2023年中考数学一轮大单元复习1.4核心考点提高训练：分式计算及应用(含答案)

这是一份2023年中考数学一轮大单元复习1.4核心考点提高训练：分式计算及应用(含答案)，共59页。试卷主要包含了观察下面的等式，观察下列等式，探究题，附加题，观察下列式子，阅读理解并回答问题，观察下列一组等式，探索发现等内容，欢迎下载使用。
1.4提高训练：分式的计算及应用
类型1：与分式有关的规律探究
典例：观察下面的变形规律：
，，……解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想___________．
(2)若n为正整数，请你用所学的知识证明．
解（1）：∵；；，
∴．
故答案为．
（2）证明：∵，
∴．
巩固练习
1．观察下面的等式：，，，……按上面的规律归纳出一个一般的结论______（用含n的等式表示，n为正整数）．
【答案】
【分析】观察已知等式，可得规律，用含n的等式表示即可．
【详解】观察等式可得：，，，
∴可得结论，
故答案为：
【点睛】本题考查探索规律及分式得计算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．
2．观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第个等式：______；
（2）计算结果等于______．
【答案】
【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶数的倒数的差；
（2）根据（1）的规律即可求解．
【详解】（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

第个等式为：，



．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
3．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：
(1)计算：若n为正整数，猜想=___________
(2)
(3)若，求的值
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据已知等式得到拆项规律，写出即可
（2）根据已知等式得到拆项规律，写出即可
（3）根据绝对值的性质，分别计算即可
【详解】（1）
（2）



（3）∵，
∴，，
∴，，
∴


【点睛】本题主要考查了数字类题目，分式的运算，解决问题的关键是掌握数字的变化规律
4．附加题：观察下列等式：
，，，，
将以上三个等式两边分别相加得：
，
用你发现的规律解答下列问题：
(1)直接写出下列各式的计算结果：
①______．
②______．
(2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：______．
(3)解方程：．
【答案】(1)①，②
(2)
(3)

【分析】（1）根据题目所给的方法步骤，即可进行解答；
（2）根据已知等式归纳拆项法则，写出答案即可；
（3）根据（2）中得出的结论，将方程进行化简，即可求解．
【详解】（1）解：①


；
②


．
（2）∵，，……，
∴，
故答案为：．
（3）仿照（2）中的结论，原方程可变形为：
，
即 ，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
故原方程的解为．
【点睛】本题考查了数字的变化规律以及分式方程，解题的关键是仔细观察题目，学会拆项变形，通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论．
5．观察下列式子：


以上变形的过程称为“分离系数法”，可以看作是分式加减运算的逆运算，这是解决有关分式问题的一种常用的数学思想与方法，请同学们认真探索它们的规律，并回答下列问题：
(1)根据以上式子填空：
① ．
② ．
(2)按照上述规律，将分式进行“分离系数法”为常数，且；
(3)当x取哪些正整数时，分式的值为整数？
【答案】(1)①；②
(2)
(3)当或时，的值为整数

【分析】（1）根据分离常数法，先把分子变形，再分离常数即可；
（2）根据分离常数法，先把分子变形，再分离常数即可；
（3）先分离常数，再根据分式的值为整数讨论即可．
【详解】（1）解：①．
故答案为．
②．
故答案为．
（2）解：；
（3）解：，
当x为正整数，且为5的约数时，的值为整数，
∴或或或时，的值为整数，
解得（舍去）或（舍去）或或，
故当或时，的值为整数．
【点睛】本题考查了知识拓展，分式加减的逆运算，以及分式的值为0的条件，熟练掌握“分离系数法”是解答本题的关键．
6．阅读理解并回答问题．观察下列算式：



……
(1)填空：＝ ＝ ；
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
(3)请用（2）中的规律解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)x＝10

