2023届高考数学二轮复习专题八概率与统计第一讲排列组合与二项式定理学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题八概率与统计第一讲排列组合与二项式定理学案，共8页。
专题八  概率与统计第一讲 排列组合与二项式定理 （一）考点解读高考考点 考点解读两个计数原理1.与涂色问题、几何问题、集合问题等相结合考查2.与概率问题相结合考查排列、组合的应用1.以实际生活为背景考查排列、组合问题2. 与概率问题相结合考查二项式定理的应用1.考查二项式展开式的指定项或指定项的系数2.求二项式系数和二项展开式的各项系数和（二）核心知识整合考点1：两个计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．3．两个计数原理的比较名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是解决完成一件事的不同方法的种数问题不同点运用加法运算运用乘法运算分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 [典型例题]1.如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为(   )A.24 B.80 C.72 D.96[答案]：D[解析]　至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：第一种，种植4种农作物，有种种植方法；第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，有①③，②④，①④这三种情况，每一种情况都有种种植方法.则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有（种）.故选D.2.从6人中选出4人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为(   )A.94 B.180 C.240 D.286[答案]：C[解析] 第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法；第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有种选法.由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为，故选：C.『规律总结』两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．[跟踪训练]1. 某班的数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同的课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为(   )
A. B. C. D. [答案]：B[解析]　 将12名同学平均分成四组，共有种不同的分法，分别研究四个不同课题，共有种不同的分法每组选出一名组长，共有种不同的选法，故不同的分配方案的种数为,故选B.2.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域A,B,C,D,E涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有(   )

A.120种 B.260种 C.340种 D.420种[答案]：D[解析] 分四步：①区域A涂色方案有5种；②区域B涂色方案有4种；③区域C涂色方案有3种；④对于区域D,E，若D与B颜色相同，则区域E涂色方案有3种，若D与B颜色不同，则区域D,E涂色方案均有2种，所以区域D,E涂色方案共有（种）.故不同的涂色方案有（种）.故选D.考点2：排列、组合的应用1．必记公式(1)排列数公式： (2)组合数公式： [典型例题]1.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的概率为(   )
A. B. C. D.[答案]：B[解析]　 “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有（种）排法，其中“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类：①“数”排在第一节，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则有（种）排法；②“数”排在第二节，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则有（种）排法.故“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排法共有（种），所以“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的概率，故选B.2.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是(   )A.342 B.346 C.432 D.428[答案]：B[解析] 可坐的座位一共有20个，2个人坐的方法数为，还需排除2人左右相邻的情况，把可坐的20个座位排成一排，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为.故选：B.『规律总结』解答排列组合问题的常用方法排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏；(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决；(3)元素相邻，可以看作是一个整体的方法；(4)元素不相邻，可以利用插空法；(5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉；(6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来；(7)定序问题缩倍法；(8)“小集团”问题先整体后局部法．[跟踪训练]1. 某教师一天上3个班级的课，每班1节，如果每班一天共9节课，上午5节、下午4节，并且该教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有(   )
A.474种 B.77种 C.462种 D.79种[答案]：A[解析] 从9节课中任意安排3节，有种排法，其中上午连排3节，有种排法，下午连排3节，有种排法，则这位教师一天的课的所有排法有（种），故选A.2. 某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为(   )A.12 B.24 C.48 D.720[答案]：C[解析] 先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有种不同的排法，再排2本语文书，有种不同的排法，最后排2本英语书，有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有种不同的排法.故选C.考点3：二项式定理的应用1.二项式定理：①定理内容：= ②通项公式：．2．重要性质及结论(1)组合数的性质：①C＝；②C＝；③C＋C＋…＋C＝；④C＋C＋…＋C＝．(2)二项式系数的有关性质：①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即②若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为，偶数项系数之和为． [典型例题]1.的展开式中含的项的系数为(   )A.120 B.30 C.-30 D.-120[答案]：D[解析]　 ：，的展开式中没有含的项，，的展开式通项，令，，所以含的项为，故选D.2.若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项为(   )A.90 B.-90 C.180 D.-180[答案]：C[解析] 因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以，则的展开式的通项公式，令，解得，所以该二项展开式中的常数项为.故选C.『规律总结』1.项式定理有关的题型及解法类型解法求特定项或其系数常采用通项公式分析求解系数的和或差常用赋值法近似值问题利用展开式截取部分项求解整除(或余数)问题利用展开式求解2．解决与二项式定理有关问题的五个关注点(1)Tr＋1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项．(3)公式中a，b的指数和为n，a，b不能颠倒位置．(4)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混．(5)二项式系数最大项与展开式系数最大项不同． [跟踪训练]1. .已知的展开式中的系数为-240，则该二项展开式中的常数项为(   )A.-640 B.-320 C.640 D.320[答案]：A[解析]  的展开式的通项公式为，令，得；令，得，舍去.故的展开式中的系数为，得.令，得，舍去；令，得.故的展开式中的常数项为.故选：A.2. 已知（a为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为(   )A.-79 B.79 C.-81 D.81[答案]：A[解析] 因为（a为常数）的展开式中各项系数之和为1，所以在中，令，可得，解得.的展开式的通项，令，解得，令，解得，故的展开式中的系数为，故选A.