2021年广西北部湾经济区中考数学试卷（教师版）

2021年广西北部湾经济区中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列各数是有理数的是

A.  B.  C.  D. 0

2. 如图是一个几何体的主视图，则该几何体是

A.
B.
C.
D.

3. 如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是

A.
B.
C.
D.

4. 我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是

A. 这一天最低温度是 B. 这一天12时温度最高
C. 最高温比最低温高 D. 0时至8时气温呈下降趋势

6. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，的半径OB为4，于点D，，则OD的长是

A.
B.
C. 2
D. 3

9. 一次函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10. 九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，矩形纸片ABCD，AD：：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为，，连接并延长交线段CD于点G，则的值为

A.
B.
C.
D.

12. 定义一种运算：，则不等式的解集是

A. 或 B.
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 要使分式有意义，则x的取值范围是______．
14. 分解因式：______．
15. 如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为，看楼下荷塘D处的俯角为，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______ 米结果保留根号．
    
     

16. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩百分制小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是______ ．
17. 如图，从一块边长为2，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上阴影部分，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是______ ．
18. 如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的详解式为______ ．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，四边形ABCD中，，，连接AC．
    求证：≌；
    尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为不要求写作法，保留作图痕迹；
    在的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，，求CE的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某水果公司以10元的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量单位：如下：
    
    
    整理数据：

分析数据：

直接写出上述表格中a，b，c的值．
平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
根据中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本结果保留一位小数？






 

23. 【阅读理解】如图，，的面积与的面积相等吗？为什么？
    解：相等在和中，分别作，，垂足分别为E，F．
    ，
    ．
    ，
    四边形AEFD是平行四边形，
    ．
    又，．
    ．
    【类比探究】如图，在正方形ABCD的右侧作等腰，，，连接AE，求的面积．
    解：过点E作于点F，连接AF．
    请将余下的求解步骤补充完整．
    【拓展应用】如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，，连接BD，BF，DF，直接写出的面积．

24. 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
    
    当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数详解式不要求写出自变量x的取值范围；
    在的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
    当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在中，于点D，，，，点E是AD上一动点不与点A，D重合，在内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设，连接BE．
    当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；
    设的面积为，矩形EFGH的面积为，令，求y关于x的函数详解式不要求写出自变量x的取值范围；
    如图，点是中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由．

26. 如图，已知AD，EF是的直径，，与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，．
    求证：CD是的切线；
    若，求的值；
    在的条件下，若的平分线BH交CO于点H，连接AH交于点N，求的值．

答案和详解

1.【答案】D
 

【详解】解：0是有理数．
故选：D．
根据有理数的定义，可得答案．
本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小数．
2.【答案】C
 

【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是．
故选：C．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为上下两个梯形，易判断该几何体是上下两个圆台组成．
本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．
3.【答案】B
 

【详解】解：画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，
所以恰好在C出口出来的概率为，
故选：B．
画树状图，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
4.【答案】C
 

【详解】解：，
故选：C．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
5.【答案】A
 

【详解】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是，最低气温是，从0时至4时，这天的气温在逐渐降低，从4时至8时，这天的气温在逐渐升高，
故A正确，B，D错误；
这一天中最高气温与最低气温的差为，
故C错误；
故选：A．
根据该市一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
本题考查了函数的图象，认真观察函数的图象，从图象中得到必要的信息是解决问题的关键．
6.【答案】A
 

【详解】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法除法运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】B
 

【详解】解：点关于中心对称的点的坐标为．
故选：B．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
8.【答案】C
 

【详解】解：连接OA，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
故选：C．
连接OA，证明为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
9.【答案】D
 

【详解】解：，图象过一三象限，，图象过第二象限，
直线经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
根据k，b的符号确定一次函数的图象经过的象限．
本题考查一次函数的，的图象性质．需注意x的系数为1，难度不大．
10.【答案】B
 

【详解】解：设共有y人，x辆车，
依题意得：．
故选：B．
设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】A
 

【详解】解：过点F作于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：

由折叠A与对应易知：，
，
，
，即，
又，
∽，
，
故选：A．
过点F作于点H，设AG与EF交于点O，利用两角对应相等求证∽，即可求出的值．
本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出进而利用角进行转化求出∽是解题的关键．
12.【答案】C
 

【详解】解：由新定义得或，
解得或
故选：C．
分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13.【答案】
 

【详解】解：当分母，即时，分式有意义．
故答案为：．
分式有意义，则分母，由此易求x的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
14.【答案】
 

【详解】解：．
故答案为：．
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
15.【答案】
 

【详解】解：由题意可得，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为：
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．
16.【答案】89分
 

【详解】解：小婷的综合成绩为分，
故答案为：89分．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
17.【答案】
 

