2022-2023学年河北省保定市高阳县三利中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省保定市高阳县三利中学八年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省保定市高阳县三利中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题，每题3分；11-16小题，每题2分；共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选出答案后，填在题后的括号内）
1．（3分）下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）下列图形中，内角和等于外角和的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图所示是番茄果肉细胞结构图，番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将数据0.0006米用科学记数法表示为（　　）

A．6×10﹣4米 B．6×10﹣3米 C．6×104米 D．6×10﹣5米
5．（3分）若分式x2−92x+6的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD＝5cm，CD＝4cm，则点D到直线AB的最小值是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（3分）已知点A（m，2020）与点B（2019，n）关于x轴对称，则m+n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
8．（3分）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
9．（3分）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（　　）
①3x3•（﹣2x2）＝﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a；③（a3）2＝a5；④（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（　　）

A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
11．（2分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
12．（2分）如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（　　）


A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确
C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确
13．（2分）已知（x3y﹣2）2÷（﹣xy﹣3）2＝6，则x4y2的值为（　　）
A．6 B．36 C．12 D．3
14．（2分）如图，某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量，李师傅设计了一个方案．补充内容不正确的是（　　）
（1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C；
（2）连接BC并延长到E，使得△；
（3）连接AC并延长到D，使得▽；
（4）连接〇并测量出它的长度，即为AB的长；
（5）上述方案的依据是◇．

A．△代表CE＝BC B．▽代表CD＝CA C．〇代表DE D．◇代表SSS
15．（2分）若关于x的方程4x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜8且a≠2 B．a＜8且a≠4 C．a＜8且a≠1 D．a＜8
16．（2分）有一道题目：“如图，∠AOB＝60°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在点M，N的运动过程中，求∠F的度数．”甲的解答：∠F的度数不能确定，它随着点M，N的运动而变化，且随∠OMN的增大而减小；乙的解答：∠F始终等于45°，下列判断正确的是（　　）

A．甲说的对
B．乙说的对
C．乙求的结果不对，∠F始终等于30°
D．两人说的都不对，凭已知条件无法确定∠F的值或变化趋势
二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共12分．请将答案写在横线上）
17．（4分）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则2a+b＝　 　；a+c﹣2b＝　 　．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若△BCD的周长为5，BC＝2，则AC的长为 　 　，边AB长的取值范围是 　 　．

19．（4分）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．
（1）如图1．以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出 　 　个；
（2）如图2，∠1+∠2＝　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤，请将解答过程写在相应位置．）
20．（8分）计算：
（1）分解因式：2x2﹣8；
（2）（4y﹣1）（5﹣y）；
（3）（6x2y﹣3xy2+2xy）÷xy；
（4）（2a﹣b+c）（2a+b+c）．
21．（8分）先化简，再求值：(x+2−5x−2)÷x−33x2−6x，其中x满足x2+3x﹣1＝0．
22．（10分）如图，AD，BC相交于点O，AO＝DO．
（1）如果只添加一个条件，使得△AOB≌△DOC，那么你添加的条件是 　 　．
（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；
（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明：AB＝DC．

23．（10分）复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的键子数量相同，设毽子的单价为x元．
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：

单价（元）
数量（个）
总费用（元）
跳绳
　 　
　 　
1000
毽子
x
　 　
800
（2）根据题意列出方程，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
24．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

25．（10分）阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题：
在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2﹣2a+2的最小值吗？小明作出了如下的回答：
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来：a2﹣2a+2＝a2﹣2⋅a⋅1+12+1＝（a﹣1）2+1，
因为完全平方式是非负的，所以它一定大于等于0，余下的1为常数，所以有a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1，
所以a2﹣2a+2的最小值是1，当且仅当a﹣1＝0即a＝1时取得最小值，其中，我们将代数式a2﹣2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题：
（1）记S＝（x+3）2+4，求S的最小值，并说明x取何值时S最小；
（2）已知a2+b2+6a﹣8b+25＝0，求a、b的值；
（3）记T＝a2+2ab+3b2+4b+5，求T的最小值，并说明a、b取何值时T最小．
26．（10分）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．

