2023届高考数学二轮复习专题10解析几何1二级结论讲练学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题10解析几何1二级结论讲练学案，共38页。学案主要包含了结论阐述，应用场景，典例指引1，典例指引2，针对训练等内容，欢迎下载使用。
专题10 解析几何1
二级结论1：焦点三角形的面积公式
【结论阐述】1.椭圆中焦点三角形面积公式
在椭圆（）中，，分别为左､右焦点，为椭圆上一点，，的面积记为，则：①；②；③，其中.

2.双曲线中焦点三角形面积公式
在双曲线（，）中，，分别为左､右焦点，为双曲线上一点，，的面积记为，则：①；②；③.
注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.
【应用场景】
【典例指引1】
（2022·湖北·天门教育科学研究院高二期末）
1．已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】由椭圆的方程可得，，，则，
因为，则，
即，即，解得，
因此，.
故选：D.
【典例指引2】
（2022·安徽亳州一中高二月考）
2．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，由题意可得，设，，根据对称性可得，，根据双曲线的定义可得，，，整理可得关于，的齐次方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，
因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
所以，圆心为，半径为，
根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，，
则，由可得，
所以，所以，所以.
故选：B.    

【针对训练】
（2022·吉林吉林·高三期末）
3．已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设.先由题意求出椭圆标准方程为..把转化为，由求出，即可求得.
【详解】设.
在中，当时，由椭圆的定义，余弦定理得：
整理得：
由三角形的面积公式得：，解得：.
因为线段的中点落到y轴上，又O为的中点，所以轴，即.
由，得，解得：，所以，
代入椭圆标准方程得：.
又有，解得：，所以椭圆标准方程为：.
所以.
因为，所以.
所以.
因为，
当时，，
所以.
故选：A.
【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
（2022·天津和平·高二期末）
4．双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.
【详解】，所以，，，
在双曲线上，设，，
①，
由，在中由余弦定理可得：
，
故②，
由①②可得，
直角的面积.
故选：C.
（2022·江西鹰潭·高二期末）
5．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（    ）
A．48 B．40 C．28 D．24
【答案】D
【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.
【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，
而，且，则有是直角三角形，，
所以的面积为24.
故选：D
（2022·安徽亳州第一中学高二期末）
6．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（    ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出
【详解】解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）
7．椭圆的左右焦点为､，为椭圆上的一点，，则△的面积为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由椭圆方程可得，结合余弦定理求得，最后根据三角形面积公式求△的面积.
【详解】∵点是椭圆上的一点，､是焦点，
∴，即①，
∵在△中，
∴②，
①-②得：，.
故选：C.
（2022·北京第五十七中学高二月考）
8．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（    ）
A．离心率 B．的周长为18
C．直线与直线斜率乘积为定值 D．若，则的面积为8
【答案】D
【分析】根据离心率的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；求出可判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D.
【详解】由，可得，，，
A，离心率，故A正确；
B，的周长为，故B正确.
C，设，，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D错误.
故选：D
（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）
9．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得为直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解
【详解】由题意，故为直角三角形，
，
又，
，
又为直角三角形，故，
，
即，
.

故选：D.
（2022·山西运城·高二期末）
10．已知点是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ）
A．与双曲线的实轴长相等
B．的面积为
C．双曲线的离心率为
D．直线是双曲线的一条渐近线
【答案】B
【分析】由题意及双曲线的定义可得，的值，进而可得A不正确，计算可判断B正确，再求出，的关系可得C不正确，求出，的关系，进而求出渐近线的方程，可得D不正确．
【详解】因为，又由题意及双曲线的定义可得：，
则，，所以A不正确；
因为在以为直径的圆上，所以，
所以，所以B正确；
在△中，由勾股定理可得，
即，所以离心率，
所以C不正确；
由C的分析可知：，故，所以渐近线的方程为，
即，所以D不正确；
故选：B．
（2022·内蒙古赤峰·高三期末）
11．已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得，，，，进而在中，利用等面积法得的内切圆的半径，再设的内切圆与边相切于点，进而在中结合勾股定理求解即可.
【详解】解：因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，
所以，，，
因为，所以，
设的内切圆的半径为，
则，即，解得，
如图，设的内切圆与边相切于点，则，，
所以，
所以
故选：A