【分析】（1）观察已知算式计算格式，计算即可得结果；
（2）观察给出的算式，可得规律：；
（3）由（2）中的规律，可将原方程化为，即可得，解此方程即可求得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由题中给出的算式可得：；
故答案为：；
（3）解：原方程变形为：
即，
∴x+10＝2x，
解得：x＝10，
检验：左边＝，右边＝，即x＝10是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为：x＝10．
【点睛】此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法．此题难度适中，解题的关键是得到规律：．
7．观察下列式子：
，，，，……
按照上面式子的规律，完成下列问题：
(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：① ，② ；
(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为＝（ ）（不必写出字母的取值范围）；
(3)验证这个规律．
【答案】(1)，（答案不唯一）
(2)x-3，6-x，6-x-3
(3)见解析

【分析】（1）根据所给式子，写出符合条件的即可；
（2）第一个数为x，第一个数的分母为x-3，第二个数的分子为6-x,分母为6-x-3，由此可得结论；
（3）利用分式的运算方法验证即可．
（1）
①；
②；
故答案为：，（答案不唯一）
（2）
通过观察可得规律：，
故答案为：x-3，6-x，6-x-3；
（3）




=2，
∴成立．
【点睛】本题考查数字的变化规律以及分式的加减运算，通过观察式子的特点，找到各式子分子、分母之间的联系是解题的关键．
8．观察下列一组等式：
第①个等式：；第②个等式：；
第③个等式：；第④个等式：．
根据你观察到的规律，完成以下问题：
(1)第⑤个等式为______；
(2)用n的式子表示第个等式为______；
(3)若等式是符合上面规律的等式，27是的一个平方根，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)a＝9

【分析】（1）根据题目中给出的式子，可以写出第⑤个等式；
（2）根据题目中式子的特点，可以写出第n个等式．
（3）根据（2）中的规律解答即可．
（1）
第①个；
第②个；
第③个；
第④个；
第⑤个等式为：，
故答案为：；
（2）
∵第①个；
第②个；
第③个；
第④个；

第个等式为：；
故答案为：；
（3）
由（2）可知，
，
．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子．
9．探索发现：
＝1﹣；
＝
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)＝______；＝______；
(2)利用发现的规律计算：+…+．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）根据规律可直接得答案；
（2）利用（1）中的规律对式子进行变形，再消去互为相反数的项，即可求解．
（1）
，；
（2）
+…+
…+

．
【点睛】本题考查了分式的加减，根据已知算式找到规律是解题的关键．
10．观察下列式子，并探索它们的规律
，，，……
(1)试用正整数n表示这个规律：______；
(2)当时，试计算：
；
(3)请你尝试解方程：

【答案】(1)
(2)，
(3)

【分析】（1）根据前几个式子的运算规律求解即可；
（2）利用（1）中的运算规律将式子中的每一项分成两项，然后合并再代值求解即可；
（3）类比前面的运算方法求解即可．
（1）
解：∵，，，……
∴用正整数n表示这个规律为，
故答案为：；
（2）
解：∵，
∴


，
当n=2022时，原式；
（3）
解：∵，，
，
∴原方程可化为，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查数字类规律探究、分式的化简求值、解分式方程，根据已知式子找到变化规律，运用类比方法求解是解答的关键．
11．观察下列各等式：
①；
②；
③；
④
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明其正确性．
【答案】(1)
(2)（n为正整数），证明见解析

【分析】（1）根据题干前4个运算式的提示，归纳出相同的运算式的特点，再写出第⑤个即可；
（2）把等式的左边通分，再计算即可得到结论．
（1）
解：①；
②；
③；
④，
所以⑤为：
故答案为
（2）
由（1）归纳可得：（n为正整数），
证明如下：．
故答案为：（n为正整数）．
【点睛】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
12．观察下列等式：，，，
把以上三个等式两边分别相加得：．
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
(1)猜想并写出：＝______．
(2)规律应用：计算：；
(3)拓展提高：计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）逆用分式的减法法则计算即可．
（2）根据（1）的特点,裂项后求和，注意其中的规律，清楚被销项和保留项，计算即可．
（3）把分母的各数中各提取2，转化成（2）式问题计算即可．
【详解】（1）∵=，
故答案为：．
（2）
=
=
=．
（3）
=
=
=
=
=．
【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，正确找到规律，灵活运用规律是解题的关键．
13．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析

