初中沪科版第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系24.4.3 切线长定理备课ppt课件

这是一份初中沪科版第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系24.4.3 切线长定理备课ppt课件，共22页。PPT课件主要包含了情境引入，切线长定理及应用，合作探究，你可以作几条，知识要点，◑切线长与切线的区别，∴PAPB，几何语言，想一想，△ABP△AOB等内容，欢迎下载使用。

同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线. 那么，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
作法：1. 连接 OP；2. 以 OP 为直径作圆，设此圆交 ⊙O 于点 A，B；3. 连接 PA，PB.则直线 PA，PB 即为所作.
◑切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
◑过圆外任意一点能够作出圆的两条切线.
①切线是直线，不能度量；
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．
O，A，P，B 四点共圆哦！
问题2 沿直线 PO 将图形折叠，你有什么发现？
PA = PB，∠APO =∠BPO.
试着自己证明.
证明：连接 OA，OB，如图.∵ PA，PB 切 ☉O 于点 A，B，∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP.
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
切线长定理： 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∠OPA =∠OPB.
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
1. 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出 什么新的结论? 请给出证明.
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线.∴ OP 垂直平分 AB.
2. 若 PO 的延长线交 ⊙O 于点 C，连接 CA、CB，你又 能得出什么新的结论? 请给出证明.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.又∵ PC = PC，∴ △PCA≌△PCB. ∴ CA = CB，∠ACP =∠BCP.
解：CA = CB，∠ACP =∠BCP.
如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交 ☉O 于点 D、E，交 AB 于 C.
(1) 写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.
(3) 写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
(4) 写出图中所有的等腰三角形.
(2) 写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC =∠OBC =∠APC =∠BPC.
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
求证：AB + CD = AD + BC.
证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H，
∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG = DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即 AB + CD = AD + BC.
例2 如图，PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在弧 AB上.若 PA 长为 2，则 △PEF 的周长是_____．
解析：因为 PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，所以 PA＝PB. 因为 ⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点为 C，所以 EA＝EC，CF＝BF，所以 △PEF 的周长是 PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.
解析：如图，连接 OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝140°. ∵ PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，∴ O，A，P，B 四点共圆，OP 平分∠APB.∴∠APB＝180°－∠AOB ＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA.∴∠OPA＝20°.
例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 ⊙O 上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度数是____度．
例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径．
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA，过 O 作 OQ⊥AB 于 Q.
∵ AP、AQ 为 ⊙O 的切线，∴ ∠PAO＝∠QAO.
在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，
又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
1. 如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，切点分别是 A、 B，若 AP = 4，∠APB = 40°，则∠APO = °， PB = .
2. 如图，从☉O 外一点 P 引☉O 的两条切线 PA、PB， 切点分别为 A、B，如果∠APB = 60°，PA = 8，那么 弦 AB = .
3. 如图，AB、AC、BD 是☉O 的切线，P、C、D 为切点， 若 AB = 5，AC = 3，则 BD = .
4. 如图，四边形 ABCD 的四条边分别与 ⊙O 相切，且 AB = 16，CD = 10，则四边形的周长为 .
第 3 题图 第 4 题图
5. 如图，△ABC 三边都与 ⊙O 相切，求证：AB + CF = AC + BF.
证明：∵ △ABC 三边都与 ⊙O 相切，∴ AD = AE ①，BD = BF ②，CF = CE ③.∴ ①+②+③， 得 AD + BD + CF = AE + BF + CE.∴ AB + CF = AC + BF.
6. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点， 以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相 切于点 D. 求证：DE∥OC.
证明：方法①：连接 OD，如图.∵ AC 切⊙O 于点 D，∴ OD⊥AC.∴∠ODC =∠B = 90°.∵ OD = OB，OC = OC， ∴ Rt△ODC≌Rt△OBC (HL).∴∠DOC =∠BOC.∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED.
方法②：连接 BD，如图.∵ BC⊥AB，∴ BC 切 ⊙O 于点 B.又∵ AC 切 ⊙O 于点 D，∴ DC = BC，CO 平分∠DCB.∴ OC⊥BD.∵ BE 为 ⊙O 的直径，∴ DE⊥BD.∴ DE∥OC．
∵∠DOB =∠ODE +∠OED，∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC．