高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就课后练习题

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1．“嫦娥四号”是人类历史上首次在月球背面软着陆的勘测器．假定测得月球表面物体自由落体的加速度为g，已知月球半径R和月球绕地球运转的周期T，引力常数为G.根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了，月球质量M为( )
A．M＝eq \f(GR2,g) B．M＝eq \f(gR2,G)
C．M＝eq \f(4π2R3,GT2) D．M＝eq \f(T2R3,4π2G)
【答案】B
【解析】在月球表面物体受到的万有引力等于重力，根据eq \f(GMm,R2)＝mg，知M＝eq \f(gR2,G)，故A错误，B正确；月球绕地球运动的周期为T，中心天体是地球，所以求不出月球的质量，故C、D错误．
2．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，若它们只受太阳万有引力的作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1B．eq \f(m2r1,m1r2)
C．eq \f(m1r2,m2r1)D．eq \f(r\\al(2,2),r\\al(2,1))
【答案】D
【解析】行星绕太阳做匀速圆周运动，设M为太阳质量，m为行星质量，r为轨道半径，则Geq \f(Mm,r2)＝ma向，a向∝eq \f(1,r2)，所以eq \f(a1,a2)＝eq \f(r\\al(2,2),r\\al(2,1))，故D正确．
3．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km；“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )
A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
【答案】B
【解析】由Geq \f(Mm,r2)＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝ma，得v＝eq \r(\f(GM,r))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，a＝eq \f(GM,r2).由于r天>r神，所以v天T神，a天4．木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转．如果要通过观测求得木星的质量，需要测量的量可以有(已知引力常量为G)( )
A．木星绕太阳公转的周期和轨道半径
B．木星绕太阳公转的周期和环绕速度
C．卫星绕木星公转的周期和木星的半径
D．卫星绕木星公转的周期和轨道半径
【答案】D
【解析】根据万有引力提供圆周运动的向心力可知Geq \f(mM,r2)＝ma，根据表达式可以求出中心天体的质量．木星绕太阳公转的周期和轨道半径可以计算中心天体太阳的质量，因为木星是环绕天体，故不能计算木星的质量，故A、B错误；卫星绕木星公转的周期和木星的半径，已知木星的半径但不知道卫星轨道半径就不能求出卫星的向心力，故不能求出中心天体木星的质量，故C错误；卫星绕木星公转的周期和轨道半径，根据Geq \f(mM,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，已知T和r可以求出木星的质量，故D正确．
5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量之比约为( )
A．eq \f(1,10)B．1
C．5D．10
【答案】B
【解析】根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以恒星质量与太阳质量之比为eq \f(M恒,M太)＝eq \f(r\\al(3,行)T\\al(2,地),r\\al(3,地)T\\al(2,行))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(365,4)))2≈1，故B正确．
6．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.假设地球是一个均匀球体，那么仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量B．地球的质量
C．地球表面的重力加速度D．地球的密度
【答案】B
【解析】万有引力提供环绕天体的向心力，此式只能计算中心天体的质量，故B正确．
7．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的质量．
【答案】(1)eq \f(2v0tan θ,t) (2)eq \f(2v0R2tan α,Gt)
【解析】(1)根据平抛运动知识，可得tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0).
解得g＝eq \f(2v0tan α,t).
(2)根据万有引力等于重力，则有eq \f(GMm,R2)＝mg，
解得M＝eq \f(gR2,G)＝eq \f(2v0R2tan α,Gt).
8．为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，地球公转周期为一年，地球表面处的重力加速度g取10 m/s2，试估算目前太阳的质量．(保留两位有效数字，引力常量未知)
【答案】2.0×1030 kg
【解析】设地球质量是m，地球上一个物体的质量为m′.
由牛顿第二定律，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，则M＝eq \f(4π2r3,GT2).
对地球表面的物体m′，有m′g＝eq \f(Gmm′,R2)，联立上式，得M＝eq \f(4π2r3m,gT2R2).代入数据，得M＝2.0×1030 kg.
9．如果在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表记下了一昼夜的时间T，然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出星球平均密度的估算表达式．
【答案】ρ＝eq \f(30π,GT2)
【解析】设星球的质量为M，半径为R，两极表面重力加速度为g′，平均密度为ρ，砝码的质量为m.
