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江苏省苏州市2022-2023学年高三数学下学期2月开学摸底考试试卷（Word版附答案）
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这是一份江苏省苏州市2022-2023学年高三数学下学期2月开学摸底考试试卷（Word版附答案），共9页。
2022～2023学年高三年级模拟试卷
数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2023．2
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{x|x2－2x<0，x∈Z}，B＝{0，b}，若A∩B≠∅，则实数b的值为( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知＝x－yi，(x，y∈R，i为虚数单位)，则＝( )
A. B. C. D.
3. 设a＝，b＝，c＝log26，则( )
A. a
A. 60 mm B. 65 mm C. 70 mm D. 75 mm
5. 若(＋bx)6的展开式中x2的系数为60，则a2＋b2的最小值为( )
A. 2 B. ＋1 C. 3 D. 5
6. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.若OQ，QF，OA成等差数列，则C的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
7. 已知正四面体ABCD的棱长为1，P为棱AB上的动点(端点A，B除外)，过点P作平面α垂直于AB，α与正四面体的表面相交．记AP＝x，将交线围成的图形面积S表示为x的函数f(x)，则S＝f(x)的图象大致为( )
8. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数．记函数g(x)＝2f(2x＋1)＋1，则g()＝( )
A. 25 B. 27 C. 29 D. 31
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则与向量a－b的夹角为锐角的向量有( )
A. b B. a＋b C. a－2b D. b－2a
10. 已知函数f(x)＝sin x＋cos (x＋)＋x，则( )
A. f(x)的周期为2π
B. 直线y＝x＋是曲线y＝f(x)的切线
C. f(x)在R上单调递增
D. 点(－，－)是曲线y＝f(x)的对称中心
11. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，＝λBD1，＝μCC1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法正确的有( )
A. 若PQ⊂平面AB1C，则λ＋μ＝
B. 若PQ∥平面ABCD，则λ＝μ＝
C. 存在λ，μ，使得PQ＝
D. 存在λ，使得对于任意的μ，都有PQ⊥BD
12. 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时( )
A. 四支球队的积分总和可能为15分
B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D. 丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知圆台的上、下底面半径分别为4和5，高为2，则该圆台的侧面积为________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－)2＋(y－2)2＝4，过点M(0，－1)的直线l交C于A，B两点，且MA＝AB，请写出一条满足上述条件的l的方程：________．
15. 记函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为T，给出下列三个命题：
甲：T>3；
乙：f(x)在区间(，1)上单调递减；
丙：f(x)在区间(0，3)上恰有三个极值点．
若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是________(填“甲”“乙”或“丙”)；ω的取值范围是________．
16. 若对任意m，n∈R，关于x的不等式m－n≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立，则实数a的最大值为________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＋a cos B＝2，c＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若tan C＝2，点D在边BC上，∠ADB＝2∠ABC，求AD.
18.(本小题满分12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝2a1，＝.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 若数列{bn}满足bn＝求{bn}中的最大项与最小项．
19. (本小题满分12分)
新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车产业的发展方向．发展新能源汽车，对改善能源消费结构、减少空气污染、推动汽车产业和交通运输行业转型升级具有积极意义．经过十多年的精心培育，我国新能源汽车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有量居全球首位．
(1) 已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命ξ(单位：万公里)服从正态分布N(60，16)，问：该公司每月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以超过68万公里？
参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.955，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997.
(2) 下表给出了我国2017～2021年新能源汽车保有量y(单位：万辆)的数据．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
新能源汽车保有量y
153
260
381
492
784
经计算，变量x与y的样本相关系数r1≈0.946，变量x2与y的样本相关系数r2≈0.985.
① 试判断y＝bx＋a与y＝bx2＋a哪一个更适合作为y与x之间的回归方程模型？
② 根据①的判断结果，求出y关于x的回归方程(精确到0.1)，并预测2023年我国新能源汽车保有量．
参考数据和公式：令ti＝x(i＝1，2，3，4，5)，计算得＝414，
20.(本小题满分12分)
如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为线段EC上(端点E，C除外)的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将△DAF折起，使得DK⊥AB(如图②).
