2023届高考数学二轮复习专题四三角函数第一讲三角函数的图像及性质学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题四三角函数第一讲三角函数的图像及性质学案，共9页。
专题四 三角函数 第一讲  三角函数的图像及性质（一）考点解读高考考点 考点解读三角函数的定义域、值域、最值1.求三角函数的值域或最值2.根据值域或最值求参数三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性2.根据单调性、奇偶性、周期性求参数三角函数的图像及应用1.考查三角函数的图象变换2.根据图象求解析式或参数（二）核心知识整合考点1：三角函数的定义域、值域、最值1.三角函数的图像函数图像定义域RR值域R最值当时，y取得最大值1当时，y取得最小值-1当时，y取得最大值1当时，y取得最小值-1无最值[典型例题]1.已知函数，则(   )A.的最大值为2  B.的最小正周期为πC.为奇函数  D.的图象关于直线对称[答案]：D[解析]　易知的最大值为，因此A错误；的最小正周期，因此B错误；，，则，即不是奇函数，因此C错误；令，，得的图象的对称轴方程为，，当时，，因此D正确.故选D.2.已知函数，则(   )A.的最小正周期为π，最大值为3 B.的最小正周期为π，最大值为4
C.的最小正周期为，最大值为3 D.的最小正周期为，最大值为4[答案]：B[解析] 易知，则的最小正周期为π，当时，取得最大值，最大值为4. 故选B.『规律总结』1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域(最值)的三种求法(1)直接法：利用sin x，cos x的值域．(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．提醒：求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域．[跟踪训练]1.函数（且）的值域为(   )A. B. C. D.[答案]：B[解析]　 且且，由正切线，得或，即或，故选B.2.函数在上的值域为,则的取值范围为(   )A. B. C. D.[答案]：A[解析] 当时,,由题意得,结合余弦函数的图象和性质,可得,解得,故的取值范围为.故选A.考点2：三角函数的性质1.三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性函数最小正周期单调性在  上递增，在  上递减在 上递增，在 上递减在上递增 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：.[典型例题][典型例题]1.函数在上的单调递减区间为(   )A.和  B.和C.和  D.[答案]：B[解析]　 本题考查三角函数的性质.，令，由，得，所以，在上单调递增，在上单调递减.又在上单调递减，在上单调递增，此时；在单调递减，在上单调递增，此时，对用复合函数的单调性可得函数在和上单调递减，故选B.2.函数是(   )A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数[答案]：D[解析] 由题意，得又，所以函数是最小正周期为的偶函数，故选D.提醒：要掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．[跟踪训练]1.若,则(   )
A.
B.
C.
D.[答案]：A[解析]  由，，得，，
即在，上是增函数，且周期为.
，，
，
即.故选A．
2.已知函数，则下列结论错误的是(   )A.的最大值是1  B.是周期函数C.的图像关于直线对称 D.是偶函数[答案]：C[解析] 的最大值是1，故A结论正确；是周期函数，故B结论正确；的图像不关于直线对称，故C结论不正确；是偶函数，故D结论正确.故选C.考点3：三角函数的图像及性质1. 函数的图像(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．(2)图象变换①y＝sinxy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)． ②y＝sinxy＝sinωxy＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．3.三角函数的对称性(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解得；(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．[典型例题]1.将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列结论正确的是(   )
A.函数的最小正周期为B.函数的图像关于直线不对称C.函数的图像关于点对称D.函数在区间上单调递增[答案]：D[解析]  将函数的图像向左平移个单位长度后，得，由最小正周期为，A错误；时，，故直线不是对称轴，B错误；时，，故不是对称中心，C错误；时，，故函数单调递增，故D正确.故选：D.2.现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为(   )A.  B.
C.  D. [答案]：D[解析]  现将函数的图象向右平移个单位，可得的图象；
再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，故选：D．
『规律总结』1．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程．②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0．2．求解三角函数的性质的三种方法(1)求单调区间的两种方法①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．(2)判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．(3)三角函数周期的求法①利用周期定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为．③利用图象．提醒：1.重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2.忽视A，ω的符号在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的． [跟踪训练]1.已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为3，且过点，则需要得到函数的图象，只需将函数的图象(   )A. 向右平移1个单位                     B. 向左平移1个单位C. 向右平移个单位                    D. 向左平移个单位[答案]：A[解析]  因为函数的图象上相邻两条对称轴的距离为3，所以，所以，因为过点，所以，因为，所以，所以，要得到，需要向右平移个单位. 故选A.2.将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称,则正数的最小值是(   )A. B. C. D.[答案]：D[解析] 将函数的图象向左平移个单位后,可得函数的图象,再根据得到的图象关于轴对称,可得,即,令,可得正数的最小值是,故选D.