2022-2023学年新高考联考协作体&衡水金卷高二12月联考数学试卷含答案

2022年新高考联考协作体﹠衡水金卷高二12月联考数学试卷

一、选择题

1.已知复数，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

，的共轭复数，

所以，故.故选D.

2.已知抛物线，则抛物线的焦点坐标为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

已知，所以，解得焦点坐标为.故选A.

3.过点且与直线平行的直线方程是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

原直线斜率为，代入点得直线方程为.故选B.

4.圆在轴截得的弦长是（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

令，得，所以，所以，，

故所得弦长为.故选B.

5.已知椭圆的左、右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，

所以，即，，，所以即，

又因为，所以椭圆离心率的取值范围为.故选A.

6.已知棱长为的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最长为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

D

解析：

已知正四面体的棱长为，

若正方体玩具可以在该四面体内任意转动，则正方体玩具的外接球为正四面体的内切球，

设正方体玩具的棱长为，则外接球的直径为，即正四面体的内切球的半径为，

过正四面体的顶点作面的垂线，垂足为，

在中，，所以，

解得，解得，，所以.故选D.

7.根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点发射平行于轴的光射向抛物线的点，经点反射后交抛物线于点，则（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A

解析：

由条件可知与轴平行，令，可得，故点坐标为.

因为经过抛物线焦点，所以为，

联立，得，，所以，

又，所以，，所以.故选A.

8.已知双曲线：（，）的左顶点和右焦点分别为，，双曲线右支上存在一点，满足，，则的离心率为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

B

解析：

如图，

设，则，，

又，则，即，

所以，

因为，所以，得，，

所以，，

因为，所以，

设双曲线的另一个焦点为，连接，则，

在中，由余弦定理得，

整理得，即，得.故选B.

二、多选题

9.智能制造是发展壮大战略性新兴产业，加快形成现代产业体系的重要手段.如图是年我国智能制造装备产值规模及智能制造系统解决方案市场规模柱状图，则下列说法正确的是（   ）

A.年智能制造系统解决方案市场规模逐年增长

B.年智能制造系统解决方案市场规模增长量逐年增大

C.年智能制造装备产值规模增长量最大

D.年智能制造装备产值规模比年增长超过亿

答案：

A、B、D

解析：

对于A，年智能制造系统解决方案市场规模分别为，，，，，市场规模逐年增长.故A正确；

对于B，年智能制造系统解决方案市场规模增长量分别为，，，，增长量逐年增大.故B正确；

对于C，年智能制造系统装备产值规模增长量分别为，，，，因此增长量最大的是年.故C错误；

对于D，年智能制造装备产值规模为亿，年智能制造装备产值规模为亿，.故D正确.故选ABD.

10.已知曲线方程为，则（   ）

A.曲线可能是圆

B.曲线是椭圆的充要条件是

C.若，则曲线一定是双曲线

D.若，则曲线的离心率

答案：

A、C

解析：

对于A，若，则曲线是圆.故A正确；

对于B，若曲线是椭圆，则，，故成立.但曲线为圆不成立.故“”是“曲线是椭圆”的必要而不充分条件.故B错误；

对于C，若，曲线都是双曲线，故C正确；

对于D，若，则曲线是焦点在轴上的椭圆.则，故D错误.故选AC.

11.已知点在圆上，动点的坐标为，则（   ）

A.的最小值为

B.的最大值为

C.当直线的斜率不存在时，的最小值为

D.当直线的斜率不存在时，的最大值为

答案：

A、D

解析：

对于A，B选项，圆标准方程为，圆心，半径，

易知动点在直线上，则的最小值为，即圆心到直线的距离与半径之差.

.

因为，所以无最大值.故A正确，B错误；

对于C，D选项，当直线斜率不存在时，的值对应到直线距离的倍，

故，.故C错误，D正确.故选AD.

12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足为直角三角形，且，则椭圆方程可能为（   ）

A.

B.

C.

D.

答案：

A、C

解析：

在中，若为直角顶点，则，

所以由，解得，所以，代入检验A正确.

由对称性可知当为直角顶点时相同；

若为直角顶点，则，所以，代入检验C正确.

将B、D代入检验，均不成立.故选AC.

三、填空题

13.已知向量，均为非零向量，，，则为________.

答案：

解析：

由题目可得，，即.

14.国家速滑馆是年北京冬奥会的标志性场馆，赛时作为速度滑冰项目的比赛和训练场地.由国家速滑馆屋顶的正上方往下看其图形为椭圆形，长轴和短轴尺寸分别为和，张拉后形成屋面造型所需的马鞍面.设计团队在开展结构模型试验研究时，在实验室里搭建起一座几何相似比为的“迷你骨架”，从施工可行性到受力性能对设计成果进行了全方位验证，确保整个工程设计万无一失，则该“迷你骨架”由正上方往下看所示的几何图形的离心率约为________.（参考数据：）

答案：

解析：

由题意可知，，则，，

根据“迷你骨架”与实体结构的离心率相似，

则椭圆的离心率为.故答案为.