（1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是　 　．
（2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是　 　．
（3）已知∠C＝a，△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用a表示）．

2022-2023学年河北省保定市高阳县三利中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题，每题3分；11-16小题，每题2分；共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选出答案后，填在题后的括号内）
1．（3分）下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分式的分母中含有字母．
【解答】解：甲、丙的分母中含有字母，属于分式；乙、丁的分母中不含有字母，属于整式．
故选：B．
3．（3分）下列图形中，内角和等于外角和的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°解决此题．
【解答】解：A．三角形的内角和等于180°，任意多边形的外角和等于360°，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意．
B．四边形的内角和等于360°，任意多边形的外角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意．
C．五边形的内角和等于540°，任意多边形的外角和等于360°，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意．
D．六边形的内角和等于720°，任意多边形的外角和等于360°，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图所示是番茄果肉细胞结构图，番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将数据0.0006米用科学记数法表示为（　　）

A．6×10﹣4米 B．6×10﹣3米 C．6×104米 D．6×10﹣5米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0006＝6×10﹣4，
故选：A．
5．（3分）若分式x2−92x+6的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：∵分式x2−92x+6的值为0，
∴x2﹣9＝0且2x+6≠0，
∴x＝3，
故选：A．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD＝5cm，CD＝4cm，则点D到直线AB的最小值是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出DE＝DC，即可求出答案．
【解答】解：连接BD，过D作DE⊥AB于E，即点D到直线AB的最小值是DE的长，

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴DE＝DC＝4cm，
故选：C．
7．（3分）已知点A（m，2020）与点B（2019，n）关于x轴对称，则m+n的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案．
【解答】解：∵点A（m，2020）与点B（2019，n）关于x轴对称，
∴m＝2019，n＝﹣2020，
∴m+n＝﹣1，
故选：B．
8．（3分）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】先根据等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，得出∠ABC＝∠ACD，∠ABE＝∠ACE．可求出∠ABE的值．
【解答】解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，
∵E是AD上一点，
∴EB＝EC，
∴∠EBD＝∠ECD，
∵∠CED＝50°，
∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
9．（3分）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（　　）
①3x3•（﹣2x2）＝﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a；③（a3）2＝a5；④（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】计算出各个小题中式子的正确结果，然后对照即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：∵3x3•（﹣2x2）＝﹣6x5，故①正确；
∵4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a，故②正确；
∵（a3）2＝a6，故③错误；
∵（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故④错误；
故选：B．
10．（3分）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（　　）

A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以最少是3步．
故选B．

11．（2分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
12．（2分）如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（　　）


A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确
C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确
【分析】由作图可知，作出的三角形全等，利用全等三角形的性质可以解题．
【解答】解：如图，PE＝PF，EC＝FC，PC＝PC，
∴△EPC≌△FPC（SSS），
∴∠EPC＝∠FPC；
∴小亮作图正确；
由作图可知PE＝PF，
∵C是线段PE，PF垂直平分线，
∴PC＝CE＝CF，
∴△EPC≌△FPC（SSS），
∴∠EPC＝∠FPC，
小明作图正确；

故选：A．

13．（2分）已知（x3y﹣2）2÷（﹣xy﹣3）2＝6，则x4y2的值为（　　）
A．6 B．36 C．12 D．3
【分析】利用积的乘方的法则及整式的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：（x3y﹣2）2÷（﹣xy﹣3）2＝6，
x6y﹣4÷x2y﹣6＝6，
x4y2＝6．
故选：A．
14．（2分）如图，某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量，李师傅设计了一个方案．补充内容不正确的是（　　）
（1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C；
（2）连接BC并延长到E，使得△；
（3）连接AC并延长到D，使得▽；
（4）连接〇并测量出它的长度，即为AB的长；
（5）上述方案的依据是◇．

