第八章 章末综合测试2

课时跟踪检测（二十）  动能定理和机械能守恒定律的应用

组—重基础·体现综合

1．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为                                                                   (　　)

A．－4 000 J　　　　　　 B．－3 800 J

C．－5 000 J   D．－4 200 J

解析：选B　下坡过程中，重力做功WG＝mgh＝100×10×8 J＝8 000 J，支持力不做功，阻力做功为W，由动能定理得WG＋W＝mvt2－mv02，代入数据解得W＝－3 800 J，故B正确。　

2．如图1所示，质量为M的电梯在地板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则                              (　　)

A．地板对物体的支持力做的功等于mv2         图1

B．地板对物体的支持力做的功等于mgH

C．钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgH

D．合力对电梯做的功等于Mv2

解析：选D　对物体由动能定理得WFN－mgH＝mv2，故WFN＝mgH＋mv2，故A、B错误；钢索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，故C错误；由动能定理知，合力对电梯做的功应等于电梯动能的变化量Mv2，故D正确。

3．如图2所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为2m的小球B(A、B均可视为质点)，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为(　　)

 A．   B．        图2

 C.    D．0

解析：选B　对弹簧和小球A，根据机械能守恒定律得小球A下降h高度时弹簧的弹性势能Ep＝mgh；对弹簧和小球B，当小球B下降h高度时，根据机械能守恒定律有Ep＋×2mv2＝2mgh；解得小球B下降h时的速度v＝，故B正确。

4．如图3所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0抛出，不计空气阻力，以水平地面为零势能面，则当它到达B点时的机械能为                          (　　)

 A．mv02＋mgh   B．mv02＋mgH    图3

 C．mgH－mgh   D．mv02＋mg(H－h)

解析：选B　抛出的物体在不计空气阻力的情况下满足机械能守恒，因此物体在B点时的机械能等于A点时的机械能，选地面为零势能面，则物体在A、B点机械能都是mv02＋mgH，故B正确。

5．如图4所示，在竖直面内固定一光滑的硬质杆ab，杆与水平面的夹角为θ，在杆的上端a处套一质量为m的圆环，圆环上系一轻弹簧，弹簧的另一端固定在与a处在同一水平线上的O点，O、b两点处在同一竖直线上。由静止释放圆环后，圆环沿杆从a运动到b，在圆环运动的整个过程中，弹簧一直处于伸长状态，则下列说法正确的是                            (　　)       图4

 A．圆环的机械能保持不变

 B．弹簧对圆环一直做负功

 C．弹簧的弹性势能逐渐增大

 D．圆环和弹簧组成的系统机械能守恒

解析：选D　由几何关系可知，当圆环与O点的连线与杆垂直时，弹    簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小。在圆环从a到C的过程中弹簧对圆环做正功，而从C到b的过程中弹簧对圆环做负功，圆环的机械能是变化的，故A、B错误；当圆环与O点的连线与杆垂直时，弹簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故C错误；在整个过程中只有重力和弹簧的弹力做功，圆环和弹簧组成的系统机械能守恒，故D正确。

6．如图5所示，用平行于斜面的推力F，使质量为m的物体从倾角为θ  的光滑斜面的底端，由静止向顶端做匀加速运动。当物体运动到斜面中点时，撤去推力，物体刚好能到达顶端，则推力F为(　　)        图5

A．2mgsin θ   B．mg(1－sin θ)

C．2mgcos θ   D．2mg(1＋sin θ)

解析：选A　设斜面的长度为2L，对全过程，由动能定理可得FL－mgsin θ·2L＝0，解得F＝2mgsin θ，故A正确。

7．如图6所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点。下列说法中正确的是(　　)

 A．小球从A到B过程与从B到A过程，时间相等                     图6

 B．小球从A到B过程与从B到A过程，动能变化量的大小相等

 C．小球从A到C过程与从C到B过程，时间相等

 D．小球从A到C过程与从C到B过程，动能变化量的大小相等

解析：选D　因斜面粗糙，小球在运动中机械能不断减小，可知小球回到A点的速度小于v0，再由匀变速直线运动中＝可知小球在从A运动到B的过程中平均速度大于小球从B返回A的过程中的平均速度，而两过程中位移大小相同，故运动时间不等，故A错误。由动能定理可知小球动能的变化量等于合外力所做的功，两过程位移大小相同，而从A到B过程中合力FAB＝mgsin θ＋f大于返回时合力FBA＝mgsin θ－f，故小球从A运动到B的过程中合外力做功多，动能变化大，故B错误。小球从A到C过程中最小速度等于小球从C到B过程中的最大速度，因为小球从A到C与从C到B的两过程中位移大小是相等的，所以运动时间不等，故C错误。小球在从A到C过程与从C到B过程中所受合力相等，由动能定理可知动能变化量的大小相等，故D正确。

