第七章 章末综合测试

阶段验收评价（三）  万有引力与宇宙航行

(本试卷满分：100分)

一、单项选择题(本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法正确的是        (　　)

A．开普勒测出了引力常量

B．牛顿第一定律能通过现代的实验手段直接验证

C．卡文迪什发现地月间的引力满足距离平方反比规律

D．伽利略将实验和逻辑推理和谐地结合起来，发展了科学的思维方式和研究方法

解析：选D　卡文迪什测出了引力常量，故A错误；牛顿第一定律不是实验定律，不能通过现代的实验手段直接验证，故B错误；牛顿发现地月间的引力满足距离平方反比规律，故C错误；伽利略将实验和逻辑推理和谐地结合起来，发展了科学的思维方式和研究方法，故D正确。

2．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化。若认为冬至这天地球离太阳最近，夏至最远。则下列关于地球在这两天绕太阳公转时速度大小的说法中正确的是                                                                                 (　　)

A．地球公转速度是不变的

B．冬至这天地球公转速度大

C．夏至这天地球公转速度大

D．无法确定

解析：选B　冬至这天地球与太阳的连线短，夏至长。根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过相等的面积，则在相等的时间内，冬至时地球运动的路径要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至时的速度大，故B正确。

3．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是                                                                 (　　)

A．周期　　　　　　 B．角速度

C．线速度   D．向心加速度

解析：选A　设卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则得G＝mr＝mω2r＝m＝ma，得T＝2π ，ω＝ ，v＝ ，a＝，由此可知，卫星的轨道半径越大，周期越大，而角速度、线速度和向心加速度越小，“高分五号”的轨道半径比“高分四号”的小，所以“高分五号”较小的是周期，较大的是角速度、线速度和向心加速度，故A正确。

4．如果我们能测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常量G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列结论正确的是                                                                                                                (　　)

A．M＝   B．M＝

C．M＝   D．M＝

解析：选A　月球表面物体的重力等于万有引力，有＝mg，解得M＝，故A正确，B错误；因为周期T是月球绕地球转动的周期，所以不能利用周期T计算月球的质量，故C、D错误。

5．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为                                  (　　)

A．1 h   B．4 h

C．8 h   D．16 h

解析：选B　地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也变小，由G＝mr可得T＝ ，则卫星离地球的高度应变小，当卫星离地球的高度最小时，要实现三颗卫星覆盖赤道的目的，由几何关系可作出卫星与地球的位置关系如图所示。由几何关系得，卫星的轨道半径r＝2R，根据开普勒第三定律＝，变化前同步卫星的周期T1＝24 h，轨道半径r1＝6.6R，即＝，解得T≈4 h，故B正确。

6．2021年4月24日为第六个中国航天日。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 360 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　 )

A．a2＞a1＞a3   B．a3＞a2＞a1

C．a3＞a1＞a2   D．a1＞a2＞a3

解析：选D　卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，可得a2＞a3，因此a1＞a2＞a3，故D正确，A、B、C错误。

7．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图1所示。该行星与地球的公转半径比为

             (　　)

 A．   B．                图1

 C．   D．     

解析：选B　由题意知每过N年地球比行星多运动一周，即－＝1，再结合开普勒第三定律＝C，有＝＝，故B正确。

8．人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动，卫星乙是地球同步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲轨道半径的倍，某时刻两卫星和地心在同一直线上，且 乙在甲的正上方(称为相遇)，如图2所示。在这以后，甲运动8周的时间内，它们相遇了                                                                (　　)

图2

A．4次　　　　　　　 B．3次

 C．2次   D．1次

解析：选B　由于两卫星只能在题图所示位置或由题图所示位置转过半圈的位置才能相遇，故由T＝2π∝知T乙＝5T甲，当乙运动0.5圈、1圈、1.5圈时，甲刚好运动了2.5圈、5圈、7.5圈，即甲运动8圈时间内二者相遇3次。

9．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为                                                   (　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选B　在忽略行星自转的情况下，万有引力等于重力，故有N＝mg＝G，G＝m，解得M＝，故B正确。

二、多项选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

10．“火星冲日”现象是指火星运行至距离地球最近的位置，火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍，则下列说法正确的是                                                                (　　 )

A．地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3

B．地球与火星的公转线速度大小之比为∶2

C．地球与火星的公转周期之比为∶

D．地球与火星的向心加速度大小之比为∶

解析：选BC　根据G＝m＝mω2r＝m＝ma，解得ω＝ ，则地球与火星的公转角速度大小之比为，故A错误；v＝ ，则地球与火星的公转线速度大小之比为，故B正确；T＝2π，则地球与火星的公转周期之比为∶，故C正确；a＝，则地球与火星的向心加速度大小之比为9∶4，故D错误。

11．探月工程中，嫦娥四号探测器的发射可以简化如下：探测器由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，探测器将在M点着陆月球表面，下列说法正确的是                (　　)

