2023届高考数学二轮复习专题3不等式二级结论讲练学案

专题3  不等式

二级结论1：均值不等式链

【结论阐述】（，当且仅当时取等号）

【应用场景】以“和”（平方和、调和）为本质特征的“平均数”与以“积”为本质特征的“平均数”相互转化．主要用于求函数最值、证明不等式，但要注意三个条件：①“一正”，即项项为正；②“二定”，即两项之积“或和为定值”；③“三相等”，即项项相等时才能使“”号成立．

【典例指引1】

1．若为正数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将完全平方式展开，重组，利用基本不等式即可得出结论.

【详解】∵，

，

当且仅当，即时，取等号，

此时取最小值，最小值为.

故选：C.

【典例指引2】

2．设，，，则的最大值是______________.

【答案】

【分析】已知，故应用基本不等式变为可以用表示的形式，观察知除个就可以了

【详解】解：，

∴，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：.

【针对训练】

一、单选题

（2023·天津·南开中学模拟预测）

3．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.

【详解】因为，且为正实数

所以

，当且仅当即时等号成立.

所以.

故选：B.

（2023·辽宁鞍山·一模）

4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ）

A．16 B．25 C．36 D．49

【答案】B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，

又，即，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

所以函数的最小值为25.

故选：B

（2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）

5．若、，且，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据基本不等式计算求解.

【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.

故选：A.

（2023·广东茂名·二模）

6．已知 ，则 的最小值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】C

【分析】由可得，令，表示出a,b,再由，结合不等式知识，即可求得答案.

【详解】由可得：,故 ，

令，则，

因为

，

当且仅当，即或时等号成立，

所以 ，即的最小值为2，

故选：C．

（2023·浙江湖州·模拟预测）

7．已知，定义，则的最小值是（    ）

A．5 B．6 C．8 D．1

【答案】A

【分析】利用定义得到，两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果.

【详解】由定义，得，

所以，

当且仅当，即时，取等号.

所以，即的最小值为.

故选：A

二、多选题

（2023·河北保定·一模）

8．下面描述正确的是（    ）

A．已知，，且，则

B．函数，若，且，则的最小值是

C．已知，则的最小值为

D．已知，则的最小值为

【答案】AC

【分析】对于选项A，利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用对勾函数的单调性求解判断；C，用“1”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D，将，转化为，利用二次函数的性质求解判断.

【详解】对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；

对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；

对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；

对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，

故选：AC．

（2023·广东肇庆·二模）

9．已知，，，且，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据基本不等式逐个分析判断

【详解】∵，∴，

∴，

∴，当且仅当或时取等号，故A正确；

∵，∴，当且仅当或时取等号，故B错误；

∵，当且仅当或时取等号，故C正确；

由选项B的解析可知，所以，所以，所以，当且仅当或时取等号，故D错误．

故选：AC

（2023·江苏·盐城中学模拟预测）

10．已知均为正数且，下列不等式正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由已知条件可得，然后逐个分析判断即可

【详解】由，得，

所以，

因为均为正数，所以，

对于A，，

当且仅当，即时取等号，所以A错误，

对于B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确，

对于C，因为，所以，所以，

当且仅当，即时取等号，所以C正确，

对于D，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以D正确，

故选：BCD

（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）

11．已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（    ）

A．1 B．4 C．9 D．32

【答案】BD

【分析】根据基本不等式可得，进而求得或，再结合选项判断即可

【详解】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．

故选：BD．

（2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）

12．设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D.H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.

【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，当时，由C可知，，故D不正确.

故选：AB

二级结论2：两个经典超越不等式

【结论阐述】（1）对数形式：，当且仅当时，等号成立．

（2）指数形式：，当且仅当时，等号成立．

进一步可得到一组不等式链：（且）

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：，

，截取片段：，当且仅当时，等号成立；进而：，当且仅当时，等号成立．

【应用场景】对于这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式还有：，，，等，这些都高考命题的题点．

【典例指引1】

（2022·江苏苏州·高三期末）

13．已知 则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】错误的三个选项ABD可以借助特殊值法进行排除，C可以利用求导得出证明.

【详解】取，则，故A选项错误；

取，，，则B选项错误；

取，，则，，即，

故D选项错误；

关于C选项，先证明一个不等式：，令，，

于是时，递增；时，递减；

所以时，有极小值，也是最小值，

于是，当且仅当取得等号，

由，当时，同时取对数可得，，

再用替换，得到，当且仅当取得等号，

由于，得到，，，即，

C选项正确.

故选：C.

【典例指引2】

（2022·安徽·高三月考）

14．已知函数.

(1)若对，都有，求实数a的取值范围；

(2)若a、，且，求证：对任意，都有：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数,然后根据a的取值分类讨论,结合导数求函数的最小值,即可确定实数a的取值范围；

(2)利用(1)的结论,构造不等式，,两式相乘结合条件即可证明.

