人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.2　指数函数

4.2.1　指数函数的概念

【课前预习】

知识点一

a>0且a≠1　指数函数　R

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)因为2x的系数为-1,所以函数y=-2x不是指数函数.

(2)因为指数不是x,所以函数y=2x-1不是指数函数.

(3)因为底数小于0,所以函数y=(-5)x不是指数函数.

(4)若函数y=ax是指数函数,则a>0,且a≠1.

知识点二

y=kax

【课中探究】

探究点一

例1　(1)①⑥⑦　(2)4　[解析] (1)①y=3x,符合指数函数定义,是指数函数;②y=3x+1,指数不是x,不满足指数函数定义,故不是指数函数;③y=x3,自变量出现在底数的位置,故不是指数函数;④y=(-4)x,自变量出现在指数上, 但-4<0,不满足“底数大于0且不等于1”这个条件,故不是指数函数;⑤y=2×3x,3x的系数为2,故不是指数函数;⑥y=52x=25x,符合指数函数的定义,故是指数函数;⑦y=(2a+1)xa>-,且a≠0,符合指数函数定义,是指数函数.

(2)由y=(a2-5a+5)·ax是指数函数,可得解得a=4.

变式　C　[解析] 依题意得2a-1>0,且2a-1≠1,解得a>,且a≠1,故选C.

探究点二

例2　解:因为f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(2)=e,

所以a2=e,解得a=,

于是f(x)=()x=,

所以f(0)=e0=1,f(1)=,f(-2)=.

变式　(1)D　(2)B　(3)f(x)=3×2x　[解析] (1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1),因为函数的图像经过点-3,,所以a-3=,解得a=3,所以函数的解析式为f(x)=3x,故f(-1)f(2)=3-1×32=3,故选D.

(2)因为函数f(x)= a-3·ax是指数函数,所以a-3=1,a>0,a≠1,解得a=8,所以f(x)=8x,所以f==2.故选B.

(3)f(0)=3,=4,=4,=4,…,=4,以上各式相乘得f(0)×××…×=3×4n,即f(2n)=3×4n,n∈N*,令x=2n,则n=,所以f(x)=3×=3×2x.

探究点三

例3　解:(1)该林区2020年的木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200×(1+5%)(万立方米);经过2年后木材蓄积量为200×(1+5%)+200×(1+5%)×5%=200×(1+5%)2(万立方米).

依次类推,易知经过x年后,该林区的木材蓄积量为200×(1+5%)x万立方米.

所以y=f(x)=200×(1+5%)x,该函数的定义域为N*.

(2)令y=f(x)=200×(1+5%)x=300,得1.05x=1.5,由题知,随着x的增加,y越来越大,又1.058≈1.48,1.059≈1.55,所以当x≥9,x∈N*时,y≥300,故从2029年开始,该林区的木材蓄积量能达到300万立方米.

变式　解:由题意可设每年湖水量是上一年的P%,

则(P%)50=0.9,所以P%=0.,

所以从2020年起,经过x年后,湖水量y与x之间的函数解析式为y=a·0..

【课堂评价】

1.D　[解析] 根据指数函数的定义可知,只有D项正确.

2.C　[解析] 由条件知解得a=-1.

3.D　[解析] 由题得f [f(-1)]=f[2-(-1)]=f(2)=a2=4,又a>0,且a≠1,所以a=2,故选D.

4.C　[解析] 过滤一次后的杂质含量为×1-=×; 过滤两次后的杂质含量为××1-=×2;过滤三次后的杂质含量为×2×1-=×3;…;过滤n次后的杂质含量为×n=×n (n∈N*).

5.③⑤　[解析] ①中,指数式()x的系数不为1,故不是指数函数;②中,y=3x+1=3·3x,3x的系数不为1,故不是指数函数;③中函数满足指数函数定义,故是指数函数;④中底数为x,不满足底数是唯一确定的值,故不是指数函数;⑤中函数可化为y=x,满足指数函数定义;⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值,故不是指数函数.