初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定测试题

2023年北师大版数学八年级下册

《平行四边形性质与判定》解答题专项练习

1.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.

(1)求证：△ABF≌△CDE；

(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小.

2.如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证：△ADE≌△FCE;

(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．

3.如图，已知点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，连接BC，BF，CE.求证：四边形BCEF是平行四边形.

4.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

(1)试说明：AB＝CF；

(2)连接DE，若AD＝2AB.试说明：DE⊥AF．

5.如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．

6.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF.

求证：四边形ADCF是平行四边形．

7.如图，已知在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．

求证：(1)△ACD≌△CBF；

(2)四边形CDEF为平行四边形．

8.如图，在△ABC 中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点 .

(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母 ( 保留作图痕迹，不写作法 ).

① 作∠DAC的平分线 AM ；

② 连接 BE并延长交 AM于点 F ；

③ 连接 FC.

(2) 猜想与证明：猜想四边形 ABCF 的形状，并说明理由 .

9.如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长.

10.已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．

(1)如图①，当AC⊥DE，且 AD＝2时，求线段BC的长度；

(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.

11.如图1，在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

(1)求点B的坐标；

(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

12.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.

(1)试说明AC＝EF；

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．

13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF.

(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；

(2)若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长.

14.在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF.

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长.

15.在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC．

(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．

(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝      ．

16.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连结PE，设点P的运动时间为t秒.

(1)若PE⊥BC，求BQ的长；

(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

答案

1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，

∴∠1＝∠ECB.

∵AF∥CE，

∴∠AFB＝∠ECB，

∴∠AFB＝∠1.

在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE(AAS)；

(2)解：由(1)得∠1＝∠ECB.

∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，

∴∠1＝∠DCE＝65°，

∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.

2.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠D＝∠ECF，

在Rt△ADE和Rt△FCE中，

∴△ADE≌△FCE(ASA)；

(2)∵△ADE≌△FCE，

∴AD＝FC，

∵AD＝BC，AB＝2BC，

∴AB＝FB，

∴∠BAF＝∠F＝36°，

∴∠B＝180°－2×36°＝108°.

3.证明：∵AB∥DE，

∴∠A＝∠D，

∵AF＝CD，

∴AC＝DF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF，

∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，

∴BC∥EF，

∴四边形BCEF是平行四边形.

4.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠ABE＝∠FCE，

∵E为BC中点，

∴BE＝CE，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE(ASA)，

∴AB＝FC；

(2)∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，

∴AD＝DF，

∵△ABE≌△FCE，

∴AE＝EF，

∴DE⊥AF．

5.解：四边形ADEF为平行四边形．证明如下：

∵点D，E分别是边BC，AC的中点，

∴DE∥BF，DE＝AB.

∵AF＝AB，

∴DE＝AF，

∵DE//AF

∴四边形ADEF是平行四边形．

6.证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠EBD． 

在△AEF和△DEB中

∵，

∴△AEF≌△DEB(AAS)．

∴AF＝BD．

∴AF＝DC．

又∵AF∥BC，

∴四边形ADCF为平行四边形．

7.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．

又∵CD＝BF，

∴△ACD≌△CBF．

(2)∵△ACD≌△CBF，

∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．

∵△AED为等边三角形，

∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．

∴FC＝DE．

∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，

∴∠EDB＝∠BCF．

∴ED∥FC．

∵ED//FC，ED＝FC，

∴四边形CDEF为平行四边形.

8.解：( 1 )如图所示：

(2)四边形 ABCF 是平行四边形.理由如下：

∵ AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∴∠DAC＝∠ABC ＋∠ACB＝2∠ACB.

由作图可知∠DAC＝2∠FAC，

∴∠ACB＝∠FAC.

∴ AF∥BC.

∵ 点 E 是 AC 的中点，

∴ AE＝CE.

在△AEF 和△CEB 中 ，∠FAE＝∠ECB， AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，

∴△AEF ≌△CEB ( ASA )，

∴ AF＝BC.

又 ∵ AF∥BC，

∴ 四边形 ABCF 是平行四边形.

9.证明：(1)∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，

∴AE∥BD，

∵∠ADE＝∠BAD，

∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形；

(2)解：∵DA平分∠BDE，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD＝5，

设BF＝x，

则52﹣x2＝62﹣(5﹣x)2，解得，x＝1.4，

∴AF＝4.8，

∴AC＝2AF＝9.6.

