2023届高考数学二轮复习专题6平面向量二级结论讲练学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题6平面向量二级结论讲练学案，共23页。学案主要包含了结论阐述，应用场景，典例指引1，名师点睛，典例指引2，针对训练，一题多解等内容，欢迎下载使用。
专题6  平面向量二级结论1：极化恒等式【结论阐述】（1）极化恒等式：；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形中，，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的；（3）极化恒等式三角形模型：在中，为边中点，则；.说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题.【典例指引1】（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）1．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.           【答案】【详解】因为，，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解． 【典例指引2】2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．【针对训练】（2022·山东日照市·高三二模）】3．如图，在平行四边形中，已知，则的值是（    ）A．44 B．22 C．24 D．72【答案】B【分析】以为基底分别表示出，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为，所以，，而，所以，，化简得：，即．故选：B．（2022·河北武强中学高三月考）4．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是________．【答案】9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用,求出，再利用，运算可求出结果.【详解】在平面四边形中，O为BD的中点，且若，则，，，.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.（2022·全国福建省漳州市高三期末）5．在中，为的三等分点，则A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若，则，即有，为边的三等分点，则,故选B．（2022·海南海口·二模）6．在正三角形中，点是线段的中点，点在直线上，若三角形的面积为，则的最小值是___________【答案】##【分析】取中点，由题意，计算得，的高为，数形结合可知，的最小值为的高，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为，代值计算.【详解】取中点，由正的面积为，，的高为，数形结合得，的最小值为的高，即，所以，所以.故答案为：（2022•南通期末）7．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是______.【答案】【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得，由平面向量数量积的运算可得，由余弦定理结合基本不等式可得，进而可得，令，利用导数求得的最小值后即可得解.【详解】因为、分别是、的中点，所以到的距离等于点到的距离的一半，所以，又，所以，因此，所以；又由余弦定理可得：，当且仅当时，取等号；所以，令，，；又，由得，所以；由得，所以；所以在上单调递减，在上单调递增；所以，因此的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.（天津高考）8．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】          【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别为，，，则（1）为的外心.（如图1）（2）如图2，为的重心.（3）如图2，为的垂心.（4）如图3，为的内心.说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.【典例指引1】9．在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ）A．满足，则点是的外心B．满足，则点是的重心C．满足，则点是的垂心D．满足，且，则为等边三角形【答案】ABCD【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC，用向量的数量积和运算律判断D即可.【详解】解：对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．故选：ABCD．【典例指引2】10．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】A【分析】设边的中点为，则，进而结合题意得，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设边的中点为，则，因为点满足，其中所以，，即，所以，点的轨迹为的中线，所以，点的轨迹一定经过的重心.故选：A【针对训练】11．在△中，，，，O为△的内心，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由得，则，因为O为△的内心，所以，从而，解得，，所以.故选：C.12．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.13．设G为的重心，若，，，则___________【答案】4【分析】由G为的重心，易得又，结合数量积运算律即可得到结果.【详解】由已知可得是以B为直角顶点的直角三角形， 因为G为的重心，所以，∴，故答案为：414．设O为的外心，若，，则___________.【答案】【分析】根据条件和几何意义，将  转化为相应的向量投影即可求解.【详解】如图，设D､E分别为的中点，则，所以 ,故答案为：-2    .15．设I为的内心，若，，，则___________【答案】【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.【详解】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I与､､分别相切于点D､E､F，设圆I的半径为r，则，显然四边形是正方形，所以，从而，，易证，，所以，，故，从而，，.故答案为: .解法2：按解法1求得的内切圆半径，由图可知在上的投影即为，所以.故答案为: .二级结论3：奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设是内一点，，，的面积分别记作，，则.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①是的重心.②是的内心.③是的外心.④是的垂心.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.【典例指引1】（2022·四川西昌·高二期末）16．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B【典例指引2】17．设G是△ABC重心，且，则_________．【答案】【分析】将重心G满足的向量关系式代入已知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再由平面向量基本定理，得到对应系数为0，最后利用正、余弦定理求解.【详解】如图，设三边AB中点为D，是的重心，，同理可得，，，，即，又与不共线，由平面基本定理得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得， ，又B为的内角，.故答案为：.【点睛】关于四心的向量关系式：O是的外心；O是的重心；O是的垂心；O是的内心.(其中为的三边)【针对训练】一､单选题18．若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】由（），得到，再根据经过在的重心判断.【详解】因为（），所以，所以在的边AB上的中线所在直线上，则在的中线所在直线上，所以点的轨迹一定过的重心，故选：C19．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（    ）A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【答案】C【分析】设的中点为，通过向量的线性运算求得，由此判断出的轨迹经过三角形的重心.【详解】设线段BC的中点为D，则有)，因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，则，因此P点在直线AD上，又AD是△ABC的BC边上的中线，因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心．故选：C20．已知是平面内一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则点的轨迹一定通过的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为∠BAC的平分线的方向，又，所以λ的方向与的方向相同.而＝＋λ可得，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过的内心.故选：.21．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（    ）A．重心 B．内心C．外心 D．垂心【答案】A【分析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.【详解】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得，因为，所以，即，即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：A二､多选题（2022·重庆实验外国语学校高一期中）22．对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．若三点共线，则存在实数使【答案】AD【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A正确；对于B：由于点为给定的的重心，故，故B错误；对于C：点为给定的的垂心，所以，因为重心为G，则有，，所以，若，则点H为重心，与题意矛盾，因为故C错误；对于D：由于点在的平分线上，所以为单位向量，所以在的平分线上，所以存在实数使，故D正确．故选：AD．（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）23．点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ）A．若，则点O是的重心．B．若，则点O是的内心．C．若，则点O是的外心．D．若，则点O是的垂心．【答案】ABCD【分析】对A，通过判断为边上中线的三等分点可得；对B，通过判断点O在三角形各个角的平分线上可得；对C，通过判断可得；对D，通过判断，可得.【详解】对A，设为中点，由于，所以为边上中线的三等分点（靠近点D），所以点O是的重心，故A正确；对B，向量分别表示在边AC和AB上的单位向量和 ，记它们的差为向量 ，则当时，即时，点O在的平分线上，同理由可得点O在的平分线上，所以点O是的内心，故B正确；对C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是另一条对角线，则由可得该平行四边形为菱形，即，同理由可得 ，所以点O是的外心，故C正确；对D，由得，则，所以，同理可得，所以点O是的垂心，故D正确.故选：ABCD.三､填空题24．已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心  ②垂心   ③ 重心   ④外心【答案】④【分析】设BC的中点为D，两端同时点乘，由可得答案.【详解】设BC的中点为D，∵，∴，即，两端同时点乘，∵= ===0，所以，所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故答案为：④.