（1）

由时：

又：,

①若时，由，故，

所以对任意，都有：

此时函数在上单调递增，故对任意，都有：满足条件.

②若时，由，故：

故可得：

故函数在上单调递减，在上单调递增,

故：不满足条件，都有,

综上，实数a的取值范围为.

（2）

由（1）可知，当时，对任意，都有：,

故对任意，都有：,

又a、，故对任意，都有：，

又，故：

故对任意，都有：.

【点睛】本题考查了根据函数值恒大于零求参数的范围以及用导数证明函数不等式的问题，解答时要注意分类讨论的思想方法，根据导数的正负确定函数的单调性以及最值，解答的关键是证明函数不等式时，能灵活地借用第一问的结论.

【针对训练】

（2022·广东韶关·一模）

15．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数证明，进而比较大小，再根据正余弦函数性质比较大小即可得答案.

【详解】解：当，又，所以，故

记，所以，

令，得，令，得，

所以在单调递减，在单调递增.

所以，即，当时取等号.

所以，

所以.

故选：C.

（2022·山西运城联考）

16．已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数比较在上的大小关系，判断命题p真假，由指数函数的性质判断命题q真假，进而判断各复合命题的真假即可.

【详解】令且定义域为，则，

所以上，递增；上，递减；

所以，即，又，恒成立，

所以命题p为假命题，命题q为真命题，则为真命题，为假命题，

故为真，、、为假.

故选：A.

（2022·广东肇庆·）

17．下列不等式中，不恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于A：由于，即可判断A是否正确；对于B：由于，即可判断B是否正确；对于C：由于，即可判断C是否正确；对于D：取，得，即可判断D是否正确．

【详解】对于A：令，

，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，

所以，

所以，故A正确；

对于B：令，

，

所以在上，，单调递减，

在，上，，单调递增，

所以，

所以，

所以，，故B正确；

对于C：令，

，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以（1），

所以，

所以，

所以，故C正确；

对于D：取，得，故D错误，

故选：D

（2022·安徽·东至县第二中学）

18．下列不等式正确的个数有（    ）个.   

①；②；③

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】对于①，构造函数，再讨论其最小值即可；对于②，利用①的结论即可判断；对于③，构造函数，讨论其单调性即可.

【详解】对于①，令，，则在上递减，在上递增，，

，即，①正确；

由知，恒成立，则有，即成立，②正确；

对于③，令，，即在上单调递减，

而，则，

所以有，③正确.

故选：D

19．下列四个命题中的假命题为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】结合导数判断AB选项的真假性，利用特殊值判断D选项的真假性，利用导数判断C选项的真假性.

【详解】构造函数，，所以在区间上，递减，在区间上，递增，所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即在上恒成立，将改为，则有在上恒成立.所以AB选项为真命题.

当时，，，此时，所以D选项为真命题.

构造函数（），，所以在区间上，递增，在区间上，递减，所以在处取得极大值也即是最大值，所以，即在上恒成立.所以C选项为假命题.

故选：C

【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查全称量词命题和存在量词命题真假性的判断，属于中档题.

20．下列不等式中正确的是

①；②；③.

A．①③ B．①②③ C．② D．①②

【答案】B

【分析】利用导数研究函数的单调性，求得函数的最值，依次对各个命题进行判断即可.

【详解】对于①：令，则恒成立，

则是减函数，所以有恒成立，

所以成立，所以①正确；

对于②：，令，，

当时，，当时，，

所以函数在上是减函数，在上是增函数，

所以在处取得最小值，所以，

所以成立，所以②正确；

对于③，，，令，有，

所以有当时，，当时，，

所以函数在时取得最大值，即，

所以，恒成立，所以③正确；

所以正确命题的序号是①②③，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关判断不等式能否恒成立的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，确定函数的最值，属于简单题目.

（2022·浙江·高三月考）

21．证明以下不等式：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可证得；

（2）令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可证得；

（3）由（1）得，由（2）得，结合①式与②式取等号的条件不同，即可证得.

（1）

解：令，则有.

令，即，解得；

令，即，解得，

所以在单调递减，上单调递增，

所以，即.

所以.

（2）

解：令，则.

令，即，解得；

令，即，解得，

所以在单调递增，上单调递减，

所以，即，

所以.

（3）

解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.

由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②

因为①式与②式取等号的条件不同，所以.

22．已知.

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；

(3)证明不等式：.

【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.

(2)0.

(3)证明见解析.

【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，可得原函数的单调性；

（2）求得函数的解析式，并对求导函数，分析其导函数的符号，得出函数的单调性和最值，从而求得答案；

（3）由（2）得在上恒成立，令，则有 ，运用累加法可得证.

（1）

解：，， 由得，

当时，.

函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2）

解：函数， ，

，令，得.

时，，时，，

在递减，在递增，，

关于的方程有解，则实数的最小值为0.

（3）

证明：由（2）得在上恒成立，

令，则有 ，

，，，， ，

，

.