数学必修 第一册4.1 指数导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第四章　指数函数与对数函数

4.1　指数

4.1.1　n次方根与分数指数幂

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质

【课前预习】

知识点一

1.n次方根　　(1)一个正数　一个负数　　(2)n为偶数　±(a>0)　负数

2.a　|a|

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)根据n次方根的定义知,任意实数的奇次方根只有1个.

(2)当n为大于1的偶数时,实数a的n次方根有0个或1个或2个.

(3)=|3-π|=π-3.

知识点二

1.

2.(1)　(2)0　(3)没有意义

3.(1)ar+s　(2)ars　(3)arbr

诊断分析

(1)√　(2)×　(3) ×　(4)√　(5)√　(6) √

知识点三

2.(1)ar+s　(2)ars　(3)arbr

【课中探究】

探究点一

例1　(1)±5　　 (2)　(3)[2,+∞)　[解析] (1)∵(±5)2=25,∴25的平方根为±5.-27的5次方根为.

(2)∵x7=6,∴x=.

(3)要使有意义,只需x-2≥0,即x≥2.因此实数x的取值范围是[2,+∞).

探究点二

例2　(1)①　②-3　(2)①π-3　②3-π　(3)①　②3a-1　[解析] (1)①==.②=-3.

(2)①=|3-π|=π-3.②=3-π.

(3)①∵n为偶数,∴当x<π时,x-π<0,=|x-π|=π-x;当x≥π时,x-π≥0,=x-π.综上,=

②=,∵a≥,∴3a-1≥0,∴=3a-1.

变式　解:原式=-=|x-1|-|x+3|,

∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;

当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.

故原式=

探究点三

例3　(1)AC　(2)　(3)　[解析] (1)对于A,-=-(x>0),故A正确;对于B,=(x>0),故B错误;对于C,=(xy>0),故C正确;对于D,=|y,故D错误.故选AC.

(2)原式======.

(3)=.

探究点四

例4　解:(1)===.

(2) 原式=-1-+=.

(3)原式=5×-×-·=.

(4)原式=(-2)·(a3)÷(4)=-=-.

(5)原式=+(-)2-()2=-+-a=-a=.

变式　解:(1)-0.+π0-=-3-+1-3+=-2=.

(2)原式=+-(24+×=-+-8+2=-3.

(3)原式=+--+=--+=0.

(4)∵x-1=()3-1=(-1)(++1),x+1=()3+1=(+1)(-+1),

x-=[()2-1]=(-1)(+1),

∴原式=+-=+-=-1+-+1--=-.

探究点五

例5　(1)①7　②47　 ③8　[解析] (1)①+=3两边平方,得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.

②a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47.

③因为-=()3-()3,所以==a+a-1+1=7+1=8.

(2)解:==,因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,又x<y,所以x-y=-6,所以==-.

变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)x+=4两边平方,得x+2=x2++2=16,即x2+=14,所以原式===,故选C.

(2)∵ab+a-b=2,∴(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8,∴a2b+a-2b=6,∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=6-2=4,又a>1,b>0,∴ab-a-b>0,∴ab-a-b=2.故选D.

【课堂评价】

1.D　[解析] ∵m10=2,∴m是2的10次方根,又10是偶数,∴2的10次方根有两个,且互为相反数,∴m=±.故选D.

2.B　[解析] 一个无理数指数幂对应一个确定的实数,故①不正确;指数幂ax(x>0)中的x是任意大于0的实数,故②不正确;(==32=9,故③正确,故选B.

3.C　[解析] =|1-2x|,∵2x>1,∴1-2x<0,∴|1-2x|=-(1-2x)=2x-1.故选C.

4.BD　[解析] 7=n7m-7,当m=1时,n7=n7m-7,故A不一定成立;==,故B一定成立;当x=y=1时,C不成立;==(==,故D一定成立.故选BD.

5.2+　[解析] (2+×(2-=(2+) [(2+)×(2-)]2021=(2+)×1=2+.