【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
(1)
解： ；
(2)
解：，理由如下：
左边右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．
14．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题；
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明；
(3)计算：
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)

【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可；
（2）根据前几个等式即可得出规律，从而即可写出第n个等式；
（3）根据变形整理计算即可．
(1)
第5个等式为：．
故答案为：；
(2)
第n个等式为：．
证明：左边右边
∴等式成立．
故答案为：；
(3)



．
【点睛】本题考查分式的规律性问题．根据前几个等式总结出规律是解题关键．
15．观察下列各式：
，


(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；
(2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
(3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，

【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可；
（2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式；
（3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值．
（1）
解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出：
；
故答案为：；
（2）
解：由（1）可知，
∴，
设（），
∴
∵，
∴；
（3）
解：由（2）可知，
当时，则
，
∵，
∴，
∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d；
∴a=17，b=5，c=3，d=1；
∵

，
当a=17，b=5，c=3，d=1；
∴原式；
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键．
16．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如与，
解：，
，
是的“关联分式”．
(1)【解决问题】已知分式，则 ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
(2)和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”为B，
则，
，
．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
(3)【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：________．
【答案】(1)是
(2)
(3)

【分析】（1）根据关联分式的定义判断；
（2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可；
（3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解．
（1）
解：∵，
，
∴ 是的“关联分式”．
故答案为：是；
（2）
解：设的关联分式是N，则：

∴
∴
∴；
（3）
解：由（1）（2）知：的关联分式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础．
类型2：分式的化简求值
典例：先化简：，再从一元一次不等式的解集中选择一个你喜欢的数代入求值．
解：原式

．
解得，，
由原式可知，a不能取1，0，，
∴当时，原式．
巩固练习
1．已知，那么______．
【答案】
【分析】根据完全平方公式，以及分式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：，，
，
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查开平方、分式化简求值运算以及完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
2．（1）计算：；
（2）先化简，再求的值，其中是不等式的非负整数解．
【答案】（1）；（2）；时，原式
【分析】（1）利用去绝对值符号，再利用（，p为正整数）和计算和，最后利用代入求值；
（2）根据分式的混合运算法则化简分式，注意约分找最大公因式，通分找公分母，再解不等式求得x的取值范围，找到范围内的非负整数，选择不会使得原分式、化简过程中出现的分式以及最后结果中的分式分母不为0的x的值代入求值．
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式

，
解得，
不等式的非负整数解为0、1、2，
且，
且，
，
则原式．
【点睛】本题考查了实数的计算和分式的化简求值，解决本题的关键在于熟记计算公式，掌握运算法则，注意分式的意义，并仔细计算．
3．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先把括号中通分，再将除法转化为乘法运算，约分后即可得到最简结果，最后把的值代入即可求得答案．
【详解】解：原式；
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值，掌握其运算法则是解题的关键．
4．当时，求的值．
【答案】
【分析】先根据分式的运算顺序和运算法则，将分式进行化简，再代入x的值进行计算即可．
【详解】解：原式


，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
5．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，然后进行加减，化简后将代入计算即可．
【详解】解：原式



，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则，将所求式子化简．
6．先化简，再求值：，从，，0，1，2中选择一个有意义的数求值．
【答案】，当时，
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的m的值代入计算可得．
【详解】



∵，
∴，且，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
7．求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后把a的值代入计算即可．
【详解】解：



，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式运算法则和运算顺序是解题的关键．
8．已知非零实数a、b、c、x、y、z满足，求的值．
【答案】1
【分析】先通过比例的性质转化得到，，，然后再代入中化简求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴



【点睛】本题考查了比例的性质以及分式化简求值，解题关键是掌握比例的相关性质．
9．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法约分化简．
【详解】解：原式



