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2021-2022学年河南省焦作市七年级（上）期末数学试卷(含答案)
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这是一份2021-2022学年河南省焦作市七年级（上）期末数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省焦作市七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置．
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）若∠A＝53°20′，则∠A的补角的度数为（ ）
A．36°40′ B．126°40′ C．127°40′ D．146°40′
3．（3分）地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米．将149 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.149×109 B．1.49×108 C．1.49×109 D．14.9×107
4．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．ab＞0 B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．﹣a＜b
5．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a＝b+ D．＝+
6．（3分）下列方程中，解为x＝﹣3的是（ ）
A．3x﹣＝0 B．x+＝0 C．x﹣1＝0 D．6x+＝0
7．（3分）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为2的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣1 B．x＝5，y＝﹣1 C．x＝﹣3，y＝1 D．x＝0，y＝﹣2
8．（3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正整数）个图形中共有的点数是（ ）
A．6n﹣1 B．6n+4 C．5n﹣1 D．5n+4
9．（3分）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+5＝x﹣5 B．x﹣5＝x+5
C．（x﹣5）＝x+5 D．（x+5）＝x﹣5
10．（3分）定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（ ）
A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）单项式的系数是 ，次数是 ．
12．（3分）如图，点A在点O的北偏西15°方向，点B在点O的北偏东30°方向，若∠1＝∠AOB，则点C在点O的 方向．
13．（3分）已知线段AB＝10cm，C是直线AB上的点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为 ．
14．（3分）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法．
15．（3分）某市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
水量分档
年用水量（立方米）
水价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣180（含180）
5.00
第二阶梯
180﹣260（含260）
7.00
第三阶梯
260以上
9.00
若某户2021年交水费1250元，则此用户共用水量是 立方米．
三、解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣1）2÷+（7﹣3）×﹣|﹣2|；
（2）﹣14﹣0.5÷×[1+（﹣2）2]．
17．（9分）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．
（1）化简2A﹣3B．
（2）当x+y＝，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值．
18．（9分）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体．
（1）请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
（2）用小正方体搭一几何体，使得从上面和左面看到的形状图与你在（1）中所画的图形一致，则搭这样的几何体最多要 个小正方体．
19．（9分）解方程：．
20．（9分）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数．
21．（10分）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
【计算与观察】
（1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝ ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝ ；
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数．
22．（10分）如图，数轴的原点O表示学校的位置，超市位于学校正西600m的点A处，小明家位于学校正东200m的点B处，小明与妈妈在该超市购物后，同时从超市出发，沿AB步行回家，两人的速度大小保持不变．小明先把部分物品送到家，当小明妈妈行至点C处时，小明刚好到家并立即沿原路返回，帮妈妈拿余下的物品．已知小明妈妈每分钟走60m．
（1）小明每分钟走多少米？
（2）两人于何处再次相遇？
（3）从出发到再次相遇，多少分钟时两人相距100m？
23．（11分）如图：点O为直线上一点，过点O作射线OP，使∠AOP＝60°，将一直角三角板的直角顶角放在点O处．
（1）如图1，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，那么钝角∠PON的度数为多少．
（2）如图2，将图1中三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOP的内部，且OM恰好平分∠BOP，此时∠BON的度数．
（3）如图3，继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转α度，使得ON在∠AOP内部，且满足∠AOM＝3∠NOP时，求α的度数．
2021-2022学年河南省焦作市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置．
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）若∠A＝53°20′，则∠A的补角的度数为（ ）
A．36°40′ B．126°40′ C．127°40′ D．146°40′
【分析】根据补角的定义，∠A的补角等于180°减去∠A的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝53°20′，
