高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制示范课课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制示范课课件ppt，共56页。PPT课件主要包含了目标认知，知识点一任意角，逆时针，顺时针，相同的量，α+β，相反角，坐标轴，轴线角，象限角的集合表示等内容，欢迎下载使用。

角度概念来自美索不达米亚的巴比伦文明.众所周知,两河流域诞生了人类诸多文化遗产,角度就是之一.巴比伦人擅长天文学,他们制定角度的灵感,就来源于长期的天文观测.巴比伦人发现:从春分日到秋分日,太阳划过半个周形成的轨迹,恰好等于180个太阳的直径,受此启发,他们定义圆周为360度,平角为180度.1度就是一个太阳直径所对的角的度数,角度的符号小圈,最早就是代表太阳.此外,定义平角为180度,还与巴比伦人采用60进位法有密切的联系.最终由于180这个数字约数数目多于100或200,在应用上得到了世界范围内的普遍认同.
1.角的概念:平面内一条射线绕着　　　　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2.角的分类 (1)正角:一条射线绕其端点按　　 　　方向旋转形成的角; (2)负角: 一条射线绕其端点按　　 　　方向旋转形成的角; (3)零角:一条射线没有做任何旋转,称它形成了一个零角.零角的始边与终边　　　　. 
3.相等角与相反角: 设角α 由射线OA绕端点O旋转而成,角β 由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向　　　　且旋转量　　　　,那么就称α=β.把射线OA绕端点O按不同方向旋转　 　　　所成的两个角叫作互为相反角.角α 的相反角记为-α. 4.角的加法与减法:设α,β 是任意两个角.我们规定,把角α 的终边旋转角β,这时终边所对应的角是　　　　.角的减法可以转化为角的　　　　,即减去一个角等于加上这个角的　 　　　,也就是α-β=α+　　　　. 
知识点二　象限角和轴线角
象限角:使角的顶点与 　　　　重合,角的始边与　　　　的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 轴线角:如果角的终边在　　 　　上,那么就认为这个角不属于任何一个象限, 叫作　 　　　. 
{α|k·360°<α{α|k·360°+90°<α{α|k·360°+180°<α{α|k·360°-90°<α{α|α=k·360°,k∈Z}
{α|α=180°+k·360°,k∈Z}
{α|α=90°+k·360°,k∈Z}
{α|α=k·360°-90°,k∈Z}
{α|α=k·180°,k∈Z}
{α|α=90°+k·180°,k∈Z}
{α|α=k·90°,k∈Z}
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)大于90°的角都是钝角.(　　)(2)90°角是第一或第二象限角.(　　)(3)第一象限角一定不是负角.(　　)(4)第二象限角大于第一象限角.(　　)(5) -120°角是第三象限角.(　　)(6)角α的终边在直线y=x上,则α是第一象限角.(　　)
知识点三　终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=　　　　　 　　　　,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与　 　　　周角的和. 
{β|β=α+k·360°,k∈Z}
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)与-40°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°-40°,k∈Z}.(　　) (2)终边在第四象限的角的集合可以表示为{α|k·360°-90°<α[解析] (3)因为在-360°~0°范围内,终边在y轴的负半轴上的角为-90°角,所以终边在y轴的负半轴上的角α的集合是{α|α=k·360°-90°,k∈Z}.
(4)若角α是第三象限角,则角α的集合表示为{α|k·360°+180°<α[解析] (4)因为在0°~360°范围内,第三象限角的范围是180°<β<270°,所以由终边相同的角的表示方法知,角α的集合表示为{α|k·360°+180°<α2.终边相同的角相等吗?相等的角终边相同吗?
解:终边相同的角不一定相等,它们可以相差360°的整数倍;相等的角,终边相同.
1.角的概念与分类疑难点(1)列举在0°~360°之间的角时,应注意所有的角在同一平面内,且在终边旋转过程中,角的顶点不动.(2)要注意旋转方向对角的正负的影响.
2.象限角与终边相同角的表示(1)象限角的判断方法有两种:一是根据图形,其依据是终边相同角的思想;二是先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°, k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判定已知角所在的象限.(2)求满足某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依据条件构建不等式求出k的值,k的正确取值是关键.
探究点一　任意角的概念与分类
例1 (1)给出下列结论:①三角形的内角必是第一、二象限角;②始边相同而终边不同的角一定不相等;③将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角为60°;④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确结论的序号为　　　　. 
(2)时间过了2小时30分,则分针转过的角度是　　　　. 
(3)-20°角是按　　　　(填“顺”或“逆”)时针方向旋转　　　　所成的角.体操运动员按逆时针方向转体360°所成的角是　　　　. 
[解析] (3)因为负角是按顺时针方向旋转形成的角,所以-20°角是按顺时针方向旋转20°所成的角.按逆时针方向旋转形成的角是正角,故体操运动员按逆时针方向转体360°所成的角是360°.
[素养小结](1)正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.(2)要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
探究点二　象限角和轴线角的理解及其应用
角度一　象限角、轴线角的判断
[解析] (1)①-75°是第四象限角,正确;②225°是第三象限角,正确;③540°=360°+180°,该角的终边在x轴上,不属于任何象限,错误;④-315°=-360°+45°是第一象限角,正确.故选C.
例2 (1)给出下列四个结论:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③540°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的结论有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1个B.2个C.3个D.4个
(2)若α是第四象限角,则下列角中是第一象限角的是(　　)A.α+180°B.α-180°C.α+270°D.α-270°
[解析] (2)因为α是第四象限角,所以可设α=350°,则α-270°=80°为第一象限角.