，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
10．我们定义：如果一个代数式有最大值，就称之为“青一式”，对应的最大值称之为“青一值”．如：是“青一式”，它的“青一值”为4．
(1)以下代数式是“青一式”的有___________（请填序号）
① ② ③ ④
(2)如果实数请判断代数式是否为“青一式”？如果是，请求出它的“青一值”，如果不是，请说明理由．
(3)①已知，求“青一式”的“青一值”，并求出此时x和y满足何种条件？
②求代数式在范围内的“青一值”．
【答案】(1)②④
(2)是“青一式”，“青一值”为6
(3)①的“青一值”为，此时；②

【分析】（1）由“青一式”的定义结合各代数式的特点判断即可；
（2）由题意可得出，代入中，并整理得：，即代数式有最大值为6，即说明代数式是“青一式”，“青一值”为6；
（3）①由，，可得出，即的最大值为，且此时，即的“青一值”为，此时；②．再由，当时，取得最大值，也取得最大值，即得出当时，有最大值，即代数式在范围内的“青一值”为．
【详解】（1）解：①代数式没有最大值不是“青一式”；
②∵代数式，
∴其有最大值，是“青一式”；
③∵代数式，
∴其没有最大值，不是“青一式”；
④∵代数式有最小值2，
∴代数式有最大值，是“青一式”．
综上可知②④是“青一式”．
故答案为：②④；
（2）解：是“青一式”，“青一值”为6．
∵，
∴，
∴

，
∴代数式有最大值为6，
∴代数式是“青一式”，“青一值”为6；
（3）①∵，，
∴，
∴，即的最大值为．
∵此时当，
∴，
∴的“青一值”为，此时；
②∵，
又∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最大值，最大值为，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴代数式在范围内的“青一值”为．
【点睛】本题考查对新定义的理解，完全平方公式的应用，分式混合运算的应用，平方非负性的应用．读懂题意，理解“青一式”和“青一值”的定义是解题关键．
11．先化简再求值：
(1)，其中
(2)，并从，0，2中选一个合适的数代入求值．
【答案】(1)，
(2)，当时，原式

【分析】（1）先利用公式将分式化简，然后计算出x的值，代入化简后的分式计算即可求出答案；
（2）先利用公式将分式化简，然后代入2计算即可求出答案．
【详解】（1）原式

∴原式
（2）原式
∵，，
∴
∴原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是运用公式将分式进行化简．
12．已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后计算分式的加法，最后将代入计算即可得．
【详解】解：原式


，
，
，
则原式．
【点睛】本题考查了分式的求值、负整数指数幂，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
13．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则对原式进行化简，再将的值代入即可求解．
【详解】解：原式=

；
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，以及特殊角的三角函数值．
14．先化简：，再从1，，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得．
【详解】解：

，
∵，
∴取，
则原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
15．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：



，
∵，
∴
∴，
∴，
∴该代数式的值为．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，正确对分式进行通分、约分是关键．
17．先化简，再求值: ，其中．
【答案】，．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了分母有理化．
18．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】先算括号内的减法，分子分母能因式分解的进行因式分解，再利用除法法则变形，约分后即可化简；代入特殊角三角函数值求出x，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式

；
∵

，
∴原式

．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法，分母有理化以及特殊角三角函数值的运算，熟练掌握运算法则，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．
19．先化简再求值：，其中
【答案】；
【分析】先求出x的值，再化简，最后代入计算即可．
【详解】解：，





，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、零指数幂和负整数指数幂，求出是解题的关键．
类型3：与分式有关的纠错问题
典例：学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：