∴∠A的补角为180°﹣53°20′＝126°40′．
故选：B．
【点评】本题考查了补角的定义，要注意度、分、秒是60进制．
3．（3分）地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米．将149 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.149×109 B．1.49×108 C．1.49×109 D．14.9×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：149 000 000＝1.49×108．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．ab＞0 B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．﹣a＜b
【分析】根据a、b在数轴上的位置即可求出答案．
【解答】解：由图可知：a＜0＜b且a+b＞0，
∴ab＞＜0，|a|＜|b|，a+b＞0，﹣a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是找出a与b的大小关系，本题属于基础题型．
5．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a＝b+ D．＝+
【分析】分别利用等式的基本性质判断得出即可．
【解答】解：由等式3a＝2b+5，可得：3a﹣5＝2b，3a+1＝2b+6，a＝，
当c＝0时，无意义，不能成立，
故选：D．
【点评】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数（或整式），结果仍得等式是解题关键．
6．（3分）下列方程中，解为x＝﹣3的是（ ）
A．3x﹣＝0 B．x+＝0 C．x﹣1＝0 D．6x+＝0
【分析】依次解各个选项的一元一次方程，选出解为x＝﹣3的选项即可．
【解答】解：A．解方程3x﹣＝0得：x＝，即A项错误，
B．解方程x+＝0得：x＝﹣3，即B项正确，
C．解方程得：x＝3，即C项错误，
D．解方程6x+＝0得：x＝﹣，即D项错误，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
7．（3分）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为2的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣1 B．x＝5，y＝﹣1 C．x＝﹣3，y＝1 D．x＝0，y＝﹣2
【分析】首先比较出x、y的大小，然后按如图所示的运算程序，求出每个算式的值各是多少，判断出能使运算输出的结果为2的是哪个选项即可．
【解答】解：∵﹣1＝﹣1，
∴输出结果是：
（﹣1）2﹣（﹣1）＝2．
∵5＞﹣1，
∴输出结果是：
5+（﹣1）2＝6．
∵﹣3＜1，
∴输出结果是：
（﹣3）2﹣1＝8．
∵0＞﹣2，
∴输出结果是：
0+（﹣2）2＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
8．（3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正整数）个图形中共有的点数是（ ）
A．6n﹣1 B．6n+4 C．5n﹣1 D．5n+4
【分析】设第n个图形共有an个点，观察图形，根据各图形点的个数的变化可找出变化规律“an＝6n+4（n为正整数）”，此题得解．
【解答】解：设第n个图形共有an个点（n为正整数），
观察图形，可知：a1＝10＝6+4，a2＝16＝6×2+4，a3＝22＝6×3+4，a4＝28＝6×4+4，…，
∴an＝6n+4（n为正整数）．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形点的个数的变化找出变化规律“an＝6n+4（n为正整数）”是解题的关键．
9．（3分）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+5＝x﹣5 B．x﹣5＝x+5
C．（x﹣5）＝x+5 D．（x+5）＝x﹣5
【分析】设杆子为x托，则索为（x+5）尺，根据“折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程．
【解答】解：设杆子为x托，则索为（x+5）尺，
根据题意得：（x+5）＝x﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
10．（3分）定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（ ）
A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3
【分析】根据新定义规定的运算法则可得|2b﹣4﹣b|＝3，再利用绝对值的性质求解可得．
【解答】解：∵a★b＝3，且a＝2，
∴|2b﹣4﹣b|＝3，
∴2b﹣4﹣b＝3或2b﹣4﹣b＝﹣3，
解得b＝7或b＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义规定的运算法则得出关于b的方程及绝对值的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）单项式的系数是 ，次数是 3 ．
【分析】根据单项式的系数和次数的定义解答．
【解答】解：单项式的系数是，次数是3，
故答案为：；3．
【点评】本题考查的是单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
12．（3分）如图，点A在点O的北偏西15°方向，点B在点O的北偏东30°方向，若∠1＝∠AOB，则点C在点O的 南偏东45°（或东南方向） 方向．
【分析】根据方向角的表示方法，可得答案．
【解答】解：由题意知，∠AOB＝15°+30°＝45°．
∵∠1＝∠AOB，
∴∠1＝45°．
∴点C在点O的南偏东45°（或东南方向）方向．
故答案是：南偏东45°（或东南方向）．
【点评】本题考查了方向角和角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力．
13．（3分）已知线段AB＝10cm，C是直线AB上的点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为 7cm或3cm ．
【分析】根据线段中点的定义求出BM、BN，再分线段BC不在线段AB上和在线段AB上两种情况讨论求解．
【解答】解：∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴BM＝AB＝×10＝5cm，
BN＝BC＝×4＝2cm，
如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5cm+2cm＝7cm，
如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5cm﹣2cm＝3cm，
综上所述，线段MN的长度是7cm或3cm．
故答案为：7cm或3cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论．
