2022-2023学年四川省广元市青川县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年四川省广元市青川县九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省广元市青川县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.（每小题中只有一个是符合题意的）
1．（3分）方程的根是　　
A．0 B．3 C．0或3 D．
2．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD⊥AB于点E，若OA：OE＝5：3，则弦CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
3．（3分）已知二次函数与轴有交点，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
4．（3分）若将一元二次方程化成，为常数）的形式，则的值是　　
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（3分）关于反比例函数，下列说法不正确的是　　
A．函数图象分别位于第一、第三象限
B．函数图象关于原点中心对称
C．当时，随的增大而增大
D．当时，
6．（3分）在一只不透明的口袋中放入5个红球，4个黑球，个黄球，这些球除颜色不同外，其他无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个球恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球的个数是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（3分）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）如图，的内接四边形中，，则　　

A． B． C． D．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，过原点及点、作长方形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒，当为直角三角形时为　　

A．2或 B．2或 C．或 D．2或或
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在函数中，自变量的取值范围是　 　．
12．（4分）一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是　　．
13．（4分）如图，内接于，连接，．若，则的度数为 　　．

14．（4分）中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽为，由于持续降雨，水位上升，若水面宽为，则此时水面距桥面距离的长为 　　．

15．（4分）如图，与轴正向的夹角为，已知点的坐标为，，将线段绕原点旋转得点，则此时点的坐标为 　　．

16．（4分）二次函数的图象如图所示，给出下列说法：
①；
②方程的根为、；
③当时，随值的增大而减小；
④当时，．
其中正确的说法是 　　．（填序号）

三、解答题：本大题共10小题，共96分.（请写出必要的解题步骤和证明过程）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程3x2﹣6x+4＝0（用配方法）．
18．（8分）先化简，再求值：
，其中满足方程．
19．（8分）已知关于的方程．
（1）请你判断方程的解的情况；
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
20．（8分）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得．
（1）求证：；
（2）连接，求证：；
（3）若，，则　　，四边形的面积　　．

21．（8分）某市中考必须在历史、地理、生物三门学科（分别用、、表示）中随机抽考一门进行升学考试．
（1）用列举法写出连续两年抽考的情况；
（2）求连续两年抽到相同学科进行升学考试的概率．
22．（10分）如图，在中，，是上一点，且，将绕点旋转得到．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形的形状，并说明理由．

23．（10分）某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件赢利45元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件工艺品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
（1）设每件工艺品降价x元，商场销售这种工艺品每天盈利y元，求出y与x之间的函数关系式；
（2）每件工艺品降价多少元时，才能使每天利润最大，最大利润为多少？
24．（10分）如图，中，，和分别与相切于，两点，经过上的点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

25．（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标；
（3）求不等式的解集．（请直接写出答案）

26．（14分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若为第二象限的抛物线上的点，连接，，，当时，求点的坐标．
（3）为平面内一点，将抛物线绕点旋转后得到新的抛物线，且新的抛物线经过点，若新抛物线上有一点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．

2022-2023学年四川省广元市青川县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.（每小题中只有一个是符合题意的）
1．（3分）方程的根是　　
A．0 B．3 C．0或3 D．
【分析】移项后分解因式得出，推出，，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：，
分解因式得：，
，，
解得：，，
故选：．
2．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD⊥AB于点E，若OA：OE＝5：3，则弦CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】先根据勾股定理求出CE的长，再根据垂径定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵弦CD⊥AB于点E，OA：OE＝5：3，
∴OE＝3，
根据勾股定理，得CE＝＝＝4，
再根据垂径定理，得CD＝2CE＝8．
故选：D．
3．（3分）已知二次函数与轴有交点，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【分析】根据一元二次方程判别式判断抛物线与轴交点个数，注意．
【解答】解：令，
则△，
当时，即时图象与轴有交点，
，
且，
故选：．
4．（3分）若将一元二次方程化成，为常数）的形式，则的值是　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
将一元二次方程化成，为常数）的形式，
，，
，
故选：．
5．（3分）关于反比例函数，下列说法不正确的是　　
A．函数图象分别位于第一、第三象限
B．函数图象关于原点中心对称
C．当时，随的增大而增大
D．当时，
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【解答】解：、反比例函数，图象位于第一、三象限，原说法正确，不合题意；
、反比例函数，图象关于原点成中心对称，正确，不合题意；
、反比例函数，当时，随的增大而减小，原说法错误，符合题意；
、反比例函数，当时，，正确，不合题意；
故选：．
6．（3分）在一只不透明的口袋中放入5个红球，4个黑球，个黄球，这些球除颜色不同外，其他无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个球恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球的个数是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据概率公式列出关于的分式方程，解方程即可得．
【解答】解：根据题意可得，
解得：，
经检验是分式方程的解，
即放入口袋中的黄球总数，
故选：．
7．（3分）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是31，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先是有1个主干，设长出枝干有枝，每个枝干又长出枝干枝，则第二次长出的数量是，由此即可求解．
【解答】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有枝，
，即，解方程得，，（舍去），
这种植物每个枝干长出的小分枝个数5．
故选：．
8．（3分）如图，的内接四边形中，，则　　

