2023年中考数学一轮大单元复习2.1方程（组）定义及解法知识点过关练(含答案)

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2.1方程（组）定义及解法知识点过关练

考点1：等式的性质
例1．（2022秋·河北邯郸·七年级校考期末）下列变形符合等式的性质的是（ ）
A．如果2x-3=7，那么2x=7-3
B．如果3x-2=x+1，那么3x-x=1-2
C．如果-2x=5，那么x=5+2
D．如果-2x=6，那么x=-3
【答案】D
【分析】等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式；据此进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、等式左边加上3，右边加上-3，不符合等式的性质，故不符合题意；
B、等式左边加上2-x，右边加上-2-x，不符合等式的性质，故不符合题意；
C、等式左边除以-2，右边加上2，不符合等式的性质，故不符合题意；
D、等式两边同时除以-2，结果仍是等式，故符合等式性质，符合题意；
故选：D．
知识点训练
1．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）在下列式子中，变形一定成立的是（ ）
A．如果a=b，那么a+m=b+n B．如果-a3=b，那么a=-3b
C．如果a-x=b-x，那么a+b=0 D．如果ma=mb，那么a=b
【答案】B
【分析】根据等式的性质，等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立；等式两边同时乘以同一个数（或式子），等式仍成立；等式两边同时除以一个不为零的数（或式子）等式仍成立，由此即可求解．
【详解】解：A选项，等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立，故A选项错误；
B选项，等式两边同时乘以-3，故B选项正确；
C选项，如果a-x=b-x，那么a-b=0，故C选项错误；
D选项，m的值不确定，故D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握和理解等式的性质，尤其是等式两边同时除以一个不为零的数（或式子）等式仍成立是解题的关键．
2．（2022秋·天津河西·七年级统考期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由-2x=1得x=-2 B．由x-1=3得x=3-1
C．由-32x=1得x=-23 D．由x+2=7得x=7+2
【答案】C
【分析】等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）结果仍然石是等式；性质2：等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式．根据等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：A．由-2x=1得x=-12， 故选项错误，不符合题意；
B．由x-1=3得x=3+1，故选项错误，不符合题意；
C．由-32x=1得x=-23，故选项正确，符合题意；
D．由x+2=7得x=7-2，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确等式的基本性质．
3．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若x=2y，则x+1=2y+1 B．若3x=2y，则3xm=2ym
C．若3xa=2ya，则3x=2y D．若x=y，则m2+1x=m2+1y
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、若x=2y，则x+1=2y+1，等式成立，不符合题意；
B、若3x=2y，则3xm=2ym，当m=0时，等式不成立，选项错误，符合题意；
C、若3xa=2ya，则3x=2y，等式成立，不符合题意；
D、若x=y，则m2+1x=m2+1y，m2+1>0，等式成立，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质，是解题的关键．
4．（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．若m+4=n-44，则m=n B．若a2x=a2y，则x=y
C．若xa=ya，则x=y D．若-32k=8，则k=-12
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，逐个进行判断，即可进行解答．
【详解】解：A、若m+4=n-44，则m≠n，故A不正确，不符合题意；
B、若a2x=a2y，a≠0，则x=y，故B不正确，不符合题意；
C、若xa=ya，则x=y，故C正确，符合题意；
D、若-32k=8，则k=-163，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
5．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，两个天平都平衡．当天平的一边放置3个苹果时，要使天平保持平衡，则另一边需要放香蕉（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】通过等量关系，建立方程求解．
【详解】解：设一个苹果的重量是a，一个香蕉的重量是b，一根三角形物体的重量是c，由题意得：
2a=5c2b=3c，
∴a=52cb=32c，
∴3a=3×52c=152c，
152c÷32c=5（个），
即另一边需要放香蕉5个．
故选：D．
【点睛】本题考查等式性质，找到题中的等量关系是求解本题的关键．
6．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期中）下列运用等式性质正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b-c B．如果a=b，那么ac=bc
C．如果ac=bc，那么a=b D．如果a=3，那么a2=3a2
【答案】C
【分析】根据等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（0除外），等式仍然成立，由此进行判断即可．
【详解】解：A、如果a=b，那么a+c=b-c，不正确，本选项不符合题意；
B、如果a=b，当c ≠0时，那么ac=bc，原说法错误，本选项不合题意；
C、如果ac=bc，这时c ≠0时，那么a=b，原说法正确，本选项合题意；
D、如果a=3，，那么a2=3a2，两边乘的数不相同，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练运用等式的基本性质是解题的关键。
7．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）下列说法中：①若x=y，则-m+x=-m+y；②若xa=ya，则x=y；③若x=y，则xt2+1=yt2+1；④若ax=ay，则x=y，正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等式的性质依次判断即可．
【详解】解：∵等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立，
∴若x=y，则-m+x=-m+y；
∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
∴若xa=ya，则x=y，故②正确；
∴若x=y，则xt2+1=yt2+1，故③正确；
∴若ax=ay，当a≠0时x=y，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟知：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