14．（3分）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 4 种选法．
【分析】利用正方体的展开图即可解决问题．
【解答】解：如图所示：共四种．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
15．（3分）某市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
水量分档
年用水量（立方米）
水价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣180（含180）
5.00
第二阶梯
180﹣260（含260）
7.00
第三阶梯
260以上
9.00
若某户2021年交水费1250元，则此用户共用水量是 230 立方米．
【分析】首先判断得出用水的取值范围，进而求出答案．
【解答】解：当用水260立方米时，水费为：180×5+（260﹣180）×7＝1460（元）＞1250元，
设该户共用水x立方米，
由题意，可列方程：180×5+7（x﹣180）＝1250，
解得：x＝230，
答：该户共用水230立方米．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确利用表格中数据是解题关键．
三、解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣1）2÷+（7﹣3）×﹣|﹣2|；
（2）﹣14﹣0.5÷×[1+（﹣2）2]．
【分析】（1）先算乘方，除法转化为乘法，括号里的减法运算，绝对值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算乘方，除法转化为乘法，再算括号里的运算，接着算乘法，最后最加减即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2÷+（7﹣3）×﹣|﹣2|
＝1×2+4×﹣2
＝2+3﹣2
＝5﹣2
＝3；
（2）﹣14﹣0.5÷×[1+（﹣2）2]
＝﹣1﹣0.5×4×（1+4）
＝﹣1﹣0.5×4×5
＝﹣1﹣10
＝﹣11．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（9分）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．
（1）化简2A﹣3B．
（2）当x+y＝，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值．
【分析】（1）利用整式加减运算法则化简即可．
（2）把（x+y），xy看作一个整体，代入求值可得．
【解答】解：（1）2A﹣3B
＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy）
＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy
＝7x+7y﹣11xy，
（2）∵x+y＝，xy＝﹣1，
∴2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy＝7×﹣﹣11×（﹣1）＝6+11＝17．
【点评】本题考查了整式加减的混合运算，根据整式加减运算法则化简，代入求值可得．
18．（9分）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体．
（1）请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
（2）用小正方体搭一几何体，使得从上面和左面看到的形状图与你在（1）中所画的图形一致，则搭这样的几何体最多要 10 个小正方体．
【分析】（1）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，3；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可；依此画出图形即可根据三视图的画法画出相应的图形即可；
（2）根据左视图，俯视图看得出要的最多的小立方体的个数．
【解答】解：（1）这个几何体的主视图、左视图和俯视图如下：
（2）根据俯视图可知每个位置均有小立方体，根据左视图可知第一列最多有3个位置放置3个，
因此最多要3+3+3+1＝10（个）．
故搭这样的几何体最多要10个小正方体．
故答案为：10．
【点评】考查了作图﹣三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由左视图得到其余层数里最多的立方块个数．
19．（9分）解方程：．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解．
【解答】解：去分母得：2（2x+1）＝6﹣（1﹣10x），
去括号得：4x+2＝6﹣1+10x，
移项得：4x﹣10x＝6﹣1﹣2，
合并同类项得：﹣6x＝3，
系数化为1得：x＝﹣0.5．
【点评】本题考查解一元一次方程，解题关键是熟知解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
20．（9分）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数．
【分析】求出∠BOC，求出∠AOB，根据角平分线求出∠AOD，代入∠COD＝∠AOD﹣∠AOC求出即可．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝2×40°＝80°，
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝80°+40°＝120°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝×120°＝60°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°﹣40°＝20°．
【点评】本题考查了角的平分线定义和角的计算，关键是求出∠AOD的度数和得出∠COD＝∠AOD﹣∠AOC．
21．（10分）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
【计算与观察】
（1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝ 145° ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝ 30° ；
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．
（2）利用角的和差定义计算即可．
（3）利用（2）的结论计算即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°，
∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°，
∴∠BCA＝145°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：145°，30°；
（2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）．
理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