A． B． C． D．
【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理得出答案．
【解答】解：的内接四边形，，
，
，
，
，
故选：．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出，的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于轴的右侧，则、异号，即．所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于轴的左侧，则、同号，即．所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则、异号，即．所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则、异号，即．所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：．
10．（3分）在平面直角坐标系中，过原点及点、作长方形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒，当为直角三角形时为　　

A．2或 B．2或 C．或 D．2或或
【分析】作于点，易得，结合、的运动速度表示出秒时、的坐标，根据、两点的坐标易得点的坐标，则利用两点之间的距离公式可求得、、的长度，要使为直角三角形，显然只有或，接下来利用勾股定理列式求解即可．
【解答】解：要使为直角三角形，显然只有或．
如图，作于点，

在中，
的平分线交于点，
，
．
，
，
点．
又，，
根据勾股定理可得：，，，
①若，则有，
即：，
整理得：，
解得：（舍去），，
，
②若，则有，
，
整理得：，
解得：．
当或或时，为直角三角形．
故选：．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）在函数中，自变量的取值范围是　　．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0进行解答即可．
【解答】解：由，得，
故答案为．
12．（4分）一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是　14　．
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和6，有三角形的三边关系，2为底，6为腰，可以求出三角形的周长．
【解答】解：，
，
，．
三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
腰长是6，底边是2，
周长为：，
故答案为：14．
13．（4分）如图，内接于，连接，．若，则的度数为 　　．

【分析】根据三角形的内角和定理求得的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【解答】解：，，
，
．
故答案为：．
14．（4分）中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽为，由于持续降雨，水位上升，若水面宽为，则此时水面距桥面距离的长为 　　．

【分析】根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为，设、的坐标求解析式，便可求得．
【解答】解设抛物线的解析式为不等于，桥拱最高点到水面的距离为．
则，
，
解得，
，
故答案为：．
15．（4分）如图，与轴正向的夹角为，已知点的坐标为，，将线段绕原点旋转得点，则此时点的坐标为 　或　．

【分析】分顺时针、逆时针两种情况进行解答，画出相应的图形，根据旋转所引起角度的变化可求出点在轴的负半轴上和在第三象限，根据勾股定理可求出，通过角度的计算以及直角三角形的边角关系可得答案．
【解答】解：如图，当线段绕原点，逆时针旋转得点，
，，
点在轴的负半轴上，
，
点的坐标为；
当线段绕原点，顺时针旋转得点，过点作轴，垂足为，
由题意可知，，，
，，
又点在第三象限，
点的坐标为，
所以点的坐标为或，
故答案为：或．

16．（4分）二次函数的图象如图所示，给出下列说法：
①；
②方程的根为、；
③当时，随值的增大而减小；
④当时，．
其中正确的说法是 　①②③④　．（填序号）

【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线图象得：开口向下，即；
抛物线与轴交于正半轴，则；
对称轴是直线，即，
，故选项①正确；
②抛物线图象与轴的交点为、，
方程的根为、，故选项②正确；
③抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随值的增大而减小，故选项③正确；
④由图象可知，当时，，故选项④正确；
故选：①②③④．
三、解答题：本大题共10小题，共96分.（请写出必要的解题步骤和证明过程）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程3x2﹣6x+4＝0（用配方法）．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值和乘方，再计算加减即可；
（2）将常数项移到方程的右边，把二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣3+1
＝1；
（2）∵3x2﹣6x+4＝0，
∴x2﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+1＝1﹣，即（x﹣1）2＝﹣＜0，
∴原方程无实数根．
18．（8分）先化简，再求值：
，其中满足方程．
【分析】先根据分式的减法法则算减法，再算除法，再根据分式的乘法法则算乘法，求出的值后代入，即可得出答案．解一元二次方程
【解答】解：



，
分式有意义，
且，
解方程，解得，（舍，
将代入上式得．
19．（8分）已知关于的方程．
（1）请你判断方程的解的情况；
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△，根据根的判别式的意义，当时，方程有两个不相等实数解；当时，方程有两个相等实数解；
（2）先利用因式分解法解方程得到，，讨论：当时，即，从而得到的周长；当时，即或，，不符合三角形三边的关系，舍去．
【解答】解：（1）△

，
当时，△，方程有两个不相等实数解；
当时，△，方程有两个相等实数解；
（2），
，
或，
解得，，
当时，即，此时的周长为；
当时，即或，，不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，的周长为5．
20．（8分）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得．
（1）求证：；
（2）连接，求证：；
（3）若，，则　5　，四边形的面积　　．