(3)终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)A.{α|α=k·360°,k∈Z}B.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}C.{α|α=k·180°,k∈Z}D.{α|α=k·90°,k∈Z}
[解析] (3)终边在x轴上的角的集合为{α|α= k·180°,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为{α|α= k·180°+90°,k∈Z},故终边与坐标轴重合的角α的集合为{α|α= k·90°,k∈Z},故选D.
角度二　用不等式组表示角(区域角)
解:(1)终边落在OA上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};终边落在OB上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
例3 如图5-1-1所示.(1)分别写出终边落在OA,OB上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.图5-1-1
解:(2)由题图可知,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
变式 如图5-1-2,写出终边落在阴影部分的角α的集合(包括边界).
解:{α|45°+180°·k≤α≤90°+180°·k,k∈Z},{α|-150°+360°·k≤α≤120°+360°·k,k∈Z}.
[素养小结]表示区域角的三个步骤第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α第三、四象限或y轴的负半轴
拓展 已知集合A={α|k·180°+30°<α解:如图所示,A∩B中的角的终边落在30°~45°角的终边所在的区域(不含边界)内, ∴A∩B={α|k·360°+30°<α探究点三　终边相同的角的求解
例5 已知角α=2020°.(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<360°;(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角.
解:(1)由2020°除以360°,得商为5,余数为220°,所以取k=5,β=220°,则α=5×360°+220°.又β=220°是第三象限角,所以α为第三象限角.
(2)与2020°角终边相同的角为k·360°+2020°,k∈Z.令-360°≤k·360°+2020°<360°,k∈Z,所以k可取-6,-5,将k的值代入k·360°+2020°中, 得角θ为-140°,220°.(3)由(2)知,与α终边相同的最大负角是-140°,最小正角是220°.
变式 (1)下列各角中与-600°角终边相同的角是(　　)A.60°B.120°C.210°D.240°
[解析] (1)因为-600°=-720°+120°,所以120°与-600°是终边相同的角.故选B.
(2)已知角α,β的终边相同,那么α-β的终边落在(　　)A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上D.y轴的非正半轴上
[解析] (2)由终边相同的角相差k·360°(k∈Z),可知α-β=k·360°(k∈Z),所以α-β的终边落在x轴的非负半轴上.
[素养小结](1)因为任意一个角α均可写成k·360°+α1(0°≤α1<360°,k∈Z)的形式,所以与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合可写成{β|β=k·360°+α1,k∈Z},在运用时需注意以下三点:①k是整数,这个条件不能漏掉;②α1是任意角;③终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.(2)确定终边在某条射线或直线上的角时,应首先确定在0°~360°范围内,终边在该射线或直线上的角的大小,然后用表示终边相同的角的方法表示出来.
1.任意角的概念“旋转”的关键点:①要明确旋转的方向;②要明确旋转量的大小;③要明确射线未作任何旋转时的位置.
例1 (1) 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.60°,720°B.-60°,-720°C.-30°,-360°D.-60°,720°
(2)如图所示,角α,β均是以OA为始边,以OC为终边的角,则α=　 　,β=　 　. 
[解析] (2)由图易知α=-150°,β=210°.
2.终边相同的角、象限角及落在某范围或某象限的角的表示(1)借助于{α|α=β+k·360°,k∈Z},然后调整k的值,使β的终边在所给范围内即可.(2)利用不等式求解此类题型是常见方法,也可直接试探取k=1,0,-1,-2等值,看是否能使角的终边在所给范围内.
例2 已知α=-2020°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角.(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<360°.
3.写出终边在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法:一是分别写出每条终边所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一条终边上找出一个角,然后再加上180°的整数倍.
在0°~360°范围内,终边在射线OA上的角是60°,终边在射线OB上的角是240°(其中点A在第一象限,B在第三象限,O为原点),所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},所以角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=240°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
4.区域角及其表示方法区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角,其写法可分为三步:(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;(2)按由小到大分别标出起始和终止边界分别对应的-360°到360°范围内的角α和β,写出最简集合{x|α例4 (1)如图①所示,顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界)为　 　. (2)若角α的终边落在如图②所示的阴影部分中,则角α的集合为　 　. 
{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}
{α|k·360°-30°<α[解析] (1)因为300°=360°-60°,所以由图可得终边落在阴影部分内的角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)以OA为终边的角为75°+k·360°(k∈Z),以OB为终边的角为k·360°-30°(k∈Z),因此角α的集合可以表示为{α|k·360°-30°<α1.下列说法正确的是(　　)A.小于90°的角是锐角B.钝角是第二象限角C.第二象限角大于第一象限角D.若角α与角β的终边相同,则α=k·180°+β,k∈Z
[解析] 对于A,负角不是锐角,故A错误;对于B,钝角的范围是(90°,180°),所以钝角是第二象限角,故B正确;对于C,第二象限角取91°角,第一象限角取361°角,显然C错误;对于D,若角α与角β的终边相同,则α=k·360°+β,k∈Z,故D错误.故选B.
2.下列角中,终边在y轴非负半轴上的是(　　)A.45° B.90°C.180°D.270°
[解析] 根据角的概念可知,90°角的终边在y轴的非负半轴上,故选B.
3.-200°角是(　　)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
[解析]因为-270°<-200°<-180°,所以-200°角是第二象限角.
4.下列各角中与330°角终边相同的角是(　　)A.510°B.150°C.-150°D.-390°
[解析] -390°=330°-720°,所以与330°角终边相同的角是-390°,故选D.