8．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2=y+2，则x=y B．如果 x=y，则x-2=y-2
C．如果 mx=my，则x=y D．如果 xm=ym，则x=y
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A. 如果x+2=y+2，则x=y，说法正确，故不符合题意；
B. 如果 x=y，则x-2=y-2，说法正确，故不符合题意；
C. 如果 mx=my，则x=y，只有当m≠0的时候才成立，说法错误，故符合题意；
D. 如果 xm=ym，则x=y，说法正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键
考点2：方程的解
例2．（1）（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）如果x=3是方程3x-2a=a-3的解，则a的值为______．
【答案】4
【分析】把x=3代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵x=3是方程3x-2a=a-3的解，
∴3×3-2a=a-3，
解得：a=4，
故答案为：4
（2）（（2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程12021x+4=2x+b的解为x=2，那么关于y的一元一次方程12021y+1+4=2y+1+b的解为y=_____．
【答案】1
【分析】利用换元法可求得y+1=2，即可求解
【详解】解：设y+1=x，原方程可变为：12021x+4=2x+b，
∵方程12021x+4=2x+b的解为x=2，
∴y+1=2，
∴y=1，
故答案为：1
例3．（1）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若x=3y=-2是二元一次方程ax+by=-2的一个解，则3a-2b+2024的值为______．
【答案】2022
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于a，b的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式3a-2b+2024可得答案．
【详解】解：∵x=3y=-2是二元一次方程ax+by=-2的一个解，
∴代入得：3a-2b=-2，
∴3a-2b+2024=-2+2024=2022，
故答案为：2022．
（2）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于x，y的二元一次方程组ax+2y=32x-by=4，下列说法正确的是______．
①当a=b=2时，方程组的解为x=74y=-14．
②当a=b=0时，方程组无解．
③当a≠0时，b无论为何值，方程组均有解．
④当a2≠-2b时，方程组有解．
【答案】①④
【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．
【详解】①当a=b=2时，二元一次方程组为：2x+2y=32x-2y=4
令2x+2y=3,①2x-2y=4,②
①+②得，4x=7，解得：x=74
把x=74代入①式，得2×74+2y=3，解得：y=-14
∴当a=b=2时，方程组的解为：x=74y=-14；
故①正确；
②当a=b=0时，二元一次方程组为：2y=32x=4
解得：y=32x=2
∴当a=b=0时，方程组的解为：y=32x=2；
故②错误；
③∵ax+2y=3
∴y=-a2x+32
把y=-a2x+32代入2x-by=4中，得x=3b+84+ab
∴y=12-8a24+ab
若4+ab=0，则ab=-4，方程无解
当a≠0，ab=-4且b≠-83时，方程无解
∴③错误；
④当a2≠-2b，
∴ab≠-4，
∴在x=3b+84+aby=12-8a24+ab中，x，y有意义，
∴当a2≠-2b时，二元一次方程组ax+2y=32x-by=4有解，
∴④正确，
∴正确的为：①④．
故答案为：①④．
例4．（1）（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若a，b分别是方程3x2-9x+5=0的两根，则a2-4a-b=______________．
【答案】-143##-423
【分析】根据a，b分别是方程3x2-9x+5=0的两根，得出3a2-9a+5=0，a+b=--93=3，将3a2-9a+5=0变形得出a2-3a=-53，然后变形a2-4a-b=a2-3a-a+b，最后代入求值即可．
【详解】解：∵a，b分别是方程3x2-9x+5=0的两根，
∴3a2-9a+5=0，a+b=--93=3，
∴3a2-9a=-5，
即a2-3a=-53，
∴a2-4a-b
=a2-3a-a-b
=a2-3a-a+b
=-53-3
=-143．
故答案为：-143．
（2）（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）已知x=0是关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2-1=0的一个根，则m=（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程列出关于系数m的新方程，通过解方程即可求得m的值．
【详解】解：∵关于x的方程m+1x2+x+m2-1=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠-1．
根据题意，知x=0满足关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2-1=0，
则m2-1=0，即(m+1)(m-1)=0，
解得，m=-1（不合题意，舍去），或m=1．
故选：A．
例5．（1）（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的方程xx-5-m5-x=-1的解大于1，则实数m的取值范围是______．
【答案】m1，且5-m2≠5，
解得m0，且k-1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：k-1≠0，Δ=-22-4×1×k-1=4-4k+4=8-4k>0，
解得：k0且m≠1 B．m≥0且m≠1 C．m>0 D．m0，
即4-4(m-1)>0．
解得m0时，方程有两个不相等的实数根．
10．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+a-2=0有两个实数根，则a的取值范围是___________．
【答案】a≤3
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a-2=0有两个实数根，
∴Δ=22-4×1×a-2≥0，
得4-4a+8≥0，
解得a≤3，
故a的取值范围是a≤3，
故答案为：a≤3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
11．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）已知关于x的方程x2+2x+k-4=0有两个不相等的实数根．
（1）k的取值范围是______；
（2）若x=-2是该方程的一个根，则k=______．
【答案】 k0，即22-4k-4>0，即可求得k的取值范围；
（2）设方程另一个根为x2，然后利用根与系数的关系有-2+x2=-2-2x2=k-4，即可得到方程的另一个根．
【详解】解：（1）∵关于x的方程x2+2x+k-4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22-4k-4>0
解得：k