【分析】（1）由旋转的性质得，从而得到，即可证明结论；
（2）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明；
（3）由（1）得，，在中，由勾股定理得，，则，从而得出答案．
【解答】（1）证明：将绕点顺时针旋转得．
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（2）证明：将绕点顺时针旋转得．
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：将绕点顺时针旋转得．
，
由（1）得，，
在中，由勾股定理得，，
，
作于，

，
四边形的面积为，
故答案为：5，30．
21．（8分）某市中考必须在历史、地理、生物三门学科（分别用、、表示）中随机抽考一门进行升学考试．
（1）用列举法写出连续两年抽考的情况；
（2）求连续两年抽到相同学科进行升学考试的概率．
【分析】（1）直接利用树状图法列举出所有的可能进而得出答案；
（2）利用概率求法得出答案．
【解答】解：（1）方法一：画树形（状图如下：

所有可能的结果：、，、，、；、，、，、；、，、，、；

（2）由（1）可知，从历史、地理、生物三门学科中连续两年随机抽考，共有9种不同的情况；
其中连续两年抽考相同学科的有3种，分别是、，、，、．
（连续两年抽到相同学科）；

方法二：列表格如下：





、
、
、

、
、
、

、
、
、
所有可能的结果：、，、，、；、，、，、；、，、，、；

（2）由（1）可知，从历史、地理、生物三门学科中连续两年随机抽考，共有9种不同的情况；
其中连续两年抽考相同学科的有3种，分别是、，、，、．
（连续两年抽到相同学科）．
22．（10分）如图，在中，，是上一点，且，将绕点旋转得到．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形的形状，并说明理由．

【分析】（1）由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，由平行线的判定可得出结论；
（2）由平行四边形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
由旋转的性质得，
，
，
，
四边形是平行四边形．
23．（10分）某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件赢利45元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件工艺品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
（1）设每件工艺品降价x元，商场销售这种工艺品每天盈利y元，求出y与x之间的函数关系式；
（2）每件工艺品降价多少元时，才能使每天利润最大，最大利润为多少？
【分析】（1）根据每件工艺品降价1元，商场平均每天可多售出4件列等式即可得到答案；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件工艺品降价多少元．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（20+4x）（45﹣x）＝﹣4x2+160x+900；
（2）y＝﹣4x2+160x+900＝﹣4（x﹣20）2+2500；
∵﹣4＜0，
∴当x＝20时，y取最大值，最大值为2500．
答：每件工艺品降价20元时，才能使每天利润最大，最大利润为2500元．
24．（10分）如图，中，，和分别与相切于，两点，经过上的点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

【分析】（1）连接、、，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）连接、、，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接、、，
与相切于点，
，
在和中，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接、、，
设的半径为，
在中，，，
则，
，
，
解得：，
的半径为2．

25．（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标；
（3）求不等式的解集．（请直接写出答案）

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由且，即可求解；
（3）根据图形可知，当的图象在一次函数上方的部分对应的的取值范围即可．
【解答】解：（1）过点，
，
即反比例函数：，
当时，，即，
过和，
则，解得，
；
（2）当时，代入中得，，即，
且，
，
或；
（3）由图象可知，不等式的解集为或．
26．（14分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若为第二象限的抛物线上的点，连接，，，当时，求点的坐标．
（3）为平面内一点，将抛物线绕点旋转后得到新的抛物线，且新的抛物线经过点，若新抛物线上有一点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
【分析】（1）将，两点代入，即可求解析式；
（2）过点作轴交于点，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，由，即可求点的坐标为；
（3）分两种情况讨论：①当点在轴的下方时，求得新抛物线的解析式为，则是线段的中点，则点的坐标为；②当点在轴的上方时，新抛物线的解析式为，顶点的坐标为．所以是线段的中点，可得点的坐标为．
【解答】解：（1）将，两点代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交于点，

由（1）可知点的坐标为，
设线段所在的直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
线段所在的直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
，
整理得，
解得，
点的坐标为；
（3）①当点在轴的下方时，如图2，过点作轴于点，

设原抛物线的顶点为，则点的坐标为，
△是等腰直角三角形，
，，
，
．
，
△，
，，
，
点的坐标为．
新抛物线是由抛物线绕点旋转后得到的，
设新抛物线的解析式为，
把点和代入，
得，
解得，
新抛物线的解析式为，
此时点为新抛物线的顶点，
是线段的中点，
点的坐标为；
②当点在轴的上方时，如图3，过点作轴于点，

同理得△，
，，
点的坐标为，
新抛物线经过点和点，同理可得新抛物线的解析式为，
新抛物线顶点的坐标为．
新抛物线是由抛物线绕点旋转后得到的，
是线段的中点，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．