（3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7，
∴∠DCE+∠DCE＝180°，
解得∠DCE＝40°．
【点评】本题考查余角和补角，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，数轴的原点O表示学校的位置，超市位于学校正西600m的点A处，小明家位于学校正东200m的点B处，小明与妈妈在该超市购物后，同时从超市出发，沿AB步行回家，两人的速度大小保持不变．小明先把部分物品送到家，当小明妈妈行至点C处时，小明刚好到家并立即沿原路返回，帮妈妈拿余下的物品．已知小明妈妈每分钟走60m．
（1）小明每分钟走多少米？
（2）两人于何处再次相遇？
（3）从出发到再次相遇，多少分钟时两人相距100m？
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式计算即可求解；
（2）根据时间＝路程和÷速度和求出相遇的时间，进一步可求两人于何处再次相遇；
（3）可设从出发到再次相遇，x分钟时两人相距100m，分两种情况：①小明到家前；②小明到家后；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）[200﹣（﹣600）]÷[（﹣120+600）÷60]＝100（米）．
故小明每分钟走100米；
（2）因为[200﹣（﹣120）]÷（100+60）＝2（分钟），
2×60+（﹣120）＝0．
故两人于学校（点O处）再次相遇；
（3）设从出发到再次相遇，x分钟时两人相距100m，分两种情况：
①小明到家前，依题意有
100x﹣60x＝100，
解得x＝；
②小明到家后，依题意有
100x+60x+100＝800×2，
解得x＝．
故从出发到再次相遇，或分钟时两人相距100m．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，数轴，解决问题的关键是熟悉速度、路程和时间之间的关系．
23．（11分）如图：点O为直线上一点，过点O作射线OP，使∠AOP＝60°，将一直角三角板的直角顶角放在点O处．
（1）如图1，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，那么钝角∠PON的度数为多少．
（2）如图2，将图1中三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOP的内部，且OM恰好平分∠BOP，此时∠BON的度数．
（3）如图3，继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转α度，使得ON在∠AOP内部，且满足∠AOM＝3∠NOP时，求α的度数．
【分析】（1）根据角的和差关系即可求解；
（2）根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解；
（3）设∠NOP＝x，则∠AOM＝3x，根据角的等量关系即可求解．
【解答】解：（1）∠NOP＝60°+90°＝150°；
（2）∵∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝180°﹣60°＝120°，
∵OM恰好平分∠BOP，
∴∠BOM＝∠BOP＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON+∠BOM＝30°；
（3）设∠NOP＝x，则∠AOM＝3x，∠AON＝60﹣x，
依题意有60﹣x+3x＝90，
解得x＝15°，
∴α＝90°+15°+60°＝165°．
故α的度数是165°．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，互余、平角、角平分线的意义，用方程解几何问题是常用的方法．
2021-2022学年河南省焦作市七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置．
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）若∠A＝53°20′，则∠A的补角的度数为（ ）
A．36°40′ B．126°40′ C．127°40′ D．146°40′
3．（3分）地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米．将149 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.149×109 B．1.49×108 C．1.49×109 D．14.9×107
4．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．ab＞0 B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．﹣a＜b
5．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a＝b+ D．＝+
6．（3分）下列方程中，解为x＝﹣3的是（ ）
A．3x﹣＝0 B．x+＝0 C．x﹣1＝0 D．6x+＝0
7．（3分）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为2的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣1 B．x＝5，y＝﹣1 C．x＝﹣3，y＝1 D．x＝0，y＝﹣2
8．（3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正整数）个图形中共有的点数是（ ）
A．6n﹣1 B．6n+4 C．5n﹣1 D．5n+4
9．（3分）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+5＝x﹣5 B．x﹣5＝x+5
C．（x﹣5）＝x+5 D．（x+5）＝x﹣5
10．（3分）定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（ ）
A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）单项式的系数是 ，次数是 ．
12．（3分）如图，点A在点O的北偏西15°方向，点B在点O的北偏东30°方向，若∠1＝∠AOB，则点C在点O的 方向．
13．（3分）已知线段AB＝10cm，C是直线AB上的点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为 ．
14．（3分）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法．
15．（3分）某市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
水量分档
年用水量（立方米）
水价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣180（含180）
5.00
第二阶梯
180﹣260（含260）
7.00
第三阶梯
260以上
9.00
若某户2021年交水费1250元，则此用户共用水量是 立方米．
三、解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣1）2÷+（7﹣3）×﹣|﹣2|；
