2023届高考数学二轮复习专题六立体几何第二讲点，直线，平面之间的位置关系学案

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专题六 立体几何第二讲  点，直线，平面之间的位置关系（一）考点解读高考考点 考点解读与空间位置关系有关的命题真假的判断1.多以命题的形式出现，判断命题的真假2.考查空间几何体中点、线、面的位置关系证明平行关系 1.以多面体为命题背景，证明线线平行、线面平行、面面平行2.以三视图的形式给出几何体，判断或证明平行关系，考查平行的判定及性质证明垂直关系 1.以多面体为命题背景，证明线线垂直、线面垂直、面面垂直2.考查垂直关系的判定定理与性质定理（二）核心知识整合考点1：线面平行与垂直的判定与性质定理名称文字语言图形语言符号语言线面平行的判定定理 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行 线面平行的性质定理一直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行线面垂直的判定定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直线面垂直的性质定理垂直于同一平面的两条直线平行 [典型例题]1.如图，在正方体中，点M在线段(不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是(   )①平面；②异面直线与所成角的取值范围是；③平面恒成立；④三棱锥的体积不是定值.A.①③ B.①② C.①②③ D.②④[答案]：B[解析]　在正方体中，连接，如图， 因对角面是矩形，则，而平面，平面，于是得平面，同理，平面，而，平面，因此，平面平面，又平面，故有平面，①正确；因，即异面直线与所成角即为与所成角，而是正三角形，点M在线段(不包含端点)上运动时，与所成角范围为，②正确；当M为的中点时，直线过点C，，即此时AC与不垂直，平面不恒成立，③错误；因为平面，则，即三棱锥的体积是定值，④错误.故选：B.2.如图，在圆柱中，正三棱柱的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，F为上一点，，E为BC的中点，则下列关系正确的是(   )①平面；②平面；③平面；④平面.A.①② B.①③ C.②③ D.③④[答案]：B[解析] 对于①，为的重心，，，又，，又平面，平面，平面，①正确；对于②，由①知：，又，与相交，又平面，与平面相交，②错误；对于③，为等边三角形，为中点，，由①知，，平面，平面，；又，平面，平面，③正确；对于④，由①知：，又为等边三角形，，异面直线与AB所成角为，即与AB不垂直，平面不成立，④错误.故选：B.『规律总结』1.判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定，进行肯定或否定．2.立体几何中证明平行关系的常用方法(1)证明线线平行的常用方法①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行．②利用平行四边形进行转换．③利用三角形中位线定理证明．④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．(2)证明线面平行的常用方法①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行．②     利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．3.立体几何中证明垂直关系的常用方法(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直．②利用勾股定理逆定理．③利用线面垂直的性质， 即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直．②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．③     利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等． [跟踪训练]1.如图，已知正方体，分别是，的中点，则(   )

A.直线与直线垂直，直线平面
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面
D.直线与直线异面，直线平面[答案]：A[解析]　 本题考查空间的线线关系与线面关系.易知平面，故，排除B，C项；连接，可知，所以平面ABCD，A项正确；因为AB不垂直于平面，，所以直线MN不垂直于平面，D项错误.故选A.2.在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（   ）A．平面  B．平面C．平面平面 D．平面平面[答案]：C[解析] ∵在正四面体中，分别是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，故正确；∵，是中点，∴，，∵，∴平面，∵，∴平面，故正确；∵平面，平面，∴平面平面，∵平面平面 ，且与平面不垂直，∴平面与平面不垂直，故错误；∵平面，且平面，∴平面平面，故D正确,故选C．考点2：面面平行与垂直的判定与性质定理名称文字语言图形语言符号语言面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 [典型例题]1.设为两个平面,则的充要条件是(   )A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.平行于同一条直线D.垂直于同一平面[答案]：B[解析]　 对于A,内有无数条直线与平行,当这无数条直线互相平行时,与可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.2.如图,设分别是长方体的棱的中点,则平面与平面的位置关系是(   )

A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不确定[答案]：A[解析] 和分别是和的中点，.
又平面平面平面.
又和E分别是和AB的中点，，且，
四边形是平行四边形，.又平面，
平面平面平面，
平面平面平面.故A正确.『规律总结』1.证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．2.证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．[跟踪训练]1.如图, 是O的直径, 垂直O所在的平面, 是圆周上不同于,的任意一点, ,分别为, 的中点,则下列结论正确的是 (     )A.
B. 与所成的角为
C. 平面
D.平面平面[答案]：D[解析]  依题意, ,又直线与相交,因此, 与不平行;注意到,因此与所成的角是; 注意到直线与不垂直,因此与平面不垂直;由于,,因此平面.又平面,所以平面平面.综上所述,故选D.2.如图,在三棱锥中，，平面平面.① ;② ;③平面平面;④平面平面.以上结论中正确的个数有(   )A.1 B.2 C.3 D.4[答案]：C[解析] ∵平面平面,平面平面，∴平面.又平面，∴ ，故①正确.∵平面，∴平面平面，故③正确.∵.∴平面.又平面，∴平面平面，故④正确.综上，①③④正确，选C.考点3：平行和垂直关系综合应用1.三种平行关系的转化2.三种垂直关系的转化 [典型例题]1.已知正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，P,Q分别是AC, FB上的动点，R是AB中点，则下列结论正确的是(   )
 A.若P,Q分别是AC,FB的中点，则PQ与EC是异面直线B.若P,Q分别是AC,FB的中点，则平面ECAC.若P,Q分别是AC,FB的中点，则平面平面ABCDD.[答案]：C[解析]　 选项正误原因A×连接AE，EC，由Q是FB的中点及正方形ABEF，得Q是AE中点，P是AC的中点，在中，由中位线定理可得，故PQ与EC非异面直线B×当P，Q分别是AC，FB的中点时，P，Q分别在AC，AE上，故平面ECAC√正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直，故平面ABCD，连接RQ，RP，PQ，R，Q分别是AB，FB的中点，故，故平面，平面RPQ，所以平面平面ABCDD×假设，由正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直，得平面ABCD，故，，故
平面ABEF，而正方形ABCD与ABEF所在平面互相垂直，故平面ABEF，则过A点有两条直线垂直同一平面，故假设不成立2.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的个数为(   )

①平面PQR截正方体表面得五边形；
②平面PQR；
③MN与PQ所成的角为90°；
④平面PQR.A.1 B.2 C.3 D.4[答案]：B[解析] 根据题意可得平面PQR截正方体各棱的中点，得截面为正六边形PFQGRE，如图所示，所以①错误；由图可得平面平面PQR，所以平面PQR，所以②正确，④错误；由题易得，所以MN与PQ所成的角为90°，所以③正确，故选B.
 『规律总结』1．求解平面图形折叠问题的关键和方法(1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何中解决．2.探索性问题求解的途径和方法(1)对命题条件探索的三种途径：①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．(2)对命题结论的探索方法：从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，现寻找与条件相容或者矛盾的结论．[跟踪训练]1. .如图,在四棱柱中,四边形为平行四边形,E,F分别在线段DB,上,且.若G在线段上,且平面平面,则(   )

A. B. C. D.[答案]：B[解析]  四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且,平面平面在上且平面平面.又.故选B.2.如图，在三棱柱中，M,N分别为棱的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F，则(   )
 A.  B.四边形MNEF为梯形C.四边形MNEF为平行四边形 D.[答案]：B[解析] ∵在平行四边形中，，.又平面ABC,平面ABC，平面ABC.又平面MNEF，平面平面，.显然在中，，四边形MNEF为梯形.故选B.