山东省东营市利津县北岭中学等四校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(解析版)

这是一份山东省东营市利津县北岭中学等四校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(解析版)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省东营市利津县北岭中学等四校2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分。）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
2．关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为直线y＝3
C．当x≥3时，y随x增大而增大
D．当x≥3时，y随x增大而减小
3．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（　　）

A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
4．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（　　）

A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）
5．下列语句中不正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对
6．小明、小颖和小凡都想去影院看电影，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（　　）
A．三人获胜的概率相同 B．小明获胜的概率大
C．小颖获胜的概率大 D．小凡获胜的概率大
7．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
8．在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值的大小关系是（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
9．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其他区别，小红搅匀后从中一次摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8小题，11-14小题每小题3分，15-18小题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果。）
11．已知点P（1，﹣5）在反比例函数y＝的图象上，则k的值是 　 　．
12．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是　 　．

13．若等腰三角形两边为4，10，则底角的正弦值是　 　．
14．小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是 　 　．
15．（4分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x＝　 　元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
16．（4分）以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝12cm，则圆环的面积 　 　cm2（结果保留π的形式）．
17．（4分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　 　．
18．（4分）
（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM＝CN，易证△ABM≌△BCN；
（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
　 　 　
　 　 　
　 　 　
…
　 　 　

三、解答题（本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：2cos60°+（﹣1）2017+|﹣3|﹣（﹣1）0．
20．（8分）为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）

（1）在这次问卷调查中，一共抽查了　 　名同学；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校3000名同学中有人喜爱足球活动；
（4）学校准备从随机调查喜欢跑步和喜欢舞蹈的同学中分别任选一位参加课外活动总结会．若被随机调查的同学中，喜欢跑步的男生有3名，喜欢舞蹈的女生有2名，请用列表或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
21．（8分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

22．（10分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）

23．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标以及△AOC的面积；
（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．

24．（10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．

25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分。）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先由勾股定理求出斜边c的长，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，
∴c＝＝5，
∴sinA＝＝．
故选：A．
【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．
2．关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为直线y＝3
C．当x≥3时，y随x增大而增大
D．当x≥3时，y随x增大而减小
【分析】已知二次函数的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴，逐一判断即可．
【解答】解：顶点坐标为（3，2），故A选项错误；
对称轴为直线x＝3，故选项B错误；
因为二次项系数为2＞0，故函数图象开口向上对称轴为直线x＝3，
故当x≥3时，y随x增大而增大，故C选项正确；D选项错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（　　）

A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【分析】由题意易得，小亮离光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，即可得到身影的变化特点．
【解答】解：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了投影的知识，可运用投影的知识或直接联系生活实际解答．
4．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（　　）

A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故选：C．
【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
5．下列语句中不正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断．
【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；
能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
6．小明、小颖和小凡都想去影院看电影，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（　　）
A．三人获胜的概率相同 B．小明获胜的概率大
C．小颖获胜的概率大 D．小凡获胜的概率大
【分析】利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可．
【解答】解：如图所示：

所有的可能为；（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
故小明获胜的概率为：，小颖获胜的概率为：，小凡获胜的概率为：，
故此游戏小凡获胜概率大，
故选：D．
【点评】本题主要考查列表法和树状图，正确利用树状图法求概率是解题关键．
7．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接OC，根据题意OE＝OC﹣1，CE＝3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．
【解答】解：连接OC，
∵弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，
∴OE＝OC﹣1，CE＝3，
∴OC2＝（OC﹣1）2+32，
∴OC＝5，
∴AB＝10．
故选：C．

【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．
8．在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值的大小关系是（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】先根据反比例函数中k＝a2+1＞0判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵在函数y＝（a为常数）中k＝a2+1＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣4＜﹣1＜0，
∴0＞y1＞y2．
∵3＞0，
∴y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
9．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其他区别，小红搅匀后从中一次摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中摸出的2个球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中摸出的2个球都是红球的结果有2种，
∴摸出的2个球都是红球的概率为＝，
故选：A．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中，正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0以及函数经过原点即可判断①，由抛物线的对称轴方程得到为b＝2a＜0，以及a的符号即可判断③；根据x＝1时的函数值可以判断②；根据抛物线与x轴交点个数得到Δ＝b2﹣4ac＞0，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
则abc＝0，所以①正确；
当x＝1时，函数值是a+b+c＜0，则②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，
∴b＝3a＜0，
又∵a＜0，
∴a＞b，则③正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共8小题，11-14小题每小题3分，15-18小题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果。）
11．已知点P（1，﹣5）在反比例函数y＝的图象上，则k的值是 　﹣5　．
【分析】将点P（1，﹣5）代入y＝，即可求出k的值．
【解答】解：∵点P（1，﹣5）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣5＝，
解得k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上，则点的坐标满足函数的解析式．
12．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是　左视图　．

【分析】如图可知该几何体的正视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解．
【解答】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，

左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由5个小正方形组成，
故三种视图面积最小的是左视图．
故答案为：左视图．
【点评】本题考查的是三视图的知识以及学生对该知识点的巩固，难度属简单．解题关键是找到三种视图的正方形的个数．
13．若等腰三角形两边为4，10，则底角的正弦值是　　．
【分析】根据三角形三边关系定理确定腰和底边的长．作底边上的高，利用三角函数的定义求解．
【解答】解：∵4+4＝8＜10，
∴AB＝AC＝10，BC＝4．
过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝2．
∵AB＝AC＝10，
∴AD＝＝＝4，
∴sin∠ABD＝＝＝，
故答案为．