（2022·广东·执信中学高三月考）
12．已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义，在中，运用余弦定理，并结合和的面积建立方程，解出方程即可
【详解】根据双曲线的定义，可得：
又：
解得：，
双曲线C的离心率为，则有：
在中，由余弦定理，可得：
则有：
的面积为，可得：
解得：
故双曲线C的实轴长为：2
故选：B
（2022·广西玉林·模拟预测）
13．已知双曲线的左，右焦点为，P为双曲线右支上的一点，，I是的内心，则下列结论错误的是（    ）
A．是直角三角形 B．点I的横坐标为1
C． D．的内切圆的面积为
【答案】D
【分析】由双曲线的定义得，，设，由余弦定理可求解，即可判断出，再由等面积法计算内接圆的半径，即可得点的坐标和面积，写出点坐标，利用距离公式可求解出.
【详解】由已知可得，，设，则，得，所以，即，所以，所以A正确；设内接圆半径为，则，得，所以I的坐标为，面积为所以B正确，D错误；由题意，，所以C正确；
故选：D.

二级结论2：圆锥曲线的切线问题
【结论阐述】
1.过圆：上一点的切线方程为.
2.过椭圆上一点的切线方程为.
3.已知点，抛物线：和直线：.
（1）当点在抛物线上时，直线与抛物线相切，其中为切点，为切线.
（2）当点在抛物线外时，直线与抛物线相交，其中两交点与点的连线分别是抛物线的切线，即直线为切点弦所在的直线.
（3）当点在抛物线内时，直线与抛物线相离.
【应用场景】圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.也可以运用上述结论快速得出切线方程.
【典例指引1】
14．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．
【答案】1
【分析】设出切线方程，与抛物线联立，利用求得，即可得出所求.
【详解】设切线斜率为，则切线方程，
联立方程可得，
则，解得，
即切线方程为，
取，得．
∴切线在轴上的截距为1．
故答案为：1．
【典例指引2】
（2022·安徽·六安一中高二期末）
15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】设，由题意得，过点B的切线l的方程为：，
令，可得，令，可得，
所以面积，
又点B在椭圆上，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：C
【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
【针对训练】
16．已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题.
17．过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据类比推理，可得直线的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.
【详解】过椭圆上的点的
切线的方程为，
即，切线的斜率为，
与直线垂直的直线的斜率为，
过点且与直线垂直的
直线方程为，
即.
故选：
【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题.
（2022·新疆·乌苏市第一中学高二月考）
18．已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆与直线平行的切线，它们与的距离一个最大值一个是最小值．
【详解】设直线与椭圆相切，由得，
∴，，
切线方程为和，与距离较规远的是，
∴所求最大距离为．
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值，解题方法是转化为平行直线与椭圆相切，求出两平行线间的距离即可．
（2022·广东佛山·模拟预测）
19．过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则可得切线为，从而可求出直线的斜率，再由题意可得，则得，进而可求出双曲线的离心率
【详解】设，由于双曲线在点处的切线方程为，故切线的斜率；因为，则，则，即双曲线的离心率，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与性质，考查考生直观想象、数学运算的核心素养，解题的关键是求出双曲线在点处的切线方程为，则有切线的斜率，再结题意可得答案，属于中档题
20．若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】D
【详解】由直线与曲线 相切得
由图知,的取值范围是（），选D.