(1) 求证：平面ABD⊥平面ABC；
(2) 求直线DF与平面ABC所成的最大值．
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：x2＝2py的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点关于直线y＝x对称．
(1) 求C1的标准方程；
(2) 若直线l与C1相切，且与C2相交于A，B两点．求△AOB面积的最大值．
(注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点)
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln (x＋1)－.
(1) 若x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围；
(2) 试讨论f(x)的零点个数．
2022～2023学年高三年级模拟试卷(苏州)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. B 7. C 8. D 9. BC 10. BCD 11. AD 12. ACD
13. 9π 14. x＝0(或y＝x－1) 15. 甲 (，] 16.
17. 解：(1) 由余弦定理，cos B＝＝，
代入b＋a cos B＝2，得a2－b2＋2b＝2，(2分)
所以cos A＝＝＝＝.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.(4分)
(2) 因为tan C＝2，所以sin C＝2cos C＞0.
又因为sin2C＋cos2C＝1，所以sin C＝，cos C＝.(5分)
(解法1)因为A＋B＋C＝π，
所以cos B＝－cos (A＋C)＝－(cos A cos C－sin A sin C)＝－(×－×)＝.
又因为B∈(0，π)，所以sin B＝＝.(7分)
因为∠ADB＝2∠ABC，
所以sin∠ADB＝sin 2B＝2sin B cos B＝2××＝.(8分)
在△ABD中，由正弦定理＝，得＝，
所以AD＝.(10分)
(解法2)因为A＋B＋C＝π，tan C＝2，
所以tan B＝－tan (A＋C)＝－tan (C＋)＝－＝－＝3，(6分)
所以sin ∠ADB＝sin 2B＝＝＝＝，(8分)
在△ABD中，由正弦定理＝，得＝，
所以AD＝.(10分)
18. 解：(1) (解法1)在＝中，令n＝1，得a1＝1，故a2＝2a1＝2.
因为2Sn＝n(an＋1) ①，所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1) ②，
②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，得(n－1)an＋1＝nan－1 ③.(2分)
当n≥2时，将③式两边同时除以n(n－1)，得＝＋－，
所以＝＝…＝＝1，
所以当n≥2时，an＝n，(5分)
又因为a1＝1，所以an＝n(n∈N*).(6分)
(解法2)因为2Sn＝n(an＋1) ①，所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1) ②，
②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，即(n－1)an＋1＝nan－1 ③，(2分)
从而nan＋2＝(n＋1)an＋1－1 ④，
④－③，得nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，即an＋2＋an＝2an＋1，(5分)
所以{an}为等差数列．
在＝中，令n＝1，得a1＝1，故a2＝2a1＝2，
又因为{an}为等差数列，所以an＝n(n∈N*).(6分)
(2) 由(1)得bn＝
当n≥2时，bn＋1－bn＝－＝＞0，(8分)
且bn＝＝＜，(10分)
所以b2＜b3＜b4＜…＜＜1＝b1，
所以{bn}中的最大项为b1＝1，最小项为b2＝.(12分)
19. 解：(1) 因为新能源汽车电池的使用寿命ξ～N(60，42)，
所以P(ξ＞68)＝＝＝0.022 5，(2分)
所以20 000×0.022 5＝450(块).
答：每月生产的2万块电池中，使用寿命超过68万公里的大约有450块．(4分)
(2) ① 因为|r2|＞|r1|，所以y＝bx2＋a更适合作为y与x之间的回归方程模型．(6分)
② 因为＝＝11，
＝≈24.9，(8分)
＝－b＝414－24.9×11＝140.1，
所以y＝24.9t＋140.1＝24.9x2＋140.1，(10分)
当x＝7时，y＝24.9×49＋140.1＝1 360.2(万辆).