老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.
（1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第几步开始出现错误（填序号），错误的原因是什么.
（3）请写出正确解答过程.
解：（1）我选择甲同学的解答过程进行分析（或者选择乙均可），
故答案为甲（答案不唯一）；
（2）甲同学在第②步计算错误，对分式进行通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1，
故答案为②，通分时，将分母乘以x+1，而分子没有乘以x+1；
（3）
，
，
，
，
.
巩固练习
1．若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【分析】①中只需通过求出M-N=0需要满足的条件，看是否与ab=1相同即可；
②通过计算得到，根据，得到a，b互为相反数，得到ab≤0，从而得出结论．
【详解】解：∵，且，，
∴当时，，即，
故正确；
∵，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故正确．
综上所述，结论都正确，
故选：．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
2．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（ ）
甲同学：




乙同学：






A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错
【答案】D
【分析】甲：由分式加减运算法则和分式的基本性质求解；乙：根据所给的例子可知，，即取中较小的数，据此即可判断．
【详解】甲同学：






故甲错误．
乙同学：





故乙错误，则两人都错．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算以及新定义下实数的大小比较，解题的关键是掌握分式的混合运算和新定义题目的理解．
3．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（ ）
甲同学：




乙同学：






A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错
【答案】D
【解析】根据分式的运算法则求解．
【详解】解：∵
=
=，
∴甲乙两人都做错了，
故选：D ．
【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
4．为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（ ）

………………甲
………乙
………………………丙
=—2……………………………………丁
A．10分 B．20分 C．30分 D．40分
【答案】B
【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【详解】解：原式


，
因此从丙开始出现错误．故得分为20分．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
5．乐陵市某中学八年级教师为鼓励学生合作学习设计了一个接力游戏——用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的情况是（ ）
A．只有甲出错 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁
【答案】B
【分析】根据分式运算法则逐一分析判断即可.
【详解】解：由教师到甲：，故甲错误；
由甲到乙：，故乙错误；
由乙到丙：，故丙正确；
由丙到丁：，故丁正确.
故选B.
【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式各个运算法则是解决此题的关键.
6．已知 a、b 为实数且满足 a ¹ -1，b ¹ -1 ，设 M =， N =，则下列两个结论（ ）
① ab = 1 时，M = N ；ab > 1时，M < N .② 若a + b = 0, 则M × N £ 0.
A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错
【答案】C
【分析】①根据分式的减法法则计算，然后分情况讨论即可得结论；
②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
【详解】∵M =， N =，
∴



①当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，或，
∴或，
∴或；
故①错
②
，
∵，
∴原式


∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②对．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
7．如图，是淇淇对分式化简求值的计算过程，嘉嘉看了以后说淇淇的计算步骤中有错误，则从上一步化简到下一步时，开始出错的步骤是（ ）

①
②
③
④

A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】根据分式化简求值的过程，找出错误的步骤即可.
【详解】分式化简的正确过程为：


．
∴出错的步骤是③.
故选C.
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
错因分析 中等题.失分的原因是：没有掌握分式运算法则及化简步骤.
8．小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上，则甲、乙两块地的撒播密度比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设播种的数量为n，分别表示出甲、乙两块地的撒播密度，求出之比即可．
【详解】解：设播种的数量为n，
∴甲的撒播密度为：，乙的撒播密度为，
∴甲、乙的撒播密度比为




，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
9．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第三次操作；将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；
④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】设，，分别求出，，，，…，，，得到规律，即可一一判断．
【详解】设，，则，；，；，；，；
，；
，；
，；
…
一般地：，，则④正确；
∴，故①正确；
当时，，而，
∴，故②正确；
若，即，解得：，故③错误；
故正确的有3个；
故选：B．
【点睛】本题是规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律．
10．如图，设（），则有（ ）

A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞2
【答案】C
【分析】分别计算出甲图阴影部分面积和乙图阴影部分面积，然后计算比值即可．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：，乙图中阴影部分的面积为：，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查分式运算的应用，计算图中阴影部分面积及熟悉分式的运算是解题的关键．
11．有这样一道题：“化简求值：其中．”小明误把写成，最后的计算结果也是正确的，这是什么原因？
【答案】原因见解析
【分析】把题目中的式子化简，然后观察结果，即可说明理由．
【详解】解：

