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；

当时，只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与的交点坐标为.

要使原方程有四个实根，等价于有三个实根，等价于y＝f(x)与y＝t图像有三个交点，故，，所以，故A错误，C正确；

又因为，所以的取值范围为），B正确；

因为，所以，故D错误．

故选：BC.

三、填空题

13．计算__________.

【答案】

【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.

【详解】.

故答案为：

【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，需熟记性质，属于基础题.

14．不等式的解集为_____________.

【答案】

【分析】由，可得或，从而可得答案.

【详解】解：由，

可得或，

解得且，

所以不等式的解集为.

故答案为：

15．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________.

【答案】

【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，根据分段函数的解析式，结合奇偶性求出，从而可得结果.

【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，

的解就是求原函数的值，

又,且为奇函数，

,

,即为 的解,

故答案为.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、反函数的性质与应用以及分段函数的解析式，考查了转化思想的应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.

16．已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则的最小值为____________．

【答案】##1.25

【详解】将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋，设＝t＞0，则原式＝＋＝＝·＝ [(1＋2t)＋＋1]≥×2＋＝，当且仅当t＝时，即x＝，y＝时，取“＝”．

四、解答题

17．一个不透明的箱子中装有大小形状相同的5个小球，其中2个白球标号分别为，，3个红球标号分别为，，，现从箱子中随机地一次取出两个球.

（1）求取出的两个球都是白球的概率；

（2）求取出的两个球至少有一个是白球的概率.

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）用列举法能求出从中摸两个球，即可求出取出的两个球都是白球的概率．

（2）由（1）列出至少有一个是白球的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：（1）从装有5个球的箱子中任意取出两个小球包含的基本事件有

，，，，，，，，，，共10种情况.     

记“取出的两个球都是白球”为事件D.

易知事件D包含的基本事件有，共1种情况.     

∴.     

（2）记“取出的两个球至少有一个是白球”为事件E.易知事件E包含的基本事件有

，，，，，，，共7种情况.       

∴.

【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.

18．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；

（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；

（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．

【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．

【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88．

【详解】（1）平均数．

前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，

则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．

（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．

则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．

至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：

（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．

记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，

故所求概率．

（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，

故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．

【点睛】本题主要考查直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.

19．已知是定义在上的奇函数，且，当时，.

（1）当时，求的解析式；

（2）求函数在上的零点构成的集合.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，可得的范围，并得，然后结合是奇函数可得结果.

（2）根据（1）的条件，令，以及函数的奇偶性和周期性，可得结果.

【详解】（1）当时，，

所以，

即

因为是定义在上的奇函数，

，

所以当时，

.

（2）因为是定义在上的奇函数，

所以，且，

因为，所以，

所以，

当时，

令，

得，

解得（舍去），或，即，

又因为是奇函数，

所以，

所以函数在上的零点

构成的集合为.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，难点在于如何求出另外一部分的表达式，属中档题.

20．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．

（1）试用，表示向量；

（2）设，，求证：是定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）由向量共线定理即可求出；

（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．

【详解】（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，

又，故，

由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，

又，故，

由题意，，不共线，则：

，解得，

故；

（2）由E，M，F三点共线，可设（），

由，，则：，

由（1）知，，则：，即，

所以，

所以是定值．

【点睛】关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.

21．已知函数为奇函数.

(1)求实数的值；

(2)若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）由已知得，代入可求；

（2）判断函数单调性，已知函数的值域转化为，是方程的实根，然后构造函数，结合二次函数的实根分布可求．

【详解】（1）函数为奇函数，

，

即，

当时显然不成立，

当时，，函数定义域，，满足为奇函数.

故实数的值为1.

（2），

任取，则，

，

，，

，

，，

在上的单调递增，

由，在区间上的值域为，

有，，

，且，

即，是方程的实根，

问题等价于在上有两个不同实根，

令，函数图像抛物线的对称轴，

则，

即，

解得，

故的取值范围为．

22．对于函数，，，如果存在实数a，b使得，那么称为，的生成函数.

(1)设， ，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围；

(2)设函数，，是否能够生成一个函数.且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；

（2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案．

【详解】（1）解：由题意可得，， ，，，

所以，

不等式在上有解，

等价于在上有解，

令，则，

由在上单调递减，

所以当时，取得最大值，故．

（2）解：设，则．

由，得，

整理得，即，即对任意恒成立，

所以．

所以

．

设，

令，则，

由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增，

∴在单调递增，

∴，且当时取到“”．

∴，

又在区间的最小值为，

∴，且，此时，．

所以．