（2022·山西临汾·一模）
21．过点作抛物线的两条切线，切点分别为.若为的重心，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，根据导数的几何意义，求出切线和的方程，联立方程可得，根据，可得，再根据重心坐标公式，即可求出结果.
【详解】由题意，设，
又抛物线，所以，所以
所以切线的方程为，即；
同理切线的方程；
联立，的方程，，解得
又，所以，所以，
又为的重心，所以的横坐标为，
纵坐标为，
所以点的坐标为.
故选：A.
（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三月考）
22．倾斜角为135°的直线与抛物线相切，分别与轴、轴交于、两点，过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为（    ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由题可求直线，进而可得圆的方程为，再利用弦长公式即求.
【详解】由题可设直线的方程，
由，得，
∴，解得，
∴，
令，得，令，得，即，
∴过，两点的最小圆即以为直径的圆，其圆心为，半径为，方程为，
又抛物线的准线为，
∴过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为.
故选：B.
23．设抛物线，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，，，，的横坐标分别为，，则（    ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】利用导数求出切线斜率，写出切线方程，消去，联立方程组即可得解.
【详解】由得，得，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以，①，②
由①、②得．
故选：A
（2022·河南·高三月考）
24．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大. 设切点为，切线的斜率为，由切线方程得到，即得到韦达定理，设，化简代入韦达定理得解.
【详解】解：如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大.
由得，所以.
设切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为,
因为切线过点，所以，即.
因为有两个切点，所以，
设，则有，

所以，
所以，
代入韦达定理得或.
因为，所以.
故选：A

二级结论3：圆锥曲线的中点弦问题
【结论阐述】
1.在椭圆：中（特别提醒此题结论适用焦点在轴上椭圆）：
（1）如图①所示，若直线与椭圆交于，两点，过，两点作椭圆的切线，，有//，设其斜率为，则.
（2）如图②所示，若直线与椭圆交于，两点，为椭圆上异于，的点，若直线，的斜率存在，且分别为，，则.
（3）如图③所示，若直线与椭圆交于，两点，为弦的中点，设直线的斜率为，则.

2.在双曲线：中，类比上述结论有（特别提醒此题结论）：（1）；（2）；（3）.
3.在抛物线：中类比1（3）的结论有.
【应用场景】以上关于椭圆（双曲线）的结论适用于焦点在轴上椭圆（双曲线）.圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解.
【典例指引1】
（2022·内蒙古·海拉尔二中高三期末）
25．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（    ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
【答案】D
【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得：
，设，则.
对A：，故直线不垂直，则A错误；
对B：若直线方程为，联立椭圆方程，
可得：，解得，故，
则，故错误；
对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，
解得，即，故错误；
对：若点M坐标为,则，则，
又过点，则直线的方程为，即，故正确.
故选：.
【点睛】本题考察椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，属中档题.
【典例指引2】
（2022·安徽·淮北师大附中高二期中）
26．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法可求得，再由可得出、的值，即可得出椭圆的标准方程.
【详解】解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，
将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，
可得，
因为线段的中点坐标为，所以，，，
因为抛物线的焦点为，所以，
又直线过点，因此，所以，，
整理得，又，解得，，
因此，椭圆的方程为，
故选：D.
【针对训练】
（2022·江苏溧阳·高二期末）
27．将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意求出曲线C的方程，然后利用点差法求出直线l的斜率，从而可求出直线方程
【详解】设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则
，得，
所以，
所以曲线C的方程为，
设，则
，
两方程相减整理得，
因为AB中点坐标为M（1，），
所以，即，
所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，
故选：A
2022·湖南长沙·高三月考）
28．已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且的最小值是，点是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，再结合其最小值为和可求出，从而可得点的坐标，再利用点差法可求出直线AB的斜率，从而可求出直线方程.
【详解】因为m，n，s，t为正数，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，又，
又为正数，所以解得，即，
设弦两端点分别为，则，
两式相减得，
因为，
所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即.
经检验直线与椭圆有两个交点，
所以直线方程为，
故选：D
（2022·江苏盐城·高二期末）
29．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．
【详解】设弦的两端点为，，
代入椭圆得
两式相减得，
即，
即，
即，
即，
弦所在的直线的斜率为，
故选:A ．
（2022·江西南昌·高二期末）
30．如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论．
【详解】由题意，则，即，由圆方程知，
设，，则，，
又，两式相减得，
所以，
直线方程为，即．
故选：D．
（2022·四川·石室中学一模）
31．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（    ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】以直线斜率是否存在进行分类.斜率存在时，直接代入题设中的式子，求出的值，进而求出离心率.斜率不存在时，由题意得出点的轨迹为圆，再利用解出点的坐标，根据“点差法”求出，进而求出离心率即可.
【详解】若直线斜率不存在，不妨设点，
则
所以，则离心率；
若直线斜率存在，设，
中点，不妨设M在x轴上方，
由，得，
故点M在圆上，
由，得，
则，所以．
由得，即．
当时，，得．
当时，，矛盾，舍去．
综上所述，或．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题是求双曲线的离心率，在直线斜率不存在时，利用两点的中点，采用“点差法”求出是解题的关键.
32．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设,的中点为，用点差法可得，由可得结合点在直线上，可得出 的关系，从而可得答案.
【详解】由双曲线得到渐近线的方程为
即双曲线的两条渐近线合并为
设,的中点为，则，
两式相减可得，即
   ……………    ①
又点在直线上，则  ……… ②
由,则，则   …………… ③
联立②，③可得，
将代入①可得
所以渐近线的方程为
故选：A
（2022·江苏·高三月考）
33．已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝（    ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】C
【分析】设，点差法可得，得到直线AB的方程为 ，与抛物线联立，利用弦长公式即得解
【详解】由题意，设
线段AB的中点为M(1，1)
故
且
两式相减得：
故
故直线AB的方程为：，即
将直线与抛物线联立：
即