答：2023年我国新能源汽车保有量约为1 360.2万辆．(12分)
20. (1) 证明：因为AF⊥OK，AF⊥OD，OD，OK⊂平面ODK，OD∩OK＝O，
所以AF⊥平面ODK.(2分)
因为DK⊂平面ODK，所以AF⊥DK.(3分)
又因为DK⊥AB，AB，AF⊂平面ABC，AB∩AF＝A，
所以DK⊥平面ABC.(5分)
因为DK⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ABC.(6分)
(2) 解：连接FK，由(1)可知，直线DF与平面ABCF所成角为∠DFK，记∠DFK＝θ.
在题图①中，因为DK⊥AF，所以∠DFA＋FDK＝90°，
又因为∠FDA＝∠FDK＋∠ADK＝90°，所以∠DFA＝∠ADK.
又因为∠FDA＝∠DAK＝90°，所以△FDA∽△DAK.
设DF＝x(1＜x＜2)，由＝，得＝，解得AK＝.
在题图②中，因为DK⊥AB，所以DK＝＝，(9分)
所以sin θ＝＝＝≤，
当且仅当x＝时等号成立，(11分)
又因为θ∈[0，]，所以θ的最大值为，
即直线DF与平面ABC所成角的最大值为.(12分)
21. 解：(1) 因为C2的右焦点为(1，0)，C1的焦点与C2的右焦点关于直线y＝x对称，
所以C1的焦点为(0，1)，(1分)
所以＝1，即p＝2，所以C1的标准方程为x2＝4y.(3分)
(2) 设l与C1相切于点P(2t，t2)(t≠0)，因为y＝，所以y′＝，
所以l的斜率k＝＝t，所以l的方程为y＝tx－t2.(4分)
由得(3＋4t2)x2－8t3x＋4t4－12＝0，
因为Δ＝64t6－4(3＋4t2)(4t4－12)＞0，所以t4－4t2－3＜0(*).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数关系可知x1＋x2＝，x1x2＝，(6分)
所以AB＝＝＝＝
＝.
又因为点O到直线l的距离d＝，
所以△AOB的面积S＝·AB·d＝··(9分)
＝≤·＝，(11分)
当且仅当t2＝，即t2＝时等号成立，
此时t4－3－4t2＝－t4＜0满足(*)，
所以△AOB面积的最大值为.(12分)
22. 解：(1) f(x)的定义域是(－1，＋∞)，f′(x)＝－＝.
① 当a≤2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
又因为f(0)＝0，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)≥0，满足题意；(2分)
② 当a＞2时，令g(x)＝x2＋(4－2a)(x＋1)＝x2＋(4－2a)x＋(4－2a)，
由g(x)＝0，得x1＝(a－2)－＜0，x2＝(a－2)＋＞0.
当x∈(0，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，
所以f(x2)＜f(0)＝0，不满足题意．
综上所述，a≤2.(5分)
(2) ① 当a≤2时，由(1)可得f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，
所以f(x)在(－1，＋∞)内存在1个零点；(6分)
② 当a＞2时，由(1)可得g(x)＝0必有两根x1，x2，
又因为g(－1)＝1＞0，g(0)＝4－2a＜0，所以x1∈(－1，0)，x2∈(0，＋∞).(7分)
x
(－1，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值f(x1)
单调递减
极小值f(x2)
单调递增
当x∈(x1，x2)时，因为f(0)＝0，所以f(x)在(x1，x2)内存在1个零点，(8分)
且f(x1)＞f(0)＝0，f(x2)＜f(0)＝0；(9分)
当x∈(－1，x1)时，因为f(e－a－1)＝ln e－a－＝＜0，
所以－1＜e－a－1＜x1，所以f(x)在(－1，x1)内存在1个零点；(10分)
当x∈(x2，＋∞)时，因为f(ea－1)＝ln ea－＝＞0，
所以ea－1＞x2，所以f(x)在(x2，＋∞)内存在1个零点．
从而f(x)在(－1，＋∞)存在3个零点．(11分)
综上所述，当a≤2时，f(x)存在1个零点；当a＞2时，f(x)存在3个零点．(12分)
2022～2023学年高三年级模拟试卷
数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2023．2
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{x|x2－2x<0，x∈Z}，B＝{0，b}，若A∩B≠∅，则实数b的值为( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知＝x－yi，(x，y∈R，i为虚数单位)，则＝( )
