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高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课堂教学ppt课件
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这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课堂教学ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了目标认知等内容，欢迎下载使用。
知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式 不等式
(ax+b)(cx+d)>0
(ax+b)(cx+d)<0
知识点二 不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立的情况:ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ; ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ .
[解析]在所给条件下,一元二次方程ax2+bx+c=0不一定有两个负实数根,还可以有两个正实数根,如x2-6x+8=0的两个根是2和4.
(2)一元二次不等式ax2+x+1>0的解集为R的充要条件是a∈R.( )(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两个实数根,则ac<0.( )
知识点三 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系;2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不等式的逐步代换,最后转化到可解的常见不等式上来.2.解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用,同时要结合二次函数的图像求解.(1)三个“二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据,还可以确定参数的值或范围.(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,要注意数形结合、三个“二次”的关系,特别是二次函数的六个基本图像的运用.
3.解一元二次不等式应用题的关键是构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.
探究点一 分式不等式的解法
{x|-13}
[素养小结](1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式(组)或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的形式,然后再用上述方法求解.
例2 (1)如果关于x的不等式ax2+2ax+4>2x2+4x对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )A.{a|22}C.{a|2≤a<6}D.{a|a≥2}
探究点二 不等式恒成立问题
[解析]由题得关于x的不等式(a-2)x2+(2a-4)x+4>0对一切实数x恒成立.当a=2时,4>0恒成立,满足条件;当a≠2时,由题得a-2>0且Δ=(2a-4)2-16(a-2)<0,解得2
[解析]∵不等式x2-4x≥m对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立,∴令y=x2-4x,0≤x≤1,则ymin≥m.∵y=x2-4x图像的对称轴方程为x=2,开口向上,∴当x=1时,y取得最小值-3,则实数m的取值范围是m≤-3.故选A.
变式 (1)[2021·重庆十八中高一月考] 设y=ax2+(1-a)x+a-2,若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
(2)[2021·太原外国语学校高一月考] 已知二次函数y=x2-(a+2)x+4(a∈R),若对于任意x>1,y+a+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
探究点三 一元二次不等式的实际应用
例3 某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种矩形草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带的最大宽度.
变式 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出降低征税率后税收y(万元)与x的关系式;
变式 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(2)要使此项税收在征税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
[素养小结]解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等关系;③解不等式;④回到实际问题.
2.不等式恒成立与能成立问题含参数的一元二次不等式在某区间上恒成立,常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离出参数再去求函数的最值.含参数的一元二次不等式在某区间上能成立,常用的处理方法有:若在给定区间上存在实数x,使 y>A成立,则只需在给定区间上ymax>A;若在给定区间上存在实数x,使 y
(2)若存在x∈{x|2≤x≤3},使不等式2x2-9x+a<0成立,则a的取值范围为 .
3.一元二次不等式的应用题
例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0
[解析] ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0
知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式 不等式
(ax+b)(cx+d)>0
(ax+b)(cx+d)<0
知识点二 不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立的情况:ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ; ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ .
[解析]在所给条件下,一元二次方程ax2+bx+c=0不一定有两个负实数根,还可以有两个正实数根,如x2-6x+8=0的两个根是2和4.
(2)一元二次不等式ax2+x+1>0的解集为R的充要条件是a∈R.( )(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两个实数根,则ac<0.( )
知识点三 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系;2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不等式的逐步代换,最后转化到可解的常见不等式上来.2.解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用,同时要结合二次函数的图像求解.(1)三个“二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据,还可以确定参数的值或范围.(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,要注意数形结合、三个“二次”的关系,特别是二次函数的六个基本图像的运用.
3.解一元二次不等式应用题的关键是构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.
探究点一 分式不等式的解法
{x|-1
[素养小结](1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式(组)或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的形式,然后再用上述方法求解.
例2 (1)如果关于x的不等式ax2+2ax+4>2x2+4x对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )A.{a|2
探究点二 不等式恒成立问题
[解析]由题得关于x的不等式(a-2)x2+(2a-4)x+4>0对一切实数x恒成立.当a=2时,4>0恒成立,满足条件;当a≠2时,由题得a-2>0且Δ=(2a-4)2-16(a-2)<0,解得2
[解析]∵不等式x2-4x≥m对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立,∴令y=x2-4x,0≤x≤1,则ymin≥m.∵y=x2-4x图像的对称轴方程为x=2,开口向上,∴当x=1时,y取得最小值-3,则实数m的取值范围是m≤-3.故选A.
变式 (1)[2021·重庆十八中高一月考] 设y=ax2+(1-a)x+a-2,若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
(2)[2021·太原外国语学校高一月考] 已知二次函数y=x2-(a+2)x+4(a∈R),若对于任意x>1,y+a+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
探究点三 一元二次不等式的实际应用
例3 某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种矩形草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带的最大宽度.
变式 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出降低征税率后税收y(万元)与x的关系式;
变式 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(2)要使此项税收在征税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
[素养小结]解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等关系;③解不等式;④回到实际问题.
2.不等式恒成立与能成立问题含参数的一元二次不等式在某区间上恒成立,常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离出参数再去求函数的最值.含参数的一元二次不等式在某区间上能成立,常用的处理方法有:若在给定区间上存在实数x,使 y>A成立,则只需在给定区间上ymax>A;若在给定区间上存在实数x,使 y
(2)若存在x∈{x|2≤x≤3},使不等式2x2-9x+a<0成立,则a的取值范围为 .
3.一元二次不等式的应用题
例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0
[解析] ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0
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