10.解：(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AC⊥DE，AD＝2，

∴BC＝AC，DE＝AD＝2，DF＝DE＝1，AF＝CF，

∴AF＝＝，

∴AC＝2AF＝2，∴BC＝2；

(2)证明：连接CE，FG，如图所示：

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠AED＝60°，

∴∠ADB＝120°，∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，

∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝60°，

∵CD⊥BE，

∴∠DCE＝30°，

∴DE＝CE，

∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，

∴FG∥BD，FG＝BD，

∴FG∥DE，FG＝DE，

∴四边形DFGE是平行四边形，

∴DF＝EG.

11.解：(1)∵在△OAB中，∠OAB＝90º，∠AOB＝30º，OB＝8，

∴OA＝4，AB＝4.

∴点B的坐标为(4，4).

(2)∵∠OAB＝90º，

∴AB⊥x轴，

∴AB∥EC.

又∵△OBC是等边三角形，

∴OC＝OB＝8.

又∵D是OB的中点，即AD是Rt△OAB斜边上的中线，

∴AD＝OD，

∴∠OAD＝∠AOD＝30º，

∴OE＝4.

∴EC＝OC－OE＝4.

∴AB＝EC.

∴四边形ABCE是平行四边形.

(3)设OG＝x，则由折叠对称的性质，得GA＝GC＝8－x. 

在Rt△OAG中，由勾股定理，得GA2=OA2+OG2，

即，解得，x＝1.

∴OG的长为1.

12.解：(1)∵△AEB是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF＝∠AEB＝30°＝∠BAC，AE＝AB，∠EFA＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠EFA＝∠ACB.

∴△AEF≌△BAC(AAS)，

∴AC＝EF；

(2)证明：∵△ACD是等边三角形，

∴AC＝AD，∠DAC＝60°.

由(1)的结论得AC＝EF，

∴AD＝EF.

又∵∠BAC＝30°，

∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.

又∵∠EFA＝90°，

∴EF∥AD，

又∵EF＝AD，

∴四边形ADFE是平行四边形

13.证明：(1)∵点E为CD中点，

∴CE＝DE.

∵EF＝BE，

∴四边形DBCF是平行四边形.

(2)∵四边形DBCF是平行四边形，

∴CF∥AB，DF∥BC.

∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°.

在Rt△FCG中，CF＝6，

∴FG＝CF＝3，CG＝3.

∵DF＝BC＝4，

∴DG＝1.

在Rt△DCG中，CD＝2.

14.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB，

在△DAE和△BCF中，AD＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF.

∴△DAE≌△BCF(SAS)，

∴DE＝BF，

∵AB＝CD，AE＝CF，

∴AB﹣AE＝CD﹣CF，

即DF＝BE，

∵DE＝BF，BE＝DF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

(2)∵AB∥CD，

∴∠DFA＝∠BAF，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠AFD，

∴AD＝DF，

∵四边形DEBF是平行四边形，

∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，

∴AD＝5，

∵AE＝3，DE＝4，

∴AE2＋DE2＝AD2，

∴∠AED＝90°，

∵DE∥BF，

∴∠ABF＝∠AED＝90°，

∴AF＝4.

15.证明：(1)∵DF∥AC，DE∥AB，

∴四边形AFDE是平行四边形．

∴AF＝DE，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠FDB＝∠B∴DF＝BF

∴DE＋DF＝AB＝AC；

 (2)图②中：AC＋DE＝DF．图③中：AC＋DF＝DE．

 (3)当如图①的情况，DF＝AC﹣DE＝6﹣4＝2；

当如图②的情况，DF＝AC＋DE＝6＋4＝10．

16.证明：(1)作AM⊥BC于M，如图所示：

∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，

∴∠C＝45°＝∠B，

∴AB＝AC，

∴BM＝CM，

∴AM＝BC＝5，

∵AD∥BC，

∴∠PAN＝∠C＝45°，

∵PE⊥BC，

∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，

∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，

∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，

∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，

∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，

BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝ ；

(2)存在，t＝4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，

则AP＝BE，

∴t＝10﹣2t＋2，解得：t＝4，

∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4.