砝码在赤道上失重ΔF＝(1－90%)mg′＝0.1mg′，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力F＝ΔF＝0.1mg′.
而一昼夜的时间T就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律，可得0.1mg′＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R.①
根据万有引力定律，星球两极表面的重力加速度为
g′＝Geq \f(M,R2)＝eq \f(4,3)GπρR.②
联立①②式，得星球平均密度的估算式为ρ＝eq \f(30π,GT2).
B组·能力提升
10．据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，环绕周期127 min.若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( )
A．月球表面的重力加速度
B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月球运行的速度
D．卫星绕月运行的加速度
【答案】B
【解析】绕月卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、月球质量为M，有Geq \f(Mm,R月＋h2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2(R月＋h)，月球表面重力加速度公式g月＝eq \f(GM,R\\al(2,月))，联立可以求解出g月＝eq \f(4π2R月＋h3,R\\al(2,月)T2).即可以求出月球表面的重力加速度．由于卫星的质量未知，故月球对卫星的吸引力无法求出．由v＝eq \f(2πr,T)，可以求出卫星绕月球运行的速度．由a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2(R月＋h)，可以求出卫星绕月运行的加速度．依此可推出A、C、D都可求出，即不可求出的是B，故选B.
11．“嫦娥五号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ (弧度)，如图所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
A．eq \f(l3,Gθt2)B．eq \f(l3θ,Gt2)
C．eq \f(l,Gθt2)D．eq \f(l2,Gθt2)
【答案】A
【解析】线速度为v＝eq \f(l,t)，角速度为ω＝eq \f(θ,t)，根据线速度和角速度的关系公式，有v＝ωr，卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有eq \f(GMm,r2)＝mωv，联立解得M＝eq \f(l3,Gθt2)，A正确．
12．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，登陆舱的质量为m2，则( )
A．该星球的质量为M＝eq \f(4π2r1,GT\\al(2,1))
B．该星球表面的重力加速度为g1＝eq \f(4π2r1,T\\al(2,1))
C．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上运动时的速度大小之比为eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(m1r2,m2r1))
D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1eq \r(\f(r\\al(3,2),r\\al(3,1)))
【答案】D
【解析】研究飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式 eq \f(GMm1,r\\al(2,1))＝m1eq \f(4π2,T\\al(2,1))r1，得出该星球的质量为M＝eq \f(4π2r\\al(3,1),GT\\al(2,1))，故A错误；根据圆周运动知识，a＝eq \f(4π2r1,T\\al(2,1))只能表示在半径为r1的圆轨道上的向心加速度，而不等于该星球表面的重力加速度，故B错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力在半径为r的圆轨道上运动 eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)，得出v＝eq \r(\f(GM,R))，表达式里M为中心体星球的质量，R为运动的轨道半径，所以登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(r2,r1))，故C错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，在半径为R的圆轨道上运动，列出等式：eq \f(GMm,R2)＝eq \f(m4π2R,T2)，得出T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，表达式里M为中心天体的质量，R为运动的轨道半径．所以登陆舱在r1与r2轨道上运动时的周期大小之比为eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(r\\al(3,1),r\\al(3,2)))，所以T2＝T1eq \r(\f(r\\al(3,2),r\\al(3,1)))，故D正确．
13．宇航员到了某星球后做了如下实验：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角2θ.当圆锥和球一起以周期T匀速转动时，球恰好对锥面无压力．已知星球的半径为R，引力常量为G.求：
(1)线的拉力的大小；
(2)该星球表面的重力加速度的大小；
(3)该星球的密度．
【答案】(1)meq \f(4π2,T2)L (2)eq \f(4π2,T2)Lcs θ
(3)eq \f(3πLcs θ,GRT2)
【解析】(1)小球做圆周运动，线的拉力在水平方向的
分力提供向心力，Fsin θ＝meq \f(4π2,T2)r.又因为半径r＝Lsin θ，解得线的拉力F＝meq \f(4π2,T2)L.
(2)线的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，即Fcs θ＝mg星，解得该星球表面的重力加速度g星＝eq \f(Fcs θ,m)＝eq \f(4π2,T2)Lcs θ.
(3)设星球的质量为M，星球表面的物体的重力等于万有引力，有mg星＝Geq \f(Mm,R2)，又因为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得星球的密度ρ＝eq \f(3πLcs θ,GRT2).