【点评】本题考查了三角函数的定义以及三角形三边关系定理，掌握分类思想是解题的关键．
14．小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是 　200°　．
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解：根据周长公式可得：
周长＝10π，
即为侧面展开扇形弧长，再根据弧长公式列出方程得：
10π＝，
解得n＝200°，
故答案为：200°．
【点评】本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
15．（4分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x＝　4　元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
【分析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
【解答】解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，
∴y＝（8﹣x）x，即y＝﹣x2+8x，
∴当x＝﹣＝﹣＝4时，y取得最大值．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题的关键．
16．（4分）以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝12cm，则圆环的面积 　36π　cm2（结果保留π的形式）．
【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到OC⊥AB，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理、圆的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝AB＝6cm，OA2﹣OC2＝AC2，
∴S圆环＝π•OA2﹣π•OC2＝π•AC2＝36π（cm2），
故答案为：36π．

【点评】本题考查了切线的性质以及垂径定理和勾股定理的运用，解答此题的关键是连接OA、OC，构造出直角三角形，利用切线的性质及勾股定理解答．
17．（4分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　k≥﹣且k≠0　．
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为k≥﹣且k≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，不仅要熟悉二次函数与x轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式．
18．（4分）
（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM＝CN，易证△ABM≌△BCN；
（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
　 　90°　
　 　108°　
　 　120°　
…
　 　＝　

【分析】（1）根据等边三角形的性质、SAS定理证明△ABM≌△BCN；
（2）结合（1）根据三角形的外角的性质求出∠BQM，然后仿照正三角形的结论，计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）解：正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠BAM+∠ABQ＝∠CBN+∠ABQ＝90°，
同理正五边形ABCDE中，∠BQM＝108°，
正六边形ABCDEF中，∠BQM＝120°，
正n边形ABCD…中，∠BQM＝，
故答案为：90°；108°；120°；．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的概念和性质、三角形的外角的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：2cos60°+（﹣1）2017+|﹣3|﹣（﹣1）0．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、乘方、零指数幂、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：2cos60°+（﹣1）2017+|﹣3|﹣（﹣1）0
＝2×﹣1+3﹣1
＝1﹣1+3﹣1
＝2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、乘方、零指数幂、绝对值等考点的运算．
20．（8分）为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）

（1）在这次问卷调查中，一共抽查了　50　名同学；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校3000名同学中有人喜爱足球活动；
（4）学校准备从随机调查喜欢跑步和喜欢舞蹈的同学中分别任选一位参加课外活动总结会．若被随机调查的同学中，喜欢跑步的男生有3名，喜欢舞蹈的女生有2名，请用列表或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）由喜欢跑步的有5名同学，占10%，即可求得总人数；
（2）由（1）可求得喜欢足球的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，求得答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵喜欢跑步的有5名同学，占10%，
∴在这次问卷调查中，一共抽查了学生数：5÷10%＝50（名）；
故答案为：50；

（2）喜欢足球人数：50﹣5﹣20﹣5﹣3＝17；
补全统计图：


（3）该校3000名同学中有人喜爱足球活动的有：3000×＝1020（名）；

（4）画树状图得：

∵共有15等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有8种情况，
∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

【分析】（1）①利用y＝﹣200x2+400x＝﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）求出x＝11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
【解答】解：（1）①y＝﹣200x2+400x＝﹣200（x﹣1）2+200，
∴x＝1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②∵当x＝5时，y＝45，y＝（k＞0），
∴k＝xy＝45×5＝225；

（2）不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x＝11代入y＝，则y＝＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【点评】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
22．（10分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）

【分析】在Rt△ABC中，根据AB＝5米，∠ABC＝45°，求出AC的长度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝5（米），∠ABC＝45°，
∴AC＝ABsin45°＝5×＝（米），
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
∴AD＝＝5＝5×1.414＝7.07（米），
AD﹣AB＝7.07﹣5＝2.07（米）．
答：改善后滑滑板约会加长2.07米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．
23．（10分）如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标以及△AOC的面积；
（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．

【分析】（1）根据S△AOB＝|k|，可求k的值，即可求解析式；
（2）两个解析式构成方程组可求点A，点C坐标，即可△AOC的面积；
（3）由图象可得当一次函数图象在反比例函数图象上面的x的取值范围．
【解答】解：（1）设点A（x，y），则xy＝k，
∵S△ABO＝，
∴（﹣x）•y＝，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数解析式y＝﹣，一次函数解析式y＝﹣x+2，
（2）由，
解得或，
∴A（﹣1，3）、C（3，﹣1），
∵一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
∴S△AOC＝×2×（3+1）＝4，
（3）由图象可得：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数系数k的几何意义，利用方程组求交点坐标是本题的关键．
24．（10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE＝∠DEM＝90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE＝∠DEM＝90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠AED＝90°．
∵∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴．
∴．
则AC＝15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．

【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC＝S△MNC+S△MNB＝MN（OD+DB）＝MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：
，
解得；
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；
∵S△BNC＝S△MNC+S△MNB＝MN（OD+DB）＝MN•OB，
∴S△BNC＝（﹣m2+3m）•3＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为．

【点评】该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．（3）的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．