【详解】解：连接AC、AE，如图，
四边形ABCD为菱形，
，，
为等边三角形，
圆弧与BC相切于E，
，
，
，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得，解得，
即圆锥的底面圆半径为．
故答案为．
连接AC、AE，如图，利用菱形的性质得到，，则可判断为等边三角形，再根据切线的性质得，所以，利用勾股定理计算出，设圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，所以，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质和圆锥的计算．
18.【答案】
 

【详解】解：过C、D作x轴平行线，作B关于直线的对称点，过作，且，连接AE交直线于，过作，交直线于，如图：

作图可知：四边形和四边形是平行四边形，
，，且，，
且，
四边形是平行四边形，
，
关于直线的对称点，
，
，
，即此时转化到一条直线上，最小，最小值为AE的长度，
而AB、CD为定值，
此时四边形的周长最小，
关于直线的对称点，
，
四边形是平行四边形，，，
，
设直线AE详解式为，则，
解得，
直线AE详解式为，
令得，
，
，
，
即将抛物线向右移个单位后，四边形的周长最小，
此时抛物线为，
故答案为：．
过C、D作x轴平行线，作B关于直线的对称点，过作，且，连接AE交直线于，过作，交直线于，四边形和四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，可证，最小，最小值为AE的长度，故此时四边形的周长最小，求出，，可得直线AE详解式为，从而，，故将抛物线向右移个单位后，四边形的周长最小，即可得到答案．
本题考查二次函数背景下的平移、对称变换，解题的关键是作出图形，求到的坐标．
19.【答案】解：原式

．
 

【详解】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
 

【详解】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：

解：由知：≌，
四边形ABCD的面积为20，
，
，
，
．
 

【详解】由得，结合，，即可根据AAS证明≌；
以C为圆心，CB为半径作弧，交线段AB延长线于F，分别以B、F为圆心，大于的线段长为半径作弧，两弧交于G、H，连接GH，交AF于E，作直线CE，则CE即为AB的垂线；
由≌，四边形ABCD的面积为20，可得，即可列出，而，即得．
本题考查全等三角形的判定和性质，涉及尺规作图、三角形面积等知识，解题的关键是掌握过一点作已知直线的垂线的方法：即是作线段BF的垂直平分线．
22.【答案】解：，
分析数据：样本中，出现的次数最多；故众数b为，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为，，故中位数，
，，；
选择平均数，
这2000箱荔枝共损坏了千克；
元，
答：该公司销售这批荔枝每千克定为元才不亏本．
 

【详解】根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
求出成本，根据的结果计算即可得到答案．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
23.【答案】解：【类比探究】过点E作于点F，连接AF，
四边形ABCD是正方形，
，，
，，
，，
，
，
；
【拓展应用】如图，连接CF，

四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，
，，
，
，
，
．
 

【详解】【类比探究】由等腰三角形的性质可得，，可证，可得，由三角形的面积公式可求解；
【拓展应用】连接CF，由正方形的性质可得，可得，可得，由三角形的面积公式可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．
24.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，解得：，
抛物线的函数详解式为：；
设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
，
整理得：，
解得：，舍去，
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
：，
当时，运动员到达坡顶，
即，
解得：．
 

【详解】根据题意将点和代入：求出b、c的值即可写出的函数详解式；
设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：，解出m即可；
求出山坡的顶点坐标为，根据题意即，再解出b的取值范围即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
25.【答案】解：设．
，，
，
，
，
，
，
，
四边形EFGH是正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
．

，，
，
，，
，
．

如图中，由可知点P在上，

当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时，
当直线时，的面积最小，
此时，
的面积的最小值．
 

【详解】设证明，构建方程求解即可．
解直角三角形可得，，利用三角形面积公式，矩形的面积公式求解即可．
如图中，由可知点P在上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时，当直线时，的面积最小．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．
26.【答案】证明：四边形OABC是平行四边形，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
连接DF，如图：

是的直径，
，
是的切线，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
解得或舍去，
在中，，
；
延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：

是直径，
，
，
，即，
，，
，，
中，，
，，
且，
，
，
即，
，即，
解得，
平分，，
，
，
，
，
在中，，
而，
且，
∽，
．
 

【详解】由，得，根据EF是的直径，可得，且已知，即可证明，CD是的切线；
连接DF，先证明∽，，由，，得，在中，，即可求出；
延长CO交AF于K，连接MN、MF，由，可得，即，而，，在中，，再证，可得，，根据BH平分，，得，从而，，，在中，，最后证明∽，即可得．
本题考查圆的综合应用，涉及圆切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是观察、构造相似三角形，把所求线段的比转化为两个相似三角形其它边的比，