（2）﹣14﹣0.5÷×[1+（﹣2）2]．
17．（9分）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．
（1）化简2A﹣3B．
（2）当x+y＝，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值．
18．（9分）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体．
（1）请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
（2）用小正方体搭一几何体，使得从上面和左面看到的形状图与你在（1）中所画的图形一致，则搭这样的几何体最多要 个小正方体．
19．（9分）解方程：．
20．（9分）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数．
21．（10分）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
【计算与观察】
（1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝ ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝ ；
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数．
22．（10分）如图，数轴的原点O表示学校的位置，超市位于学校正西600m的点A处，小明家位于学校正东200m的点B处，小明与妈妈在该超市购物后，同时从超市出发，沿AB步行回家，两人的速度大小保持不变．小明先把部分物品送到家，当小明妈妈行至点C处时，小明刚好到家并立即沿原路返回，帮妈妈拿余下的物品．已知小明妈妈每分钟走60m．
（1）小明每分钟走多少米？
（2）两人于何处再次相遇？
（3）从出发到再次相遇，多少分钟时两人相距100m？
23．（11分）如图：点O为直线上一点，过点O作射线OP，使∠AOP＝60°，将一直角三角板的直角顶角放在点O处．
（1）如图1，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，那么钝角∠PON的度数为多少．
（2）如图2，将图1中三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOP的内部，且OM恰好平分∠BOP，此时∠BON的度数．
（3）如图3，继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转α度，使得ON在∠AOP内部，且满足∠AOM＝3∠NOP时，求α的度数．
2021-2022学年河南省焦作市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置．
1．（3分）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（3分）若∠A＝53°20′，则∠A的补角的度数为（ ）
A．36°40′ B．126°40′ C．127°40′ D．146°40′
【分析】根据补角的定义，∠A的补角等于180°减去∠A的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝53°20′，
∴∠A的补角为180°﹣53°20′＝126°40′．
故选：B．
【点评】本题考查了补角的定义，要注意度、分、秒是60进制．
3．（3分）地球上的陆地面积约为149 000 000平方千米．将149 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.149×109 B．1.49×108 C．1.49×109 D．14.9×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：149 000 000＝1.49×108．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．ab＞0 B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．﹣a＜b
【分析】根据a、b在数轴上的位置即可求出答案．
【解答】解：由图可知：a＜0＜b且a+b＞0，
∴ab＞＜0，|a|＜|b|，a+b＞0，﹣a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是找出a与b的大小关系，本题属于基础题型．
5．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a＝b+ D．＝+
【分析】分别利用等式的基本性质判断得出即可．
【解答】解：由等式3a＝2b+5，可得：3a﹣5＝2b，3a+1＝2b+6，a＝，
当c＝0时，无意义，不能成立，
故选：D．
【点评】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数（或整式），结果仍得等式是解题关键．
6．（3分）下列方程中，解为x＝﹣3的是（ ）
A．3x﹣＝0 B．x+＝0 C．x﹣1＝0 D．6x+＝0
【分析】依次解各个选项的一元一次方程，选出解为x＝﹣3的选项即可．
【解答】解：A．解方程3x﹣＝0得：x＝，即A项错误，
B．解方程x+＝0得：x＝﹣3，即B项正确，
C．解方程得：x＝3，即C项错误，
D．解方程6x+＝0得：x＝﹣，即D项错误，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
7．（3分）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为2的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣1 B．x＝5，y＝﹣1 C．x＝﹣3，y＝1 D．x＝0，y＝﹣2
【分析】首先比较出x、y的大小，然后按如图所示的运算程序，求出每个算式的值各是多少，判断出能使运算输出的结果为2的是哪个选项即可．
【解答】解：∵﹣1＝﹣1，
∴输出结果是：
（﹣1）2﹣（﹣1）＝2．
∵5＞﹣1，
∴输出结果是：
5+（﹣1）2＝6．
∵﹣3＜1，
∴输出结果是：
（﹣3）2﹣1＝8．
∵0＞﹣2，
∴输出结果是：
0+（﹣2）2＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
8．（3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n（n为正整数）个图形中共有的点数是（ ）
A．6n﹣1 B．6n+4 C．5n﹣1 D．5n+4
【分析】设第n个图形共有an个点，观察图形，根据各图形点的个数的变化可找出变化规律“an＝6n+4（n为正整数）”，此题得解．
【解答】解：设第n个图形共有an个点（n为正整数），
观察图形，可知：a1＝10＝6+4，a2＝16＝6×2+4，a3＝22＝6×3+4，a4＝28＝6×4+4，…，
∴an＝6n+4（n为正整数）．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形点的个数的变化找出变化规律“an＝6n+4（n为正整数）”是解题的关键．
