高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教课课件ppt

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知识点　一次函数、指数函数、对数函数增长的比较
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数x0,当x>x0时, x4>2x恒成立.(　　)(2)增长特点是直线上升且增长速度不变的函数是一次函数y=kx+b(k>0).(　　)(3)对数函数y=lg x 的增长特点是随自变量x的增大,函数值增大的速度越来越慢.(　　)(4)自变量每增加一个单位,函数值增长量越大,函数的增长速度越快.(　　)
2.已知函数y=x2,y=2x,y=lg2x的图像如图4-4-13所示,根据图像比较三个函数的函数值在(0,+∞)上的变化情况.
解:三个函数在(0,+∞)上都单调递增,且当x2=2x时,x=2或x=4,所以在(0,2)上,2x>x2>lg2x,在(2,4)上,x2>2x>lg2x,在(4,+∞)上,2x>x2>lg2x.虽然对数函数y=lg2x、幂函数y=x2、指数函数y=2x在区间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,对数函数y=lg2x的增长速度越来越慢,幂函数y=x2、指数函数y=2x的增长速度均越来越快,但当x>4时,总有2x>x2>lg2x.
一次函数、指数函数和对数函数增长的函数模型(1)指数函数增长的函数模型:表达式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>0,且b≠1).当b>1时,增长的特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”;当0(2)对数函数增长的函数模型:表达式为f(x)=mlgax+n(m,n,a为常数,m>0,a>0,且a≠1).当a>1时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”;当0探究点一　增长速度的比较
例1 (1)下列函数中,y随x的增大而增大且增长速度最快的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.y=2021xB.y=x2021C.y=lg2021xD.y=2021x
[解析] (1)对于指数函数y=ax(a>1),y随x的增大而增大,且在指数函数、幂函数、对数函数、一次函数中,指数函数的增长速度最快,故选A.
(2)有一组试验数据如下表所示:下列所给函数模型较适合的是(　　)A.y=lgax(a>1)B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0)D.y=lgax+b(a>1)
[解析] (2)通过所给数据可知y随x的增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数模型增长速度越来越慢,B中的函数模型增长速度保持不变,故选C.
变式 (1)三个变量y1,y2,y3随着变量x变化的变化情况如下表:则关于x分别呈对数增长、指数增长、幂增长的变量依次为(　　)A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2
[解析] (1)由表可知,增长速度最快的是y2,其次是y1,最后是y3,所以关于x分别呈对数增长、指数增长、幂增长的变量依次为y3,y2,y1,故选C.
(2)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图4-4-14所示.设两函数的图像交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1f(2021),g(2021),g(8),f(8)
[解析] (2)①当x足够大时,位于上方的图像对应的函数是指数函数f(x)=2x,另一个图像对应的函数就是幂函数g(x)=x3,故C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.②因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2.从图像上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2021)>g(2021),又g(2021)>g(8),所以f(2021)>g(2021)>g(8)>f(8).
[素养小结]三种函数(指数函数、幂函数、对数函数)中,当自变量足够大时,指数函数的函数值最大,但必须是自变量的值大到一定程度,因此判断一个增函数是否为指数型函数时,一般判断当自变量大到一定程度时,自变量增加相同的量,函数值的增长量是否为最大,若是,则这个函数就可能是指数型函数.
拓展 当x足够大时,2021x,x2021,lg2021x的大小关系是　 　　　　　　　. 
[解析] 对于三种函数,当自变量x为某一个足够大的数值时,指数函数的函数值最大,其次是幂函数的函数值,对数函数的函数值是最小的.
2021x>x2021>lg2021x
探究点二　函数实际应用题
例2 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品分别可获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c,如图4-4-15所示.(1)求函数y1=axn,y2=bx+c的解析式.(2)应怎样分配投资资金,才能使投资获得的利润最大?
变式 有甲、乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计算,一个月中30 h 以内(含30 h)90元,超过30 h的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15 h,也不超过40 h.(1)设在甲健身中心活动x h的费用为f(x),在乙健身中心活动x h的费用为g(x),试求f(x)和g(x).(2)选择哪家健身中心比较合算?为什么?
[素养小结]针对不同增长趋势,函数模型的选择方法:(1)增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越大,此时的函数模型是指数函数模型.(3)增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越小,此时的函数模型是对数函数模型.
1.下列函数中,增长速度越来越慢的是(　　)A.y=3xB.y=lg3xC.y=x3D.y=3x
[解析] 易知对数函数增长的速度越来越慢,故选B.
2.当2x2>lg2xB.x2>2x>lg2xC.2x>lg2x>x2D.x2>lg2x>2x
[解析] 方法一:在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=lg2x,y=x2,y=2x的图像(图略),在区间(2,4)上从上往下依次是y=x2,y=2x,y=lg2x的图像,所以x2>2x>lg2x.方法二:可取x=3,经检验易知选B.
[解析] 作出y=f(x),y=g(x),y=h(x)在区间(0,+∞)上的图像(如图所示),由图可知函数f(x)在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢,在区间(1,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;函数g(x)在区间(0,+∞)上递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)在(0,+∞)上的递减速度越来越慢.
4.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足(　　)A.y=a(1+5%x) B.y=a+5%x C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x
[解析] 经过1年,产量y=a(1+5%);经过2年,产量y=a(1+5%)2……经过x年,产量y=a(1+5%)x.