，
结果为常数-5与m的取值无关，
小明误把写成，最后的计算结果也是正确的．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则．
12．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：

= 第一步
= 第二步
= 第三步
乙同学：

= 第一步
= 第二步
= 第三步

老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
【答案】(1)甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
(2)

【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
【详解】（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1；
或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母；
故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
（2）(选甲为例）
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
13．（1）计算：．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知，求的值．
原式第一步
第二步
第三步
所代入上式，得
原式 第四步
第五步
． 第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第______步是进行分式的通分．
②第_____步开始出错，这一错误的原因是______．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
【答案】（1）10；（2）任务一：①一；②五，分子没有乘；任务二：．
【分析】（1）根据平方差公式的化简括号，然后进行计算即可求解；
（2）根据分式的化简求值，分母有理化进行计算即可求解．
【详解】（1）原式=6+5－1=10．
（2）任务一：①一．
②五，分子没有乘．
任务二：原式

=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
14．计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：
小明：
①
②
小亮：
③
④

(1)判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，则找出最先出错的式子：______（填序号）．
(2)请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．
【答案】(1)①
(2)选小明的解法，解答见解析

【分析】（1）逐步分析两位同学的做法，找出出错的式子．
（2）任选其一，利用通分，化简即可解出答案．
【详解】（1）解：小明：
①
②
故最先出错的式子为小明的解题过程中的①；
故答案为：①
（2）解：选第一种解法，过程如下：



＝
＝
＝
【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，关键在于熟练掌握分式混合运算的法则和步骤．
15．（1）计算：．
（2）下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．

解：
……第一步
……第二步
．……第三步
①小明的解答过程从第______步开始出错；
②请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）1；（2）①一；②
【分析】（1）先化简各式，然后进行计算即可解答；
（2）①通过观看解答，根据分式通分的概念可知第一步出错；
②先通分，然后根据同分母分式相加减的法则计算即可．
【详解】（1）原式

=1
（2）①一．
②





【点睛】本题考查了实数的运算，分式的运算等，解题的关键是掌握分式的基本性质，能将分式通分和约分并熟练地运算各式．
16．请你阅读圆圆同学的解题过程，并回答所提出的问题．
计算：＋．
圆圆的解法
原式＝……①
＝……②
＝……③
问：圆圆在第 步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确的解答过程．
【答案】②；见解析过程
【分析】注意观察圆圆的解题过程中每一步过程的变化即可找到开始出错的位置，进而写出正确的解答过程．
【详解】圆圆在第②步开始出错；
正确的解答过程如下：
＋
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
17．（1）先化简，再求值，其中x为方程x2﹣4＝0的根．
（2）小刚在学习一元二次方程时，解方程2x（x﹣3）＝（3﹣x）的过程如下：
原方程可化为2x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．（第一步）
方程两边同时除以x﹣3，得x＝﹣．（第二步）

小刚的解答过程是从第 步开始出错的，请写出正确的解答过程．
【答案】（1），-2；（2）二，正确解答见解析．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解一元二次方程求出其根，继而根据分式有意义的条件选择使分式有意义的x的值代入计算即可；
（2）根据等式的基本性质可判断出错步骤，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）原式＝﹣
＝﹣
＝，
解方程x2﹣4＝0得x＝±2，
∵x≠±1且x≠2，
∴x＝﹣2，
则原式＝＝﹣2；
（2）小刚的解答过程是从第二步开始出错的，正确的解答过程如下：
2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x+1）＝0，
则x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣．
故答案为：二．
【点睛】本题考查了分式的化简求值与解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（1）解方程：①
②
（2）学习“分式”一章后，老师写出下面的一道题让同学们解答．
计算：，其中小明的解答过程如下：
解：原式 =………………（第一步）
=………………（第二步）
=………………（第三步）
=………………（第四步）
上述计算过程中，是从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①x1=-1，x2=3；②x1＝−9，x2＝；（2）二，
【分析】（1）①利用因式分解法求解即可；
②利用直接开平方法求解可得；
（2）题目是异分母的分式相减，先确定最简公分母，再通分变成同分母的分式，进行减法运算，结果化成最简分式或者整式．
【详解】解：（1）①，
∴，
∴x+1=0或x-3=0，
解得x1=-1，x2=3；
②，
两边开方得：2（x-3）=±3（x+1），
当2（x-3）=3（x+1）时，解得：x=-9；
当2（x-3）=-3（x+1）时，解得：x＝，
∴原方程的根为x1＝−9，x2＝；
（2）分式加减的过程中丢掉了分母，所以第二步出现了错误．
正确的解答过程为：

