高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.7　三角函数的应用

【课前预习】

知识点一

(1)振幅　最大距离　(2)　(3)f==　(4)ωx+φ　初相

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为|A|.

(2)y=Asin(ωx-φ)的初相为-φ.

(3)该振子在一个周期内通过的路程为20 cm,所以该振子在2 s内通过的路程为20×=100(cm).

【课中探究】

探究点一

例1　解:列表如下:

s=4sin2t+,t∈[0,+∞)的图像如图中实线部分所示.

(1)将t=0代入s=4sin2t+,

得s=4sin=2,所以小球开始振动时的位移是2 cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.

(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.

变式　解:(1)由题图知A=200,周期T=2×+=,∴ω==200π.

当t=时,I=0,即sin200π×+φ=0,

又|φ|<,∴φ=.故所求的解析式为I=200sin200πt+.

(2)依题意得周期T≤,即≤(ω>0),∴ω≥100π.

探究点二

例2　解:(1)依题意知,周期T==12,故ω=,h==12.2,A=16-12.2=3.8,

所以d=3.8sint+φ+12.2.

当t=4时,d=16,所以sin+φ=1,又|φ|<,

所以φ=-,所以d=3.8sint-+12.2(t≥0).

(2)当t=17时,d=3.8sin-+12.2=3.8sin+12.2≈15.5(m).

故该港口在10月10日17时的水深约为15.5 m.

(3)令3.8sint-+12.2<10.3,则sint-<-,

因此2kπ+<t-<2kπ+(k∈Z),

所以12k+8<t<12k+12,k∈Z.

令k=0,得t∈(8,12);

令k=1,得t∈(20,24).

故该港口在10月10日这一天的水深共有8 h低于10.3 m.

变式1　解:(1)由题意可得,函数P(t)的最小正周期T===.

(2)根据公式f=,可得f=80,即此人每分钟心跳的次数是80.

(3)函数P(t)=115+25sin 160πt的最大值是115+25=140,最小值是115-25=90,

即此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,与标准值相比较偏高一点.

变式2　解:(1)由题意知解得

易知=14-2,所以T=24,所以ω=,

易知8sin×2+φ+6=-2,即sin×2+φ=-1,

又|φ|<π,所以φ=-,

所以y=8sinx-+6(x∈[0,24)).

(2)当x=9时,y=8sin×9-+6=8sin+6<8sin+6=10,

所以届时学校后勤应该开空调.

探究点三

例3　解:(1)如图.

(2)最低气温为1月份21.4 ℃,最高气温为7月份73.0 ℃,

故=7-1=6,所以T=12.

因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,

即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.

(3)因为x=月份-1,

所以不妨取x=2-1=1,y=26.0.

代入①,得=>1≠cos,故①不适合;代入②,得=<0≠cos,故②不适合.所以应选③.

变式　y=-4cost　[解析] 设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则从表中数据可以得到A=4,ω===,由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-,则y=4sint-,即y=-4cost.

【课堂评价】

1.B　[解析] 将t= s代入I=5sin100πt+,得I=2.5 A.

2.A　[解析] 由题意知f(0)=2sin φ=1,sin φ=,又|φ|<,所以φ=,T==12.故选A.

3.C　[解析] 根据图像得函数的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,所以水深的最大值为3+5=8.

4.C　[解析] 令2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,得函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,F(t)的单调递增区间为[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.

5.　[解析] 由A+60=80得A=20,由150πω+=-+2kπ,k∈Z,解得ω=-+,k∈Z,则当k=1时,ω取得最小值.