A. B. C. D.
3. 设a＝，b＝，c＝log26，则( )
A. a
A. 60 mm B. 65 mm C. 70 mm D. 75 mm
5. 若(＋bx)6的展开式中x2的系数为60，则a2＋b2的最小值为( )
A. 2 B. ＋1 C. 3 D. 5
6. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.若OQ，QF，OA成等差数列，则C的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
7. 已知正四面体ABCD的棱长为1，P为棱AB上的动点(端点A，B除外)，过点P作平面α垂直于AB，α与正四面体的表面相交．记AP＝x，将交线围成的图形面积S表示为x的函数f(x)，则S＝f(x)的图象大致为( )
8. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数．记函数g(x)＝2f(2x＋1)＋1，则g()＝( )
A. 25 B. 27 C. 29 D. 31
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则与向量a－b的夹角为锐角的向量有( )
A. b B. a＋b C. a－2b D. b－2a
10. 已知函数f(x)＝sin x＋cos (x＋)＋x，则( )
A. f(x)的周期为2π
B. 直线y＝x＋是曲线y＝f(x)的切线
C. f(x)在R上单调递增
D. 点(－，－)是曲线y＝f(x)的对称中心
11. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，＝λBD1，＝μCC1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法正确的有( )
A. 若PQ⊂平面AB1C，则λ＋μ＝
B. 若PQ∥平面ABCD，则λ＝μ＝
C. 存在λ，μ，使得PQ＝
D. 存在λ，使得对于任意的μ，都有PQ⊥BD
12. 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时( )
A. 四支球队的积分总和可能为15分
B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D. 丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知圆台的上、下底面半径分别为4和5，高为2，则该圆台的侧面积为________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－)2＋(y－2)2＝4，过点M(0，－1)的直线l交C于A，B两点，且MA＝AB，请写出一条满足上述条件的l的方程：________．
15. 记函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为T，给出下列三个命题：
甲：T>3；
乙：f(x)在区间(，1)上单调递减；
丙：f(x)在区间(0，3)上恰有三个极值点．
若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是________(填“甲”“乙”或“丙”)；ω的取值范围是________．
16. 若对任意m，n∈R，关于x的不等式m－n≤(x－m)2＋ex－n－a恒成立，则实数a的最大值为________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＋a cos B＝2，c＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若tan C＝2，点D在边BC上，∠ADB＝2∠ABC，求AD.
18.(本小题满分12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝2a1，＝.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 若数列{bn}满足bn＝求{bn}中的最大项与最小项．
19. (本小题满分12分)
新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车产业的发展方向．发展新能源汽车，对改善能源消费结构、减少空气污染、推动汽车产业和交通运输行业转型升级具有积极意义．经过十多年的精心培育，我国新能源汽车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有量居全球首位．
(1) 已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命ξ(单位：万公里)服从正态分布N(60，16)，问：该公司每月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以超过68万公里？
参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.955，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997.
(2) 下表给出了我国2017～2021年新能源汽车保有量y(单位：万辆)的数据．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
新能源汽车保有量y
153
260
381
492
784
经计算，变量x与y的样本相关系数r1≈0.946，变量x2与y的样本相关系数r2≈0.985.
① 试判断y＝bx＋a与y＝bx2＋a哪一个更适合作为y与x之间的回归方程模型？
② 根据①的判断结果，求出y关于x的回归方程(精确到0.1)，并预测2023年我国新能源汽车保有量．
参考数据和公式：令ti＝x(i＝1，2，3，4，5)，计算得＝414，
20.(本小题满分12分)
如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为线段EC上(端点E，C除外)的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将△DAF折起，使得DK⊥AB(如图②).