=
=
=
=
【点睛】本题考查了解一元二次方程，异分母分式的加减，掌握法则是关键．异分母的分式相加减，先通分化成同分母的分式，再加减．结果要化成最简分式或整式．
19．下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．
（1）填空：
①以上化简步骤中，第 步进行的是分式的通分，通分的依据是 .即为： ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果：
（3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
……第六步
……第七步


【答案】（1）①二，分式的基本性质，分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②四，括号前是“-”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；（2）；（3）最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）．
【分析】（1）①根据分式的通分及分式的基本性质可直接进行求解；②根据分式的加减运算法则及去括号法则可直接进行求解；
（2）依据分式的加减运算可进行求解；
（3）根据分式的运算回答合理即可．
【详解】解：（1）①以上化简步骤中，第二步进行的是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，即为：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
故答案为二，分式的基本性质，分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“-”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为四，括号前是“-”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）
=
=
=
=
=
=；
（3）答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分式的基本性质变形；分式化简不能与解分式方程混淆等等．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
20．（1）计算：
（2）化简：．
小江的解答如下：
①
②
③
小江的解答过程从第______步（填“①”或“②”或“③”）开始出错，请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）0；（2）①，过程见解析．
【分析】（1）根据绝对值、负指数幂的运算法则和锐角三角函数值进行计算；
（2）先通分，再按同分母分式相加减的法则运算．
【详解】解：（1）原式=2+1-3．
（2）第 ① 步；
原式


．
【点睛】本题考查了绝对值、负指数幂、三角函数值、分式的化简等知识点，熟知相应的运算法则是解题的关键．
58．下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．
……①
……②
……③
上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．
【答案】错误，从第①步开始出错，正确的解题过程见解析．
【分析】根据分式的减法法则即可得．
【详解】由分式的减法法则可知，上面的解题过程错误，从第①步开始出错，正确的解题过程如下：
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
21．下面是小明化简的过程
解：＝ ①
＝ ②
＝﹣ ③
（1）小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步？
（2）求当x＝时原代数式的值．
【答案】（1）第①步（2）
【分析】（1）根据分式的乘除法可以明确小明在哪一步出错了，从而可以解答本题；
（2）根据分式的乘除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】（1）小明的解答不正确，错在第①步；
（2）
＝
＝，
当x＝时，原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．某同学化简分式出现了错误，解答过程如下：
解：原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝－ （第三步）
（1）你认为该同学的解答过程是从第几步开始出错的？
（2）写出你的解答过程．
【答案】（1）第一步开始出错；（2）见解析．
【分析】（1）根据分式的基本性质判断；
（2）根据分式的加减法运算法则计算即可．
【详解】解：（1）第一步开始出错；
（2）



【点睛】本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法运算法则是解题的关键．
23．计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
甲同学：

①
②
③
④
乙同学：

①
②
③
④
老师发现这两位同学的解答过程都有错误.
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.
（1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________；
（3）请写出正确解答过程.
【答案】（1）甲（或乙）；（2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母；（3）详见解析.
【分析】甲的错误是第②步通分时，分子没有乘，乙的错误是第③步直接去掉了分母，任选一个作答即可，按照通分，合并的步骤写出正确过程即可.
【详解】解：（1）甲（或乙）；
（2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母；
（3）正确解答过程如下：