A．△代表CE＝BC B．▽代表CD＝CA C．〇代表DE D．◇代表SSS
【分析】直接利用全等三角形的判定方法即可．
【解答】解：在△ABC和△DCE中，
BC=DC∠ACB=∠DCEAC=DC，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
即连接BC并延长到E，使得BC＝EC，连接AC并延长到D，使得AC＝DC；连接DE并测量出它的长度，则DE的长度就是AB的长；
上述方案的依据是（SAS），
故选：D．
15．（2分）若关于x的方程4x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜8且a≠2 B．a＜8且a≠4 C．a＜8且a≠1 D．a＜8
【分析】表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．
【解答】解：分式方程整理得：4x−1−ax−1=4，
去分母得：4﹣a＝4x﹣4，
解得：x=8−a4，
由分式方程的解为正数，得到8−a4＞0，且8−a4≠1，
解得：a＜8且a≠4．
故选：B．
16．（2分）有一道题目：“如图，∠AOB＝60°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在点M，N的运动过程中，求∠F的度数．”甲的解答：∠F的度数不能确定，它随着点M，N的运动而变化，且随∠OMN的增大而减小；乙的解答：∠F始终等于45°，下列判断正确的是（　　）

A．甲说的对
B．乙说的对
C．乙求的结果不对，∠F始终等于30°
D．两人说的都不对，凭已知条件无法确定∠F的值或变化趋势
【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F=12∠O．
【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，
∴∠AMN＝∠O+∠ONM，
∵∠EMN是△FMN的外角，
∴∠EMN＝∠F+∠FNM，
∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，
∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，
∴∠O＝2∠F，
∴∠F＝30°．
∴甲的说法错误，而乙求的结果不对，∠F始终等于30°；
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题，每空2分，共12分．请将答案写在横线上）
17．（4分）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则2a+b＝　18　；a+c﹣2b＝　0　．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算2a+b；先计算22b，再逆运用同底数幂的乘除法法则，代入求值即可．
【解答】解：2a+b＝2a•2b＝3×6＝18；
∵2b＝6，
∴（2b）2＝62．即22b＝36．
∵2a+c﹣2b
＝2a×2c÷22b
＝3×12÷36
＝1，
∴a+c﹣2b＝0．
故答案为：18，0．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若△BCD的周长为5，BC＝2，则AC的长为 　3　，边AB长的取值范围是 　1＜AB＜5　．

【分析】先根据三角形的周长公式可得BD+CD＝3，再根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，由此即可得AC＝3；然后利用三角形的三边关系即可得边AB长的取值范围．
【解答】解：∵△BCD的周长为5，BC＝2，
∴BC+BD+CD＝2+BD+CD＝5，
∴BD+CD＝3，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝3，
由三角形的三边关系得：AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即3﹣2＜AB＜3+2，
则边AB长的取值范围1＜AB＜5，
故答案为：3，1＜AB＜5．
19．（4分）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．
（1）如图1．以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出 　4　个；
（2）如图2，∠1+∠2＝　45°　．

【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质作出图形即可求解；
（2）证明△ABD≌△CBE（SAS）即可求解．
【解答】解：（1）如1图所示，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出4个，

故答案为：4；
（2）如图2，在△ABD与△CBE中，
BE=DB∠BEC=∠ADBCE=AD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠1，
∴∠1+∠2＝∠DCE＝45°，
故答案为：45°．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤，请将解答过程写在相应位置．）
20．（8分）计算：
（1）分解因式：2x2﹣8；
（2）（4y﹣1）（5﹣y）；
（3）（6x2y﹣3xy2+2xy）÷xy；
（4）（2a﹣b+c）（2a+b+c）．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；
（3）利用整式的除法的法则进行运算即可；
（4）利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．
【解答】解：（1）2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x﹣2）（x+2）；
（2）（4y﹣1）（5﹣y）
＝20y﹣4y2﹣5+y
＝﹣4y2+21y﹣5；
（3）（6x2y﹣3xy2+2xy）÷xy
＝6x2y÷xy﹣3xy2÷xy+2xy÷xy
＝6x﹣3y+2；
（4）（2a﹣b+c）（2a+b+c）
＝（2a+c﹣b）（2a+c+b）
＝（2a+c）2﹣b2
＝4a2+4ac+c2﹣b2．
21．（8分）先化简，再求值：(x+2−5x−2)÷x−33x2−6x，其中x满足x2+3x﹣1＝0．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2+3x﹣1＝0即可解答本题．
【解答】解：(x+2−5x−2)÷x−33x2−6x
=(x+2)(x−2)−5x−2⋅3x(x−2)x−3
=x2−91⋅3xx−3
=(x+3)(x−3)1⋅3xx−3
＝3x（x+3）
＝3x2+9x，
∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
∴原式＝3x2+9x＝3（x2+3x）＝3×1＝3．
22．（10分）如图，AD，BC相交于点O，AO＝DO．
（1）如果只添加一个条件，使得△AOB≌△DOC，那么你添加的条件是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　．
（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；
（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明：AB＝DC．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可得出答案；
（2）证明△AOB≌△DOC（ASA），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）解：∵OA＝OD，而∠AOB＝∠DOC，
∴当∠A＝∠D，或∠B＝∠C时，
可利用“ASA”证明△ABO≌△DCO．
∴当BO＝OC，可利用“SAS”证明△ABO≌△DCO．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）；
（2）证明：在△AOB和△DOC中，
∠A=∠DAO=DO∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC（ASA），
∴AB＝DC．
23．（10分）复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的键子数量相同，设毽子的单价为x元．
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：