9．（3分）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+5＝x﹣5 B．x﹣5＝x+5
C．（x﹣5）＝x+5 D．（x+5）＝x﹣5
【分析】设杆子为x托，则索为（x+5）尺，根据“折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程．
【解答】解：设杆子为x托，则索为（x+5）尺，
根据题意得：（x+5）＝x﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
10．（3分）定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（ ）
A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3
【分析】根据新定义规定的运算法则可得|2b﹣4﹣b|＝3，再利用绝对值的性质求解可得．
【解答】解：∵a★b＝3，且a＝2，
∴|2b﹣4﹣b|＝3，
∴2b﹣4﹣b＝3或2b﹣4﹣b＝﹣3，
解得b＝7或b＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义规定的运算法则得出关于b的方程及绝对值的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）单项式的系数是 ，次数是 3 ．
【分析】根据单项式的系数和次数的定义解答．
【解答】解：单项式的系数是，次数是3，
故答案为：；3．
【点评】本题考查的是单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
12．（3分）如图，点A在点O的北偏西15°方向，点B在点O的北偏东30°方向，若∠1＝∠AOB，则点C在点O的 南偏东45°（或东南方向） 方向．
【分析】根据方向角的表示方法，可得答案．
【解答】解：由题意知，∠AOB＝15°+30°＝45°．
∵∠1＝∠AOB，
∴∠1＝45°．
∴点C在点O的南偏东45°（或东南方向）方向．
故答案是：南偏东45°（或东南方向）．
【点评】本题考查了方向角和角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力．
13．（3分）已知线段AB＝10cm，C是直线AB上的点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为 7cm或3cm ．
【分析】根据线段中点的定义求出BM、BN，再分线段BC不在线段AB上和在线段AB上两种情况讨论求解．
【解答】解：∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴BM＝AB＝×10＝5cm，
BN＝BC＝×4＝2cm，
如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5cm+2cm＝7cm，
如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5cm﹣2cm＝3cm，
综上所述，线段MN的长度是7cm或3cm．
故答案为：7cm或3cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论．
14．（3分）如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 4 种选法．
【分析】利用正方体的展开图即可解决问题．
【解答】解：如图所示：共四种．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
15．（3分）某市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
水量分档
年用水量（立方米）
水价（元/立方米）
第一阶梯
0﹣180（含180）
5.00
第二阶梯
180﹣260（含260）
7.00
第三阶梯
260以上
9.00
若某户2021年交水费1250元，则此用户共用水量是 230 立方米．
【分析】首先判断得出用水的取值范围，进而求出答案．
【解答】解：当用水260立方米时，水费为：180×5+（260﹣180）×7＝1460（元）＞1250元，
设该户共用水x立方米，
由题意，可列方程：180×5+7（x﹣180）＝1250，
解得：x＝230，
答：该户共用水230立方米．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确利用表格中数据是解题关键．
三、解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣1）2÷+（7﹣3）×﹣|﹣2|；
（2）﹣14﹣0.5÷×[1+（﹣2）2]．
【分析】（1）先算乘方，除法转化为乘法，括号里的减法运算，绝对值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算乘方，除法转化为乘法，再算括号里的运算，接着算乘法，最后最加减即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2÷+（7﹣3）×﹣|﹣2|
＝1×2+4×﹣2
＝2+3﹣2
＝5﹣2
＝3；
（2）﹣14﹣0.5÷×[1+（﹣2）2]
＝﹣1﹣0.5×4×（1+4）
＝﹣1﹣0.5×4×5
＝﹣1﹣10
＝﹣11．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（9分）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．
（1）化简2A﹣3B．
（2）当x+y＝，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值．
【分析】（1）利用整式加减运算法则化简即可．
（2）把（x+y），xy看作一个整体，代入求值可得．
【解答】解：（1）2A﹣3B
＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy）
＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy
＝7x+7y﹣11xy，
（2）∵x+y＝，xy＝﹣1，
∴2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy＝7×﹣﹣11×（﹣1）＝6+11＝17．
【点评】本题考查了整式加减的混合运算，根据整式加减运算法则化简，代入求值可得．
18．（9分）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体．
（1）请分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
（2）用小正方体搭一几何体，使得从上面和左面看到的形状图与你在（1）中所画的图形一致，则搭这样的几何体最多要 10 个小正方体．
【分析】（1）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，3；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可；依此画出图形即可根据三视图的画法画出相应的图形即可；
（2）根据左视图，俯视图看得出要的最多的小立方体的个数．
