高中数学3.1 函数的概念及其表示教学课件ppt

这是一份高中数学3.1 函数的概念及其表示教学课件ppt，共53页。PPT课件主要包含了目标认知，非空的实数集，任意一个数x，唯一确定的数y，fA→B，yfxx∈A，取值范围A，fxx∈A，知识点二区间表示，知识点三同一个函数等内容，欢迎下载使用。

函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分.笛卡尔(Descartes,法,1596~1650)在1637年出版的《几何学》中第一次涉及变量,同时也引入了函数思想,所以人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功于笛卡尔,他确实让用代数关系式表示变化的量间的关系(主要是曲线)的方法逐渐流行起来了.尽管描绘曲线方程的解析几何的方法在当时已经出现,但至少到17世纪上半叶,纯粹的函数概念并没有被提出来.
1667年数学家格列哥里(J.Gregry,英,1638~1675)第一次扩张了函数概念,认为“它是由其他的一些量经过一系列代数运算而得到的,或者经过其他可以想象的运算而得到的.”这一定义被认为是解析的函数定义之始.汉语中的“函数”是1859年清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力在翻译《代微积拾级》一书时所采用的翻译名词,这种用法我国和日本一直沿用至今.20世纪初,集合论的思想和方法就开始深入到数学的各个领域,用集合论的语言重新叙述了函数的定义.
知识点一　函数的有关概念
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f:A→B,其定义域就是集合A.(　　)(2)对于函数f:A→B,其值域就是集合B.(　　)
[解析] (1)由定义可知其定义域就是集合A.
[解析] (2)由定义可知值域是集合B的子集.
(3) 根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)(4)函数的定义域和值域一定是无限集.(　　)(5)函数y=1+x2的值域为(1,+∞).(　　)
[解析] (3)根据函数的定义,对于定义域中的任意一个数x,在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
[解析] (4)函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1.
[解析] (5)y=1+x2的值域为[1,+∞).
2.如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗?
解:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系可能为f(x)=x2或f(x)=|x|.
1.函数的三要素:　　　 　、　　　 　　和　　　　. 2.如果两个函数的　　 　　　　,并且　　 　　　　　　,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 
【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗?
解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如y=x+1与y=x-1,两个函数的定义域和值域均为实数集R,但这两个函数不是同一个函数,因为对应关系不同.
知识点四　常见函数的定义域、值域
(-∞,0)∪(0,+∞)
1.理解函数的概念应关注五点(1)“A,B是非空的实数集”,一方面强调了A,B只能是实数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说定义域为空集的函数是不存在的.(2)理解函数的概念时要注意,函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.
(3)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,按照某种确定的对应关系,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.(4)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式.(5)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.
2.同一个函数两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才是同一个函数.根据它们之间的关系,判断两个函数是否为同一个函数,主要看它们的定义域和对应关系是否相同,因为只要定义域相同、对应关系相同,则值域就相同.
探究点一　函数概念的理解
例1 (1)[2021·海口四中高一期中] 设集合M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系的是(　　)　　　 A B C D图3-1-1
[解析] (1)A中,因为当0[解析] (2)对于A选项,集合A中的每一个数在集合B中都有唯一的数与它对应,能够构成从集合A到集合B的函数;对于B选项,集合A中的每一个数在集合B中都有唯一的数与它对应,能够构成从集合A到集合B的函数;
对于C选项,集合A中的每一个数在集合B中都有唯一的数与它对应,能够构成从集合A到集合B的函数;对于D选项,集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应,不能构成从集合A到集合B的函数.故选ABC.
[素养小结]1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法
探究点二　函数的定义域
[素养小结]求函数的定义域应关注四点:(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般是:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0.(2)不对解析式化简变形,以免定义域变化.(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.(4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
(2)[2021·江西奉新一中高一月考] 已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x2)的定义域是(　　)A.[-1,4]B.[0,16]C.[-2,2]D.[1,4]
[解析] (2)∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x≤3,∴-1≤x+1≤4,即函数y=f(x)的定义域是[-1,4].令-1≤x2≤4,∵x2≥0,∴0≤x2≤4,解得-2≤x≤2,∴y=f(x2)的定义域是[-2,2].故选C.
探究点三　求函数值与简单函数的值域
[素养小结]求函数值域时,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法,常用方法如下:(1)观察法:对于一些比较简单的函数, 通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
探究点四　同一个函数的判定
解:(1)不是同一个函数.虽然两个函数的对应关系相同,但是前者的定义域为(0,20),后者的定义域为R.(2)是同一个函数,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数.
[素养小结]判断两个函数是否为同一个函数时应注意的三点:(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
1.整体法根据函数解析式或实际问题求出函数的自变量的取值范围.
例1 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],要使函数y=f(x-a)+f(x+a)有定义,则a的取值范围为  　. 
2.代入法 根据函数的定义域结合函数的对应关系求出函数的值域.
例2 求函数y=2x+1,x∈{1,2,3,4}的值域.
解:当x=1时,y=3;当x=2时,y=5;当x=3时,y=7;当x=4时,y=9.所以函数y=2x+1,x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}.
3.函数建模法在日常生活、生产中,函数就在我们身边,它的应用是非常广泛的,解题时,应弄清题意,将实际问题中内在的、本质的联系抽象转化为数学问题,进而建立函数模型,最后通过对数学问题的求解来解决实际问题.
1.下列关于函数y=f(x)的说法正确的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 ①y是x的函数;②x是y的函数;③对于不同的x,y也不同;④f(a)表示x=a时,f(x)的函数值是一个常数.A.①④B.②③C.①③D.②④
[解析] 易知①正确,②错误;根据函数的定义知,对于不同的x,y可以相同,例如f(x)=1,故③错误.故选A.
[解析] ①②③中函数的定义域均为R,而④中函数的定义域为{x|x≠0},故选A.
4.如图3-1-2所示的四个图形中,是函数图像的是(　　)图3-1-2A.① B.①③④C.①②③D.③④
[解析] 由每一个自变量x对应唯一一个y可知,②不是函数图像,①③④是函数图像.