2023届高考数学二轮复习专题五数列第二讲数列求和及综合应用学案

专题五 数列

第二讲 数列求和及综合应用

（一）考点解读

（二）核心知识整合

考点1：求数列的通项公式

(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．

(2)已知Sn与an的关系，利用an＝求an．

(3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．

(4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．

(5)构造法：①递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋＝p(an＋)(p≠1)的形式，利用{an＋}是以p为公比的等比数列求解；

②递推关系形如an＋1＝(p为非零常数)可化为－＝的形式．

 [典型例题]

1.已知各项都为正数的数列满足.

（1）证明：数列为等比数列.

（2）若，，求的通项公式.

 [解析]　 （1）因为，，

所以，，

又数列各项都为正数，所以，

所以.

所以数列为等比数列，公比为3.

（2）由（1）知，

则，，，

又，所以，所以，.

2.设数列前项和为，若，且

(1)求的通项公式

(2)设，求前项的和.

[解析] (1)因为，且  ①

当时，，得或(舍)；

当时，  ②

由①②得，，

因为，所以，可得，

所以是以3为首项，公差为的等差数列，

所以.

(2)由(1)中结论得，，

所以

.

提醒：数列的通项公式和函数表达式一样，可以由一个表达式给出，也可以分段由几个表达式给出.若已知一个数列的前n项和，则其通项公式为

只有，满足的情形，通项公式才可以统一写成.

[跟踪训练]

1.在数列中,.

(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;

(2)若,求数列的前n项和.

[解析]　 (1)因为,所以，

又,所以,

所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.

所以,

所以数列的通项公式.

(2)由(1)得,

所以,①

,②

由①-②得,

所以.

2.已知数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和.

 [解析] （1）因为，
所以.
因为，
所以是首项为3，公比为3的等比数列.
所以，故.
当时，，当时，也符合上式，所以.
（2）由（1）可得.
故，

所以 ，
整理可得.

考点2：求数列的前n项和

1.分组求和法

分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．

2．裂项相消法

将数列的通项an分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{}(其中{an}是公差d≠0且各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等．

3．错位相减法

形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．

4．倒序求和法

距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．

 (1)常见的拆项公式(其中n∈N*)

①．

②．

③．

④若等差数列{an}的公1差为d，则．

⑤．

⑥．

⑦．

(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如

①1＋2＋3＋…＋n＝；

②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；

③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．

 [典型例题]

1.已知为等差数列的前n项和，，．

（1）求；

（2）记数列的前n项和为，证明：．

 [解析]　 (1)设等差数列的公差为d，则，

∴由题意，有，得，，

∴．

（2），

∴

．

2.已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

 [解析] （1）① ②

①-②得，则，

在①式中，令，得.

∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，.

（2）.  所以，③

则  ，④

③-④得， 

.

『规律总结』

1．分组求和的常见方法

(1)根据等差、等比数列分组．

(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有(－1)n等特征．

2．裂项相消的规律

(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．

(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多．

3．错位相减法的关注点

(1)适用题型：等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘{an·bn}型数列求和．

(2)步骤：

①求和时先乘以数列{bn}的公比．

②把两个和的形式错位相减．

③整理结果形式．

[跟踪训练]

1.已知数列满足：，且对任意正整数m，n，恒成立.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

 [解析]  （1）因为对任意正整数m,n,恒成立，

所以时，有对任意正整数n恒成立，

又，所以，

即是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）由（1）知，所以，

所以，

两边乘以，得，

两式相减，得

，

所以.

2. 已知数列是等差数列，，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.

 [解析] （1）由题意得，所以，

时，，公差，所以，

时，，公差，所以.

（2）若数列为递增数列，则，所以，，，

所以，

，

所以

，

所以.

考点3：与数列的和有关的综合应用

数列与函数、不等式的综合问题的常见题型

(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．

 [典型例题]

1.已知是等差数列，，是函数的两个不同零点.

（1）求数列的通项公式;

（2）若，，求.

[解析]  （1）设数列的公差为.

，是函数的两个不同零点，

，.

，，

解得，，或.

若，则，不合题意，舍..所以，.

（2），

，

即，.

由得，，即.,

，.，即，，或.

当时，结论不成立，舍.

所以，，因此.

2.已知为等比数列的前n项和，若，且是等差数列的前三项.

（1）求数列的前n项和；

（2）求数列的通项公式，并求使得的n的取值范围.

[解析]  （1）设等比数列的公比为q，

由是等差数列的前三项，得，

即，                 

所以，整理得，解得.       

由，得，所以， 所以.      

（2）由（1）得，

所以，，

所以等差数列的前三项为，

所以.

由，得，即. 

令，故有.

当时，，即；

当时，，即，而.

所以使得的n的取值范围是，.

『规律总结』

数列与函数、不等式的综合问题的常见题型

(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．

提醒：解决数列与函数综合问题的注意点

(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．

(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．

(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．

[跟踪训练]

1. 已知等差数列中，，。

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，证明：

 [解析]  （1）设数列的公差为，由题意有，解得.

故数列的通项公式为.

（2）

2. 已知等差数列中,.

(1)求的通项公式.

(2)设数列的前项和为,求证：.

[解析] (1)解：设等差数列的公差为,则.

,

.

(2)证明：由(1)知,,

.

令,由函数的图像(图略)可知,,,

.