数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　利用单调性求最值

【课前预习】

知识点一

(1)f(x)≤M　(2)f(x0)=M　(3)f(x)≥M　(4)f(x0)=M　纵坐标　纵坐标

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)若∀x∈I,都有f(x)≤M,并且∃x0∈I,使得f(x0)=M,则M是f(x)的最大值.

(2)一个函数的最小值至多有1个.

(3)依题意知f(x)=x2的最小值为0.

(4)根据函数最大(小)值的定义可知,最小值一定比最大值小.

知识点二

(3)①f(b)　f(a)　②f(a)　f(b)

诊断分析

1.解:当a>0时,f(x)min=;当a<0时,f(x)max=.求二次函数最值的常用方法有公式法、配方法和图像法.

2.解:需要先判断函数f(x)在[-1,3]上的单调性,即确定a的正负,从而判定f(x)何时取得最大值,何时取得最小值.

【课中探究】

探究点一

例1　C　[解析] 由函数f(x)的图像知,当x=-2时,f(x)取得最小值-2;当x=5时,f(x)取得最大值f(5).

变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)由函数f(x)的图像知,当x=-2时,f(x)取得最小值-1;当x=1时,f(x)取得最大值2.

(2)作出函数f(x)=-在[1,+∞)上的图像,如图,由图可知,该函数有最小值无最大值.

例2　解:(1)作出f(x)的图像,如图所示.

由图像可知,当x=2时,f(x)取得最大值2;当x=时,f(x)取得最小值-.

所以f(x)的最大值为2,最小值为-.

(2)当x-2≥0,即x≥2时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=x-2-;

当x-2<0,即x<2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-x-2+.

所以y=

画出该分段函数的图像,如图.

由图像可知,函数y=|x-2|(x+1)在-∞,,[2,+∞)上单调递增;在,2上单调递减.

观察函数图像,可知该函数不存在最大值,也不存在最小值.

探究点二

例3　解:∀x1,x2∈,6,且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)1-,x1-x2<0,x1x2>0.

当≤x1<x2<2时,恒有x1x2<4,

所以1-<0,

所以f(x1)-f(x2)>0,则f(x)在,2上单调递减;

当2≤x1<x2≤6时,恒有x1x2>4,

所以1->0,

所以f(x1)-f(x2)<0,则f(x)在[2,6]上单调递增.

故f(x)的最小值为f(2)=4,

又f=,f(6)=,>,所以f(x)的最大值为f=.

故f(x)min=f(2)=4,f(x)max=f=.

变式　解:(1)证明:∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,

有f(x1)-f(x2)=-==.

∵x1,x2∈(1,+∞),∴x1-1>0,x2-1>0,

又x1<x2,∴x2-x1>0,

则f(x1)-f(x2)=>0,即f(x1)>f(x2),

故f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.

(2)由(1)知,当x∈[3,5]时,函数y=单调递减,

则当x=5时,函数取得最小值.

拓展　解:(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2.由函数f(x)的图像(图略)可知,

当x∈[-1,3)时,f(x)min=f(1)=-2,f(x)max=f(-1)=14.

(2)由已知得f(x)=4x-2-2a+2.

①当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,

所以f(x)min=f(0)=a2-2a+2.

由a2-2a+2=3,解得a=1±,

又a≤0,所以a=1-.

②当0<<2,即0<a<4时,f(x)min=f=-2a+2.

由-2a+2=3,解得a=-,又-∉(0,4),所以舍去.

③当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=a2-10a+18.

由a2-10a+18=3,解得a=5±,

又a≥4,所以a=5+.

综上所述,a=1-或a=5+.

探究点三

例4　解:(1)由题意得f(x)=16w(x)-20x-10x=

(2)当0≤x≤2时,f(x)max=f(2)=420;

当2<x≤5时,f(x)=670-30+(x+1)≤670-60=430,

当且仅当=x+1,即x=3时等号成立.

故当投入的肥料费用为30元时,一棵该水果树获得的利润最大,最大利润是430元.

变式　解:(1)当x=128时,甲城市投资128万元,乙城市投资112万元,

所以两城市的总收益为f(128)=4-6+×112+2=88(万元).

(2)设甲城市投资x万元,则乙城市投资(240-x)万元,

依题意得解得80≤x≤160.

当80≤x<120时,120<240-x≤160,

f(x)=4-6+32=4+26<26+16.

当120≤x≤160时,80≤240-x≤120,

f(x)=4-6+(240-x)+2=-x+4+56.

令t=,则t∈[2,4],

所以y=-t2+4t+56=-(t-8)2+88,

当t=8,即x=128时,y取得最大值88.

因为88>26+16,所以当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大,且最大总收益为88万元.

【课堂评价】

1.B　[解析] 观察函数f(x)的图像可得,f(x)的最大值、最小值分别为f(0),f,故选B.

2.A　[解析] 因为函数y=-在(0,+∞)上单调递增,y=-的图像是由y=-的图像向左平移一个单位长度得到的,所以y=-在(-1,+∞)上单调递增,则y=-在区间[1,2]上单调递增,所以ymax=-=-.

3.C　[解析] 因为1-x(1-x)=x2-x+1=x-2+≥,所以≤,故f(x)的最大值为.

4.A　[解析] f(x)==1-,当x∈,2时,函数f(x)单调递增,所以当x=时,函数f(x)取得最小值,最小值为f=1-=1-4=-3;当x=2时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(2)=1-=0.故函数f(x)的值域为[-3,0],故选A.

5.-6　1　[解析] 由题意可知,当x∈[-3,-1]时,-1≤y≤1;当x∈(-1,4]时,-6≤y<-1.故该函数的值域为[-6,1],故最小值为-6,最大值为1.