单价（元）
数量（个）
总费用（元）
跳绳
　x+4　
　1000x+4　
1000
毽子
x
　800x　
800
（2）根据题意列出方程，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+4）元，利用数量＝总价÷单价，可得出购买跳绳和毽子的数量；
（2）根据用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的键子数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+4）元，
∴购买跳绳的数量为1000x+4个，毽子的数量为800x个．
故答案为：x+4；1000x+4；800x．
（2）依题意得：1000x+4=800x，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝200．
答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元．
24．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE=12BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
25．（10分）阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题：
在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2﹣2a+2的最小值吗？小明作出了如下的回答：
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来：a2﹣2a+2＝a2﹣2⋅a⋅1+12+1＝（a﹣1）2+1，
因为完全平方式是非负的，所以它一定大于等于0，余下的1为常数，所以有a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1，
所以a2﹣2a+2的最小值是1，当且仅当a﹣1＝0即a＝1时取得最小值，其中，我们将代数式a2﹣2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题：
（1）记S＝（x+3）2+4，求S的最小值，并说明x取何值时S最小；
（2）已知a2+b2+6a﹣8b+25＝0，求a、b的值；
（3）记T＝a2+2ab+3b2+4b+5，求T的最小值，并说明a、b取何值时T最小．
【分析】（1）根据偶次方的非负性可知，当x+3＝0时，S取得最小值；
（2）把原式通过配方变为（a+3）2+（b﹣4）2＝0，再利用非负数的性质求解即可；
（3）把原式通过配方变为T＝（a+b）2+2（b+1）2+3，再利用非负数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+4≥4，
∴x+3＝0时，S取得最小值4，
即x＝﹣3时，S最小＝4；
（2）∵a2+b2+6a﹣8b+25＝0，
∴（a+3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣3，b＝4；
（3）T＝a2+2ab+3b2+4b+5
＝（a+b）2+2（b+1）2+3，
∴当a+b＝0，b+1＝0时，T取得最小值3，
即当a＝1，b＝﹣1时，T最小＝3．
26．（10分）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．

（1）在图2的△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是　20°　．
（2）已知∠C＝20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是　35°或45°　．
（3）已知∠C＝a，△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数（用a表示）．
【分析】（1）首先了解二分割线的定义，然后把∠ABC分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A＝35°的三角形；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图所示：∠DBC＝20°，

故答案为：20°
（2）如图所示：∠BAC＝35°

如图所示：∠BAC＝45°，

故答案为：35°或45°；
（3）如图，若∠ABC是最大角时，△DBC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，

∵DB＝DC，
∴∠C＝∠DBC＝α，
∴∠ADB＝2α，且∠ABD＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣2α，
如图，△ABD是等腰三角形，△DBC是直角三角形，

∵∠BDC＝90°﹣α，且AD＝BD，
∴∠BAC＝∠DBA＝45°−α2，
若∠BAC是＝90°，满足题意，
如图，当∠BAC＝45°时，满足题意，

故∠BAC＝90°或45°或90°﹣2α或45°−α2．