(1) 求证：平面ABD⊥平面ABC；
(2) 求直线DF与平面ABC所成的最大值．
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：x2＝2py的焦点与椭圆C2：＋＝1的右焦点关于直线y＝x对称．
(1) 求C1的标准方程；
(2) 若直线l与C1相切，且与C2相交于A，B两点．求△AOB面积的最大值．
(注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点)
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln (x＋1)－.
(1) 若x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围；
(2) 试讨论f(x)的零点个数．
2022～2023学年高三年级模拟试卷(苏州)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. B 7. C 8. D 9. BC 10. BCD 11. AD 12. ACD
13. 9π 14. x＝0(或y＝x－1) 15. 甲 (，] 16.
17. 解：(1) 由余弦定理，cos B＝＝，
代入b＋a cos B＝2，得a2－b2＋2b＝2，(2分)
所以cos A＝＝＝＝.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.(4分)
(2) 因为tan C＝2，所以sin C＝2cos C＞0.
又因为sin2C＋cos2C＝1，所以sin C＝，cos C＝.(5分)
(解法1)因为A＋B＋C＝π，
所以cos B＝－cos (A＋C)＝－(cos A cos C－sin A sin C)＝－(×－×)＝.
又因为B∈(0，π)，所以sin B＝＝.(7分)
因为∠ADB＝2∠ABC，
所以sin∠ADB＝sin 2B＝2sin B cos B＝2××＝.(8分)
在△ABD中，由正弦定理＝，得＝，
所以AD＝.(10分)
(解法2)因为A＋B＋C＝π，tan C＝2，
所以tan B＝－tan (A＋C)＝－tan (C＋)＝－＝－＝3，(6分)
所以sin ∠ADB＝sin 2B＝＝＝＝，(8分)
在△ABD中，由正弦定理＝，得＝，
所以AD＝.(10分)
18. 解：(1) (解法1)在＝中，令n＝1，得a1＝1，故a2＝2a1＝2.
因为2Sn＝n(an＋1) ①，所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1) ②，
②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，得(n－1)an＋1＝nan－1 ③.(2分)
当n≥2时，将③式两边同时除以n(n－1)，得＝＋－，
所以＝＝…＝＝1，
所以当n≥2时，an＝n，(5分)
又因为a1＝1，所以an＝n(n∈N*).(6分)
(解法2)因为2Sn＝n(an＋1) ①，所以2Sn＋1＝(n＋1)(an＋1＋1) ②，
②－①，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，即(n－1)an＋1＝nan－1 ③，(2分)
从而nan＋2＝(n＋1)an＋1－1 ④，
④－③，得nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，即an＋2＋an＝2an＋1，(5分)
所以{an}为等差数列．
在＝中，令n＝1，得a1＝1，故a2＝2a1＝2，
又因为{an}为等差数列，所以an＝n(n∈N*).(6分)
(2) 由(1)得bn＝
当n≥2时，bn＋1－bn＝－＝＞0，(8分)
且bn＝＝＜，(10分)
所以b2＜b3＜b4＜…＜＜1＝b1，
所以{bn}中的最大项为b1＝1，最小项为b2＝.(12分)
19. 解：(1) 因为新能源汽车电池的使用寿命ξ～N(60，42)，
所以P(ξ＞68)＝＝＝0.022 5，(2分)
所以20 000×0.022 5＝450(块).
答：每月生产的2万块电池中，使用寿命超过68万公里的大约有450块．(4分)
(2) ① 因为|r2|＞|r1|，所以y＝bx2＋a更适合作为y与x之间的回归方程模型．(6分)
② 因为＝＝11，
＝≈24.9，(8分)
＝－b＝414－24.9×11＝140.1，
所以y＝24.9t＋140.1＝24.9x2＋140.1，(10分)
当x＝7时，y＝24.9×49＋140.1＝1 360.2(万辆).