【解答】解：（1）这个几何体的主视图、左视图和俯视图如下：
（2）根据俯视图可知每个位置均有小立方体，根据左视图可知第一列最多有3个位置放置3个，
因此最多要3+3+3+1＝10（个）．
故搭这样的几何体最多要10个小正方体．
故答案为：10．
【点评】考查了作图﹣三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由左视图得到其余层数里最多的立方块个数．
19．（9分）解方程：．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解．
【解答】解：去分母得：2（2x+1）＝6﹣（1﹣10x），
去括号得：4x+2＝6﹣1+10x，
移项得：4x﹣10x＝6﹣1﹣2，
合并同类项得：﹣6x＝3，
系数化为1得：x＝﹣0.5．
【点评】本题考查解一元一次方程，解题关键是熟知解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
20．（9分）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数．
【分析】求出∠BOC，求出∠AOB，根据角平分线求出∠AOD，代入∠COD＝∠AOD﹣∠AOC求出即可．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝2×40°＝80°，
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝80°+40°＝120°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝×120°＝60°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°﹣40°＝20°．
【点评】本题考查了角的平分线定义和角的计算，关键是求出∠AOD的度数和得出∠COD＝∠AOD﹣∠AOC．
21．（10分）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
【计算与观察】
（1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝ 145° ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝ 30° ；
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数．
【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．
（2）利用角的和差定义计算即可．
（3）利用（2）的结论计算即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°，
∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°，
∴∠BCA＝145°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：145°，30°；
（2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）．
理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
（3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7，
∴∠DCE+∠DCE＝180°，
解得∠DCE＝40°．
【点评】本题考查余角和补角，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，数轴的原点O表示学校的位置，超市位于学校正西600m的点A处，小明家位于学校正东200m的点B处，小明与妈妈在该超市购物后，同时从超市出发，沿AB步行回家，两人的速度大小保持不变．小明先把部分物品送到家，当小明妈妈行至点C处时，小明刚好到家并立即沿原路返回，帮妈妈拿余下的物品．已知小明妈妈每分钟走60m．
（1）小明每分钟走多少米？
（2）两人于何处再次相遇？
（3）从出发到再次相遇，多少分钟时两人相距100m？
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式计算即可求解；
（2）根据时间＝路程和÷速度和求出相遇的时间，进一步可求两人于何处再次相遇；
（3）可设从出发到再次相遇，x分钟时两人相距100m，分两种情况：①小明到家前；②小明到家后；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）[200﹣（﹣600）]÷[（﹣120+600）÷60]＝100（米）．
故小明每分钟走100米；
（2）因为[200﹣（﹣120）]÷（100+60）＝2（分钟），
2×60+（﹣120）＝0．
故两人于学校（点O处）再次相遇；
（3）设从出发到再次相遇，x分钟时两人相距100m，分两种情况：
①小明到家前，依题意有
100x﹣60x＝100，
解得x＝；
②小明到家后，依题意有
100x+60x+100＝800×2，
解得x＝．
故从出发到再次相遇，或分钟时两人相距100m．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，数轴，解决问题的关键是熟悉速度、路程和时间之间的关系．
23．（11分）如图：点O为直线上一点，过点O作射线OP，使∠AOP＝60°，将一直角三角板的直角顶角放在点O处．
（1）如图1，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，那么钝角∠PON的度数为多少．
（2）如图2，将图1中三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOP的内部，且OM恰好平分∠BOP，此时∠BON的度数．
（3）如图3，继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转α度，使得ON在∠AOP内部，且满足∠AOM＝3∠NOP时，求α的度数．
【分析】（1）根据角的和差关系即可求解；
（2）根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解；
（3）设∠NOP＝x，则∠AOM＝3x，根据角的等量关系即可求解．
【解答】解：（1）∠NOP＝60°+90°＝150°；
（2）∵∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝180°﹣60°＝120°，
∵OM恰好平分∠BOP，
∴∠BOM＝∠BOP＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON+∠BOM＝30°；
（3）设∠NOP＝x，则∠AOM＝3x，∠AON＝60﹣x，
依题意有60﹣x+3x＝90，
解得x＝15°，
∴α＝90°+15°+60°＝165°．
故α的度数是165°．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，互余、平角、角平分线的意义，用方程解几何问题是常用的方法．
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