高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

3.3　幂函数

【课前预习】

知识点一

y=xα　自变量

诊断分析

(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x2不是幂函数.

(2)根据幂函数的定义可知,函数y=-2x+1不是幂函数.

(3)根据幂函数的定义可知,y=x-1是幂函数.

知识点二

{x|x≠0}　[0,+∞)　[0,+∞)　{y|y≠0}　[0,+∞)　奇　偶　奇　奇　非奇非偶　递增　递减　递增　递增　递减　递减　递增　(1,1)

诊断分析

1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)幂函数y=xα只有α>0时,其图像才过点(0,0)和点(1,1).

(2)由幂函数的定义及图像知,当α>0时,幂函数的图像与坐标轴相交于原点,当α<0时,幂函数的图像与坐标轴不相交.

 (3)当0<x<1时,y=的图像位于y=x2的图像的上方.

(4)如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数.

2.解:第一象限一定有幂函数的图像,第四象限一定没有幂函数的图像.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)C　[解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C.

(2)解:∵y=(m2-m-1)为幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,则y=x-3(x≠0);

当m=-1时,m2-2m-3=0,则y=x0(x≠0).

故所求幂函数的解析式为y=x-3(x≠0)或y=x0(x≠0).

变式　(1)B　(2)　　[解析] (1)由幂函数f(x)=xm的图像经过点(4,2)得4m=2,则m=,所以f(x)==,故f(16)==4.故选B.

(2)将点2,的坐标代入f(x)=xα,得2α==2-2,解得α=-2,故f(x) =x-2=.

探究点二

例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)令x=2,则22>>>2-2,故曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为2,,-,-2.故选B.

(2)∵α=-<0,∴函数在(0,+∞)上单调递减,排除A,D,又函数是奇函数,∴排除B.故选C.

变式　(1)①⑤　[解析] 对于幂函数y=,当0<x<1时,其图像在直线y=x的上方和直线y=1的下方,当x>1时,其图像在直线y=1的上方和直线y=x的下方,且图像过点(1,1).故y=的图像经过①⑤两个“区域”.

(2)解:设f(x)=xα,g(x)=xβ.因为()α=2,(-2)β=-,所以α=2,β=-1,所以f(x)=x2,g(x)=x-1.

在同一坐标系中作出它们的图像,如图所示.

由图可知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);

当x=1时,f(x)=g(x);当x∈(0,1)时,f(x)<g(x).

探究点三

例3　(1)①>　②>　(2)A　[解析] (1)①因为幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,且>>0,所以0.3>0.3.

②因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,且-<-<0,所以--1>--1.

(2)因为f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-2<0,所以m=2.故选A.

变式　-2　[解析] ∵函数为幂函数,∴m2+3m+3=1,解得m=-1或m=-2.当m=-1时,幂函数为y=x-4;当m=-2时,幂函数为y=x-3.∵幂函数的图像关于原点对称,∴y=x-3,此时m=-2.

拓展　解:∵函数在(0,+∞)上单调递减,

∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.

∵m∈N*,∴m=1,2.

∵函数图像关于y轴对称,∴m2-2m-3是偶数,

又22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,∴m=1,

则原不等式等价于(a+1)3<(3a-2)3.

∵y=x3在(-∞,+∞)上是增函数,

∴a+1<3a-2,解得a>,

故a的取值范围是,+∞.

【课堂评价】

1.A　[解析] 根据题意,函数y=kxα为幂函数,则k=1,又其图像过点(4,2),所以2=4α,解得α=,则k+α=.故选A.

2.D　[解析] y=x-1的图像不经过点(0,0),故①错误,排除A;当n=0时,y=xn的图像为两条射线,故③错误,排除C;y=x2在定义域上不是增函数,④错误,排除B.故选D.

3.B　[解析] 因为y=x3的定义域为R且为奇函数,故其图像应为①;y=x2的图像为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为②.故选B.

4.ABD　[解析] 由幂函数的概念可知ABD正确.

5.　[解析] ∵幂函数f(x)=xα的图像过点2,,∴2α=,解得α=-1,则f(x)=x-1,故f(3)=3-1=.