数学必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

3.1.2　函数的表示法

第1课时　函数的表示法

【课前预习】

知识点

1.数学表达式　表格　图像

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (1)有些函数是不能画出图像的,如f(x)=

(2)函数图像可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.如f(x)=的图像就不是连续的曲线.

(3)两函数的定义域不同,则图像不同.

(4)因为f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.

(5)y=3x-1为一次函数,其图像为一条直线,因为f(x)的定义域为[1,5],所以f(x)的图像为线段.

【课中探究】

探究点一

例1　解:(1)列表法:

(2)图像法:

(3)解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.

变式　C　[解析] 由题意有f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,所以g[f(1)]=g(2)=3,g[f(2)]=g(3)=2,g[f(3)]=g(1)=1.故选C.

探究点二

例2　解:(1)列表:

描点、连线,y=2x+1,x∈[0,2]的图像如图所示.

(2)列表:

描点、连线,y=,x∈[2,+∞)的图像如图所示.

(3)列表:

描点、连线,y=x2+2x,x∈[-2,2]的图像如图所示.

变式　解:(1)该函数的图像由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,部分图像如图①所示,其值域为{…,-2,-1,0,1,2,3,…}.

(2)因为x∈[-1,1],所以这个函数的图像是抛物线y=-x2+x的一部分,如图②所示,由图可知y=-x2+x(-1≤x≤1)的值域为-2,.

(3)因为x∈[-2,0)∪(0,1],所以这个函数的图像是曲线y=的一部分,如图③所示,

由图可知y=(-2≤x≤1且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).

拓展　解:小明从距离学校12千米的图书馆去学校,前6分钟以不变的速度走了2千米,遇到同学交谈了2分钟后加快速度匀速赶往学校,出发后12分钟到达学校.x表示时间(分钟),y表示小明与学校的距离(千米).

探究点三

例3　(1)f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6　(2)f(x)=x2+1　[解析] (1)设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,

于是有解得或

所以f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6.

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由题意得解得故f(x)=x2+1.

变式　(1)x2-2x-1　(2)x+(x≠0)　[解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,则解得故f(x)=x2-2x-1.

(2)设f(x)=kx+,则解得故f(x)=x+(x≠0).

例4　(1)f(x)=x2-1(x≥1)　(2)f(x)=x2-4x+3　[解析] (1)方法一(换元法):令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,

所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),

所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).

方法二(配凑法):f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.

因为+1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).

(2)方法一(换元法):设x+1=t,则x=t-1,t∈R,

所以f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,

即f(x)=x2-4x+3.

方法二(配凑法):因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x+1)2-4(x+1)+3,

所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,

即f(x)=x2-4x+3.

变式　解:(1)令t=+1≥1,则x=(t-1)2,所以f(t)=2(t-1)2+3=2t2-4t+5(t≥1).故f(x)=2x2-4x+5(x≥1).

(2)因为f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以f(x)=2x-1.

例5　(1)f(x)=-+　[解析] 在已知等式中,将x换成可得f+2f(x)=.由消去f可得f(x)=-+.

(2)解:在f(x)=2f·-1中,用代替x,得f=2f(x)·-1.

由消去f得f(x)=+(x>0).

变式　解:(1)在已知等式中,用-x替换x,得af(-x)+f(x)=-bx,

由消去f(-x),得f(x)=,

故f(x)的解析式为f(x)=x.

(2)在已知等式中,用替换x,得f-2f(x)=+2,

由消去f,得f(x)=-x--2,

故f(x)的解析式为f(x)=-x--2(x≠0).

【课堂评价】

1.B　[解析] 因为π2∈R,所以f(π2)=π.

2.C　[解析] 由表可知f(11)=4.

3.D　[解析] 由题图可知,甲超市的利润逐月减少,选项A中结论正确;乙超市的利润在1月至4月间逐月增加,选项B中结论正确;8月份两家超市利润相同,选项C中结论正确;乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市,选项D中结论错误.故选D.

4.A　[解析] 方法一:设t=x-1,则x=t+1.∵f(x-1)=x2+4x-5,∴f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,故f(x)=x2+6x.

方法二:∵f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1),∴f(x)=x2+6x.故选A.

5.x2+4x+3,x≥-1　[解析] 令-1=t,t≥-1,则=t+1,x=(t+1)2,所以f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3,所以f(x)=x2+4x+3,x≥-1.