.
【点睛】本题考查分式的计算，注意通分时不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程区分开.
24．某学生在化简求值：，其中x＝时出现错误，解答过程如下，
原式＝ （第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
当x＝是，原式＝ （第四步）
（1）该学生解答过程从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题的正确解答过程．
【答案】（1）一，分式的基本性质用错；（2）见解析．
【分析】（1）根据题目中的式子和分式的基本性质可以解答本题；
（2）根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）由题目中的式子可知，该学生解答过程从第一步开始出错，其错误原因是分式的基本性质用错，
故答案为一，分式的基本性质用错；
（2）
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
25．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：

老师发现这两位同学的解答都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解答从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（2）请重新写出完成此题的正确解答过程．
．
【答案】（1）甲，一，在通分时，两个分式没有按分式的基本性质运算；（2）．
【分析】（1）观察解答过程，找出出错步骤，并写出原因即可；
（2）先通分，再合并同类项，最后约分化简即可.
【详解】（1）我选择甲同学的解答过程进行分析．该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，两个分式没有按分式的基本性质运算；
（2）


．
故答案为甲，一，在通分时，两个分式没有按分式的基本性质运算．
【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握运算法则是关键.
类型4：分式的应用问题
典例：13．有这样一段叙述：“要比较与的大小，可以先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是0”．由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差即可．
问题：甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果（假设两次购水果的单价不同，分别为元，元，），甲每次购水果20千克，乙每次购水果用去20元．
（1）用含，的代数式表示：甲两次购水果共付 元；乙两次共购 千克水果；甲两次购水果的平均单价为 元/千克，乙两次购水果的平均单价为 元/千克；
（2）现规定：谁购水果的平均单价低，谁购水果的方式就合算，请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算？并说明理由．
解：（1）甲每次购买水果共需要付款（20x＋20y）元；
乙两次共购买（）千克的水果；
甲两次购水果的平均单价Q1＝，乙两次购水果的平均单价Q2＝40÷（）=；
故答案为：（20x＋20y）；（）；；
（2）乙购买水果的方式更合算些，理由为：
Q1−Q2＝-=，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x−y）2＞0，2（x＋y）＞0，
∴＞0，
∴Q1−Q2＞0，即Q1＞Q2，
∴乙购买水果的方式更合算些．
巩固练习
13．有这样一段叙述：“要比较与的大小，可以先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是0”．由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差即可．
问题：甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果（假设两次购水果的单价不同，分别为元，元，），甲每次购水果20千克，乙每次购水果用去20元．
（1）用含，的代数式表示：甲两次购水果共付 元；乙两次共购 千克水果；甲两次购水果的平均单价为 元/千克，乙两次购水果的平均单价为 元/千克；
（2）现规定：谁购水果的平均单价低，谁购水果的方式就合算，请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算？并说明理由．
【答案】（1）（20x＋20y）；（）；；（2）乙购买水果的方式更合算些，理由见解析
【分析】（1）根据两次购买水果的单价及买的千克数，表示出甲两次买水果的钱数即可；用20元除以两次单价，相加即可得到乙购买水果的千克数；表示出甲两次购买水果的平均单价为Q1元，乙两次购买水果的平均单价为Q2元即可；
（2）由（1）得到Q1−Q2，通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用完全平方公式整理后判断差为正数，可得出Q1＞Q2，即乙购买水果的方式更合算些．
【详解】解：（1）甲每次购买水果共需要付款（20x＋20y）元；
乙两次共购买（）千克的水果；
甲两次购水果的平均单价Q1＝，乙两次购水果的平均单价Q2＝40÷（）=；
故答案为：（20x＋20y）；（）；；
（2）乙购买水果的方式更合算些，理由为：
Q1−Q2＝-=，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x−y）2＞0，2（x＋y）＞0，
∴＞0，
∴Q1−Q2＞0，即Q1＞Q2，
∴乙购买水果的方式更合算些．
【点睛】此题考查了分式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．在通常情况下，判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以．