2023呼和浩特高三上学期质量普查（期末）数学（理）试题含答案

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试

理科数学

第一卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设集合，B＝{1，2，3，4}，则（    ）

A．{2} B．{1，2} C．{2，3，4} D．{3，4}

2、若，则下列说法正确的是（    ）

A．复数z的模为  B．

C．复数z的虚部为－i  D．复数z在复平面内对应的点在第二象限

3、已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－5，m），且，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

5．设，，，则（    ）

A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c

6．数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（    ）

A．23 B．24 C．25 D．26

7．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A是其渐近线上的一点，若|AF|的最小值为3a，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．3 D．

8．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得∠BCD＝120°，则教学楼AB的高度是（    ）

A．20米 B．米 C．米 D．25米

9．已知函数称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，如图，则输出的S值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

10．曲线在点（π，－2）处的切线方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知函数，则“m＞2”是“f（x）＜0对x∈[1，3]恒成立”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

12．定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数x都有，且，，则的值为（    ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数x，y满足，则的最大值是______．

14．已知圆C与圆相切于原点，且过点A（0，－4），则圆C的标准方程为______．

15．函数（ω＞0，）的部分图象如图所示，则下列关于的结论正确y的序号为______．

①的最小正周期为π；

②的图象关于直线对称；

③若x1，且，则；

④的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到的图象，若图象的一个对称中心是，则θ的最小值为．16．已知P是半径为1圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若，则的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

17．在梯形ABCD中，，，，．

（1）求的值；

（2）若△ABD的面积为4，求AD的长．

18．已知数列满足（）

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：

19．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留农药量与本次清洗前残留农药量之比为．

（1）试确定的值，并解释其实际意义；

（2）试根据假设写出函数应满足的条件和具有的性质；（至少3条）

（3）设，现有a（a＞0）个单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由

20．已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．

21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x＝4交于点P．记PA、PF、BN的斜率分别为k1、k2、k3，是否为定值？并说明理由

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．

（Ⅰ）求圆C的参数方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求弦长|AB|

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知m≥0，函数的最大值为4，

（I）求实数m的值；

（Ⅱ）若实数a，b，c满足，求的最小值

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试

理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13．  14．  15．2 16．

三、解答题

17．（1）在三角形BCD中，因为，，．

由正弦定理，得。

（2）因为，，所以，

所以，又，所以，

所以，又，

所以，因为，所以

18．（1）设数列的公比为q，由已知得，解得q＝2或q＝－1，

当时，由，可知，所以．

当时，由，可知，所以

所以通项公式是或

（2）由真数大于零可以舍掉，所以

由题意知，

即是以为首项，1为公差的等差数列，设数列前n项和为，

则

⋅∴

19．（1）能。理由如下

设平行四边行的两邻边长为x，y，两对角线长分别为m，n，

则有x＋y＝L，由三角形三边关系可知，m＜x＋y＝L，n＜x＋y＝L，又圆的直径为L，所以可以覆盖这个平行四边形。

（2）证明：如图，任意四边形ABCD的各边长分别为a，b，c，d

故，当且仅当∠ABC＝90°时取等。

所以．同理

所以，

当且仅当∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°时取等号。

又，当且仅当a＝b＝c＝d时取等。

20．（1）由已知（x＞0）

在定义域上单调递增，则，即在（0，＋∞）上恒成立，

而，当且仅当x＝1时取等，∴a≥－2．

（2）由第一问知，a＜－2  又，所以．

令的两个根分别为x1，x2，．

令0＜x1＜x2＜1．则在（0，x1）上递增，在[x1，x2]上递减，在（x2，＋∞）递增，所以，

所以

．令，则t∈（0，1），故．

因为，所以，

因为，所以在上时减函数，

， 所以

21．（1）设点A（3，1）在椭圆上的共轭点为（x，y）

则，且，得或．

（2）设直线PQ的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2），

化简得，由得，

，所以，

设A1，A2到直线PQ的距离分别为d1，d2，因为，所以d1＋d2等于A1，A2到直线PQ的距离和，，

所以（），令，

则y＝16－3t在上递减，所以当t＝0时，即m＝0，y取最大值16，

所以，当m＝0时，S的最大值时．

22．（1）∵，∴，

∴圆C的直角坐标方程为，即．

所以圆C的参数方程（θ为参数）．

（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．

由韦达定理有，根据直线参数方程的几何意义可知

23．（1）

∵m≥0，∴，

当x＝1时取等号，∴，又的最大值为4，∴m＋2＝4，即m＝2．

（2）根据柯西不等式得：，

∵，∴

当且仅当，即，，时等号成立．

∴的最小值为．