高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　一元二次不等式的简单应用

【课前预习】

知识点一

(ax+b)(cx+d)>0　(ax+b)(cx+d)<0

诊断分析

(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)≥0⇔解得x>1或x≤0,故不等式的解集为{x|x>1或x≤0}.

(2)因为<0,所以(1-x)(x+1)<0.

(3)由>1得-1=>0,所以x(1-x)>0,解得0<x<1,由2x+1>1-x得x>0.故错误.

知识点二

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)在所给条件下,一元二次方程ax2+bx+c=0不一定有两个负实数根,还可以有两个正实数根,如x2-6x+8=0的两个根是2和4.

(2)若一元二次不等式ax2+x+1>0的解集为R,则解得a>,所以一元二次不等式ax2+x+1>0的解集为R的充要条件是a>.

(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两个实数根,则由根与系数的关系知<0,即ac<0.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)D　(2)D　[解析] (1)因为≤0,所以≥0,则解得x<-3或x≥4,所以不等式≤0的解集是{x|x<-3或x≥4},故选D.

(2)不等式≤1,即-1≤0,所以≤0,所以解得x≥1或x<-1,所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}.故选D.

变式　(1)x<x<　(2){x|-1<x≤2或x>3}　[解析] (1)∵>1,∴-1>0,即>0,等价于(3x-2)(4x-3)<0,∴不等式>1的解集为x<x<.

(2)由≤x得≥0,∴=≥0,又x2+x+1>0,∴解得-1<x≤2或x>3,∴原不等式的解集为{x|-1<x≤2或x>3}.

探究点二

例2　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题得关于x的不等式(a-2)x2+(2a-4)x+4>0对一切实数x恒成立.当a=2时,4>0恒成立,满足条件;

当a≠2时,由题得a-2>0且Δ=(2a-4)2-16(a-2)<0,解得2<a<6.综上所述,2≤a<6.故选C.

(2)∵不等式x2-4x≥m对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立,∴令y=x2-4x,0≤x≤1,则ymin≥m.∵y=x2-4x图像的对称轴方程为x=2,开口向上,∴当x=1时,y取得最小值-3,则实数m的取值范围是m≤-3.故选A.

变式　解:(1)由题意,不等式y≥-2对一切实数x恒成立,即ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立.

当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;

当a≠0时,可得即解得a≥.

故a的取值范围是a≥.

(2)由题意可得,x2-(a+2)x+4+a+1≥0,即≥a对于任意x>1恒成立,令t=x-1(t>0),则x=t+1,令z=,则z==t+≥4,当且仅当t=,即t=2时取等号,所以a≤4.

探究点三

例3　解:设花卉带的宽度为x m,0<x<300,则矩形草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,

根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥×800×600,

整理得x2-700x+600×100≥0,

即(x-600)(x-100)≥0,可得0<x≤100.

故所求花卉带的最大宽度为100 m.

变式　解:(1)降低征税率后的征税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元,

依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0<x<10).

(2)原计划税收为200a×10%=20a(万元).

依题意得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,化简得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2.

因为0<x<10,所以0<x≤2,

故x的取值范围是0<x≤2.

【课堂评价】

1.C　[解析] 由题意,<0等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,所以不等式<0的解集为{x|-2<x<1}.故选C.

2.B　[解析] ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},∴A∩B={x|0<x≤1},故选B.

3.D　[解析] 由题意得Δ=m2-4×<0,即m2-2m<0,解得0<m<2.

4.A　[解析] 设涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则y=(10+x)(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利润有所增加,则y>0,即x2-10x<0,得0<x<10,故a的取值范围为90<a<100.