图3

A．嫦娥四号在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小

B．嫦娥四号在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大

C. 嫦娥四号在轨道1上运动周期比在轨道2上小

D．嫦娥四号在轨道1上经过Q点时的加速度小于在轨道2上经过Q点时的加速度

解析：选AB　月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，“嫦娥四号”在轨道1上的运动半径大于月球半径，根据＝m，得线速度v＝ ，可知“嫦娥四号”在轨道1上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故A正确。“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过P点若要进入轨道1，需减速，因此其在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大，故B正确。 根据开普勒第三定律得“嫦娥四号”在轨道2上运动轨道的半长轴比在轨道1上轨道半径小，所以“嫦娥四号”在轨道1上运动周期比在轨道2上大，故C错误。“嫦娥四号”无论在哪个轨道上经过Q点时的加速度都为该点的万有引力产生的，因为都是同一位置，所以万有引力在此产生的加速度相等，故D错误。

12．如图4所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是                                                 (　　)

A．轨道半径越大，周期越长

B．轨道半径越大，速度越大

C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度                        图4

解析：选AC　据＝mR，可得T＝2π ，可知半径越大，则周期越长，故A正确；据＝m，可得v＝ ，可知轨道半径越大，速度越小，故B错误；若测得周期，则有M＝，其中R是P的轨道半径；若测得张角θ，则该星球半径为r＝Rsin，所以M＝ρV＝πr3ρ＝π3ρ，则ρ＝，故C正确，而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球密度，故D错误。

13．2020年7月23日，我国首次火星探测任务天问一号由长征五号遥四运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空。若探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比约为1∶2，密度之比约为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的  是                                                                                                                        (　　)

A．g′∶g＝4∶1　　　 B．g′∶g＝5∶14

C．v′∶v＝   D．v′∶v＝

解析：选BC　在星球表面的物体受到的重力等于万有引力，G＝mg，g＝＝G·＝πGρR，所以＝·＝×＝，故A错误，B正确；探测器绕地球表面运行和绕火星表面运行都是由万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律有G＝m，得v＝ 　①，M为中心天体质量，R为中心天体半径，则M＝ρ·πR3　②，由①②得v＝ ，已知火星和地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，所以探测器绕火星表面运行和绕地球表面运行线速度大小之比为＝ ＝＝ ，故C正确，D错误。

14．两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆轨道的半径与椭圆轨道的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图5所示，下列说法中正确的是                                                           (　　)

图5

A．两卫星在图示位置的速度v1＝v2

B．两卫星在A处的加速度大小相等

C．两颗卫星在A点或B点处可能相遇

D．两卫星永远不可能相遇

解析：选BD　v2为椭圆轨道的远地点处的速度，速度最小，v1表示做匀速圆周运动的速度，v1>v2，故A错误；两个轨道上的卫星运动到A点时，所受的万有引力产生加速度a＝，加速度相同，故B正确；椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，则不会相遇，故D正确，C错误。

三、非选择题(本题共4小题，共53分)

15．(11分)学完万有引力定律及航天的知识后，两位同学在探究学习时，一位同学设想可以发射一颗周期为1 h的人造环月卫星，而另一位同学表示不可能有这种卫星。这两位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他们记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，地球半径约为6.4×103 km，地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2。经过推理，他们认定不可能有周期为1 h的人造环月卫星，试写出他们的论证方案。

解析：对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律有＝mr，解得T＝2π ；当r＝R月时，T有最小值，又＝g月， 所以Tmin＝2π＝2π＝2π ，代入数据解得Tmin≈1.73 h；

环月卫星最小周期为1.73 h，故不可能有周期为1 h的人造环月卫星。

答案：见解析

16．(12分)量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现了卫星和地面     之间的量子通信，成功构建了天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图6所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。                                                                                                  图6

解析：设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力，则有G＝m，又r1＝mR，解得v1＝ ，对同步卫星，根据万有引力提供向心力，则有G＝m′，又r2＝nR，解得v2＝ ，

同步卫星与P点有相同的角速度，则有ω＝＝，

解得v3＝＝ ，

则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为

＝＝ 。

答案：

17．(14分)设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到   围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图7所示。设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，试求：                              图7

(1)月球的质量；                                                

(2)轨道舱的速度和周期。

解析：(1)设月球的质量为M，

则在月球表面G＝mg，

解得月球质量M＝。

(2)设轨道舱的速度为v，周期为T，

则G＝m，

解得v＝R，

由G＝mr，

解得T＝。

答案：(1)　(2)R 　

18．(16分)宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个实验：在离月球表面高度为h处，将一小球以初速度v0水平抛出，水平射程为x。已知月球的半径为R，引力常量为G。不考虑月球自转的影响。求：

(1)月球表面的重力加速度大小g0 ；

(2)月球的质量M；

(3)飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v。

解析：(1)设飞船质量为m，设小球落地时间为t，根据平抛运动规律，

水平方向：x＝v0t，

竖直方向：h＝g0t2，

解得：g0＝。

(2)在月球表面忽略月球自转时，有＝mg0

解得月球质量 M＝。

(3)由万有引力定律和牛顿第二定律得＝m，

解得 v＝。

答案：(1)　(2)　(3)