则
故选：C
（2022·重庆巴蜀中学高二期中）
34．已知抛物线：，其焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率大于0的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线相切于点Q，为坐标原点，，则圆的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由焦点F到准线的距离为2，求出，即得焦点坐标，准线方程，抛物线方程，直线斜率为正，得在轴上方，从而得在轴上方，由得点坐标，于是得点纵坐标，用点差法可求得直线斜率，再得点横坐标，同时得出圆半径，得圆方程．
【详解】抛物线的焦点到准线距离为2，则（因为），焦点为，准线方程是，抛物线方程是，
因为直线斜率为正，所以的中点在轴上方，而轴，所以在轴上方，
设，，则，所以（负数舍去），
因此的纵坐标为，
设，，
，两式相减得，
所以，又，，即，
所以圆半径为，
圆方程为．
故选：A．
（2022·湖南邵东·高二期末）
35．椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【分析】设，利用“点差法”得到，即可求出离心率.
【详解】设直线与椭圆交于，则.
因为AB中点,则.
又，相减得：.
所以
所以
所以，所以，即离心率.
故答案为：.
（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）
36．已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点且线段AB的中点为，则直线l的斜率为________.
【答案】
【分析】由椭圆离心率和关系可得关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.
【详解】解：由题意可得，整理可得，
设，则，
两式相减可得，
的中点为，，
则直线斜率.
故答案为：.
（2022·上海·复旦附中高二期末）
37．过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出双曲线的离心率．
【详解】解：设，，，，则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，
①②两式相减可得，即，
．
故答案为：．
38．已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．
【答案】0或
【分析】设，，，，的中点为，，由点差法可得；通过两点关于直线对称，可得，求出的坐标，代入抛物线方程求解即可．
【详解】解：设，，，，的中点为，，则，
由点差法可得，即①，
显然，又因为②，
代②入①可得；
由两点关于直线对称，可得，
所以，又因为，所以，
代入抛物线方程得，
解得或．
故答案为：0或．
（2022·四川省南充高级中学高三月考）
39．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．
【答案】
【分析】解法一，利用点差法，结合，以及，变形得到，再转化为关于的齐次方程，求解；解法二，设直线，，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于的齐次方程，求解.
【详解】解法一  由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．
解法二  由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．
故答案为：
【点睛】思路点睛：  常见的求双曲线离心率的方法：①根据已知条件列方程组，解出，的值，直接利用离心率公式求解即可；②根据已知条件得到一个关于，（或，）的齐次方程，然后转化为关于离心率的方程来求解．