人教A版 (2019)3.4 函数的应用（一）导学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

3.4　函数的应用(一)

【课前预习】

知识点一

1.kx+b(k≠0)

2.ax2+bx+c(a≠0)

【课中探究】

探究点一

例1　(1)D　[解析] 由题意得12x-(6x+30 000)≥0,解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套.

(2)解:①根据题意,得y=90-3(x-50),

化简得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).

②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱的销售利润,

所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).

③因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,

所以当x<60时,w随x的增大而增大,

又50≤x≤55,x∈N,

所以当x=55时,w取得最大值,最大值为1125.

故当销售单价为55元时,该批发商可以获得最大利润,且最大利润为1125元.

变式　解:(1)y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0<x≤200,且x∈N,

y2=18x-(8x+40)-0.05x2=-0.05x2+10x-40,0<x≤120且x∈N.

(2)∵6≤m≤8,∴10-m>0,

∴y1=(10-m)x-20为增函数,

又0<x≤200,x∈N,

∴当x=200时,投资生产A产品有最大年利润,最大年利润为(10-m)×200-20=1980-200m(万美元).

y2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0<x≤120,x∈N,

∴当x=100时,投资生产B产品有最大年利润,最大年利润为460万美元.

(y1)max-(y2)max=1980-200m-460=1520-200m,

当6≤m<7.6时,(y1)max-(y2)max>0,

当m=7.6时,(y1)max-(y2)max=0,

当7.6<m≤8时,(y1)max-(y2)max<0,

∴当6≤m<7.6时,投资生产A产品200件可获得最大年利润;

当7.6<m≤8时,投资生产B产品100件可获得最大年利润;

当m=7.6时,投资生产A产品200件或投资生产B产品100件均可获得最大年利润.

探究点二

例2　解:(1)因为每件药品的售价为0.05万元,所以x千件药品的销售额为0.05×1000x万元,

依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2+10x-250=-x2+40x-250;

当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x+-1450-250=1200-x+.

所以L(x)=

(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,

所以当x=60时,L(x)取得最大值,最大值为950;

当x≥80时,L(x)=1200-x+≤1200-2=1200-200=1000,

当且仅当x=,即x=100时等号成立,所以当x=100时,L(x)取得最大值,最大值为1000.

因为950<1000,所以当年产量为100千件时,生产此药品获得的年利润最大,最大年利润为1000万元,

此时可捐赠1000×1%=10(万元).

变式　解:(1)S(10)=×10×4×10=200,f(10)===20.

(2)当0<m≤10时,f(m)===2m;

当10<m≤20时,f(m)===40-;

当20<m≤30时,f(m)===100-m-;

当m>30时,f(m)===10+.

所以f(m)=

(3)这个班级的家庭作业量为6×1.0+4×1.6+3×4.2=25,

因为f(25)=100-×25-=30.5>30,

所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量.

探究点三

例3　(1)125　[解析] 因为当广告投入为3万元时,药品利润为27万元,所以3α=27,解得α=3,故函数解析式为y=x3,所以当x=5时,y=125.

(2)解:①对A企业投资300万元,则对B企业投资200万元,∴f(300)=P(300)+Q(200)=120+3+×200+160=120+90+50+160=420.

②当对A企业投资x万元时,对B企业投资(500-x)万元.

∵对每个企业至少投资50万元,

∴解得50≤x≤450,

∴f(x)=P(x)+Q(500-x)=120+3+(500-x)+160=-x+3+405(50≤x≤450).

令t=,则x=t2,上式可化为y=-t2+3t+405=-(t-6)2+432(5≤t≤15),

∴当t=6时,y取得最大值,即x=108时,f(x)取得最大值,最大值为432,

故对A企业投资108万元,对B企业投资392万元时,两个企业的年总收益达到最大,最大总收益为432万元.

变式　解:(1)由题意知,当m=0时,x=2,

则2=4-k,解得k=2,∴x=4-.

∵每件产品的销售价格为1.5×元,

∴y=1.5x×-8-16x-m=36--m(m≥0).

(2)∵当m≥0时,m+1>0,

∴y=36--m=37--(m+1)≤37-2=29,当且仅当=m+1,即m=3时,等号成立,

故年促销费用为3万元时,该厂家获得的利润最大,最大利润为29万元.

【课堂评价】

1.B　[解析] 因为v1<v2,所以前一半路程用的时间长,后一半路程用的时间短.故选B.

2.D　[解析] 因为90 min=1.5 h,所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h),则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y=120t(t≥0).

3.D　[解析] 设张先生家2019年人均食品支出总额为x元,则2020年人均食品支出总额为x(1-7.5%)=92.5%x(元),2020年人均消费支出总额为(2×92.5%x+475)元,由题意得2×92.5%x+475+75=2x+475,解得x=500,因为n=≈0.330 4=33.04%,所以由表知张先生家2020年属于富裕家庭.

4.C　[解析] 由图知,生活费收入指数减去生活价格指数的差是逐年增大的,故①正确;生活费收入指数在2010~2011年最陡,故②正确;生活价格指数在2011~2012年最平缓,故③不正确;因为2012年生活价格指数下降,而生活费收入指数上升,故④正确.故选C.

5.2500　[解析] 设每个小矩形中与墙垂直的边的长为a m,另一边的长为b m,则b=(200-4a),记围成矩形的面积为S m2,则S=3ab=a·(200-4a)=-4a2+200a=-4(a-25)2+2500(0<a<50),∴当a=25时,Smax=2500,∴围成的矩形场地的面积最大为2500 m2 .