8．如图7所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则                                                                           (　　)

图7

A．hA＝hB＝hC   B．hA＝hB<hC

C．hA＝hB>hC   D．hA＝hC>hB

解析：选D　A球和C球上升到最高点时速度均为0，而B球上升到最高点时仍有水平方向的速度，即仍有动能。对A、C球由机械能守恒得mgh＝mv02，得h＝。对B球，mgh′＋mv2＝mv02，得h′＝<h，故D正确。

9．如图8所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。求：

(1)小球到达B点时的速率；          图8

(2)若不计空气阻力，则初速度v0；

(3)若空气阻力不能忽略，则初速度需变为v0′＝3 时才可以恰好到达最高点B，则小球从A到B的过程中克服空气阻力做的功。

解析：(1)小球恰能到达最高点B，则在最高点有mg＝，小球到达B点时的速率v＝ 。

(2)从A至B的过程，由机械能守恒定律得

－mg＝mv2－mv02，

解得v0＝ 。

(3)空气阻力是变力，设小球从A到B的过程中克服空气阻力做功为Wf，由动能定理得

－mg－Wf＝mv2－mv0′2，

解得Wf＝mgL。

答案：(1) 　(2) 　(3)mgL

组—重应用·体现创新

10．如图9所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、  B的质量都为m。开始时细绳伸直，用手托着物体A，使弹簧处于原长且A离地面的高度为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是                                                     (　　)

A．弹簧的劲度系数为         图9

B．此时弹簧的弹性势能等于mgh＋mv2

C．此时物体B的速度大小也为v

D．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上

解析：选A　由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力大小，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝，故A正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mv2＋Ep，弹簧的弹性势能Ep＝mgh－mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力，此时B的速度恰好为0，故C错误；根据牛顿第二定律，对A有F－mg＝ma，F＝mg，得a＝0，故D错误。

11．如图10所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是                                            (　　)

图10

A．整个下滑过程中A球机械能守恒

B．整个下滑过程中轻杆没有作用力

C．整个下滑过程中A球机械能的减少量为 J

D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J

解析：选C　A、B两球均在斜面上滑动的过程中，设轻杆的作用力大小为F。根据牛顿第二定律，对整体有(mA＋mB)gsin 30°＝(mA＋mB)a，对B有F＋mBgsin 30°＝mBa。联立解得F＝0，即在斜面上滑动的过程中，只有重力对A球做功，所以A球在B球到地面之前，在斜面上运动时机械能守恒。在斜面上下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，得mAg(h＋Lsin 30°)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s。在斜面上下滑的整个过程中B球机械能的增加量为ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J。根据系统的机械能守恒知，A球机械能的增加量为ΔEA＝－ΔEB＝－ J，分析可知A在斜面上、B在水平面上运动过程中轻杆有作用力，故A、B、D错误，C正确。

12．如图11所示，弯曲斜面与半径为R的竖直半圆组成光滑轨道，一个质量为m的小球从高度为4R的A点由静止释放，经过半圆的最高点D后做平抛运动落在水平面的E点，忽略空气阻力(重力加速度为g)，求：

图11

(1)小球在D点时的速度vD；

(2)小球落地点E离半圆轨道最低点B的位移x；

(3)小球经过半圆轨道的C点(C点与圆心O在同一水平面)时对轨道的压力大小。

解析：(1)小球从A到D，根据机械能守恒定律可得

mg(4R－2R)＝mvD2，整理可以得到vD＝2。

(2)小球离开D点后做平抛运动，根据平抛运动规律可知：

水平方向有x＝vDt，

竖直方向有2R＝gt2，

整理可以得到x＝4R。

(3)从A到C，根据机械能守恒定律得

mg(4R－R)＝mvC2，

在C点，根据牛顿第二定律FN＝m，

整理可以得到FN＝6mg。

由牛顿第三定律可知，小球经过半圆轨道的C点时对轨道的压力大小为6mg。

答案：(1)2　(2)4R　(3)6mg