15.过抛物线的焦点的直线交抛物线于，，若（为坐标原点），且点在抛物线上，则直线的斜率为________.

答案：

解析：

由题知，当直线的斜率不存在时，不符合题意，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，化简得，，

设，，，，

因为，

所以，，

因为点在抛物线上，，所以，所以.故答案为.

16.某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为，，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为________.（填写坐标即可）

答案：

解析：

由双曲线：可知，

故该双曲线的两个焦点分别为和，则恰好为双曲线的右焦点，如图，

设为双曲线的左焦点，连接与双曲线右支交于点，则点即为港口所在位置.

由双曲线的定义可得，，即，

则.

当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时港口到两油气井的距离之和最小.

因为，，所以，则直线，

联立，化简可得，即，解得或，

因为，所以舍去，将代入直线方程可得，

故点的坐标为，即港口的位置为.故答案为.

四、解答题

17.中国教育部日前对全国政协《关于进一步落实青少年抑郁症防治措施的提案》进行了答复，其中明确将抑郁症筛查纳人学生健康体检内容，并明确指出对青少年进行预防抑郁症教育是实施素质教育、促进青少年全面发展、保障青少年身心健康的一项重要工作.某研究机构为了解家长们对抑郁症的关注情况，随机抽取了位家长进行调查，并将调查结果整理得到下列统计表：

（1）补充上述统计表，并估计家长未关注抑郁症的概率；

（2）教育部开展了“抑郁症”的问答活动，从家长中选出甲、乙两位代表组队参加活动，每轮活动甲乙各回答一道题目，甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，甲和乙的回答相互独立，求家长队在两轮活动中答对个题目的概率.

答案：

见解析

解析：

（1）补充统计表如下：

设家长未关注抑郁症的频率为，则，所以估计家长未关注抑郁症的概率为.

（2）设、分别为事件“甲两轮只对题，两轮对题”，

、分别为事件“乙两轮只对题，两轮对题”，

，，

，，

设：家长队在两轮活动中答对题”，则，

因为与、与相互独立，所以.

18.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若与双曲线交于，，若，求的值（为原点）.

答案：

见解析

解析：

（1）因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为（，），

渐近线方程为，即，

设双曲线的上焦点为，到其中一条渐近线的距离为，所以，

所以双曲线的方程为.

（2）设，，

由题意可知，解得，，

因为，所以，

解得，所以，即.

19.已知抛物线，，在抛物线上，且（为原点）为等边三角形，.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线过直线与轴的交点，且与抛物线交于、两点，求的重心的轨迹方程.

答案：

见解析

解析：

（1）已知抛物线，设，，

因为，所以，即，解得，

因为，，所以，解得，所以，关于轴对称，

又因为，所以在抛物线上，代入解得，所以抛物线方程为.

（2）由（1）可知直线与轴的交点坐标为，

所以设直线的方程为，设，，

，解得，所以，

设的重心坐标为，所以，

所以的重心的轨迹方程为.

20.如图1，在梯形中，，于，且，将梯形沿折叠成如图2所示的几何体，，为直线上一点，且于，为线段的中点，连接，.

（1）证明：；

（2）若图1中，，求当四棱锥的体积最大时，平面与平面所成锐角的正弦值.

答案：

见解析

解析：

（1）由已知得，，且，所以平面，

因为平面，所以，

在梯形中，，

因为为线段的中点，所以，故，

又因为，且，所以平面，

因为平面，所以.

（2）过点作于点，又因为，所以平面，

所以线段的长度为点到平面的距离.

设，则，

则四棱锥的体积，

令，，，

则时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，

所以，即当时，四棱锥的体积最大，此时，，

以点为坐标原点，直线，分别为轴、轴，在平面内过点作与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设平面的法向量，

则有，可取，

因为平面，所以即为平面的一个法向量，

则，故，

所以平面与平面所成锐角的正弦值为.

21.已知双曲线的焦距长为.

（1）求的方程；

（2）若，过点的直线交于，两点，若，求直线的方程.

答案：

见解析

解析：

（1）根据已知条件表示双曲线，可知，解得或.

由双曲线的焦距长为可知，即.

当时，有，则，此时双曲线的方程为；

当时，双曲线的方程为，有，则，此时双曲线的方程为.

综上所述，当时，的方程为；当时，的方程为.

（2）由（1）可知，当时，双曲线的方程为，其中，.

当直线的斜率为时，直线为，

代入得，则，不适合题意；

当直线的斜率不为时，设直线，

联立，消去得.

则，

设，，则，.

，解得或，则.

故直线的方程为或.

22.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线：的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标.

答案：

见解析

解析：

（1）设椭圆半焦距为，因为离心率为，所以，

由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大.

所以，所以.

又，解得，，.

所以椭圆的方程为：.

（2）设与轴交于点，则，

当的斜率为时，显然不适合题意；

当的斜率不存在时，直线为，

因为四边形为矩形，所以，交于线段的中点.

当直线的斜率存在且不为时，设，，直线为：，

联立，得，，

所以，，

设，，则：，：，

联立，得，

将，代入整理得.

将代入，得.

综上，直线、交于定点.