答：2023年我国新能源汽车保有量约为1 360.2万辆．(12分)
20. (1) 证明：因为AF⊥OK，AF⊥OD，OD，OK⊂平面ODK，OD∩OK＝O，
所以AF⊥平面ODK.(2分)
因为DK⊂平面ODK，所以AF⊥DK.(3分)
又因为DK⊥AB，AB，AF⊂平面ABC，AB∩AF＝A，
所以DK⊥平面ABC.(5分)
因为DK⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ABC.(6分)
(2) 解：连接FK，由(1)可知，直线DF与平面ABCF所成角为∠DFK，记∠DFK＝θ.
在题图①中，因为DK⊥AF，所以∠DFA＋FDK＝90°，
又因为∠FDA＝∠FDK＋∠ADK＝90°，所以∠DFA＝∠ADK.
又因为∠FDA＝∠DAK＝90°，所以△FDA∽△DAK.
设DF＝x(1＜x＜2)，由＝，得＝，解得AK＝.
在题图②中，因为DK⊥AB，所以DK＝＝，(9分)
所以sin θ＝＝＝≤，
当且仅当x＝时等号成立，(11分)
又因为θ∈[0，]，所以θ的最大值为，
即直线DF与平面ABC所成角的最大值为.(12分)
21. 解：(1) 因为C2的右焦点为(1，0)，C1的焦点与C2的右焦点关于直线y＝x对称，
所以C1的焦点为(0，1)，(1分)
所以＝1，即p＝2，所以C1的标准方程为x2＝4y.(3分)
(2) 设l与C1相切于点P(2t，t2)(t≠0)，因为y＝，所以y′＝，
所以l的斜率k＝＝t，所以l的方程为y＝tx－t2.(4分)
由得(3＋4t2)x2－8t3x＋4t4－12＝0，
因为Δ＝64t6－4(3＋4t2)(4t4－12)＞0，所以t4－4t2－3＜0(*).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数关系可知x1＋x2＝，x1x2＝，(6分)
所以AB＝＝＝＝
＝.
又因为点O到直线l的距离d＝，
所以△AOB的面积S＝·AB·d＝··(9分)
＝≤·＝，(11分)
当且仅当t2＝，即t2＝时等号成立，
此时t4－3－4t2＝－t4＜0满足(*)，
所以△AOB面积的最大值为.(12分)
22. 解：(1) f(x)的定义域是(－1，＋∞)，f′(x)＝－＝.
① 当a≤2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
又因为f(0)＝0，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)≥0，满足题意；(2分)
② 当a＞2时，令g(x)＝x2＋(4－2a)(x＋1)＝x2＋(4－2a)x＋(4－2a)，
由g(x)＝0，得x1＝(a－2)－＜0，x2＝(a－2)＋＞0.
当x∈(0，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，
所以f(x2)＜f(0)＝0，不满足题意．
综上所述，a≤2.(5分)
(2) ① 当a≤2时，由(1)可得f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，
所以f(x)在(－1，＋∞)内存在1个零点；(6分)
② 当a＞2时，由(1)可得g(x)＝0必有两根x1，x2，
又因为g(－1)＝1＞0，g(0)＝4－2a＜0，所以x1∈(－1，0)，x2∈(0，＋∞).(7分)
x
(－1，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值f(x1)
单调递减
极小值f(x2)
单调递增
当x∈(x1，x2)时，因为f(0)＝0，所以f(x)在(x1，x2)内存在1个零点，(8分)
且f(x1)＞f(0)＝0，f(x2)＜f(0)＝0；(9分)
当x∈(－1，x1)时，因为f(e－a－1)＝ln e－a－＝＜0，
所以－1＜e－a－1＜x1，所以f(x)在(－1，x1)内存在1个零点；(10分)
当x∈(x2，＋∞)时，因为f(ea－1)＝ln ea－＝＞0，
所以ea－1＞x2，所以f(x)在(x2，＋∞)内存在1个零点．
从而f(x)在(－1，＋∞)存在3个零点．(11分)
综上所述，当a≤2时，f(x)存在1个零点；当a＞2时，f(x)存在3个零点．(12分)
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