2022-2023学年湖南省常德市高二下册数学期末模拟试题（含解析）

2022-2023学年湖南省常德市高二下册数学期末模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知双曲线：(，)的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为(  )

A、      B、      C、       D、

2．已知点为抛物线()上一点，则到其焦点的距离为(  )

A、       B、      C、      D、

3．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数(      )

A、        B、       C、        D、

4．已知数列的首项，，则(  )

A、     B、       C、      D、

5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　 )

A． B． C． D．

6.设函数的导函数是，若，则（   ）

    A、   B、   C、   D、

7．已知数列、满足，，，则数列的前项和为(   )

A、   B、    C、    D、

8. 已知、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是(  )

A、         B、        C、      D、

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足、、，则下列结论中错误的是(     )

A、    B、   C、是数列中的最大值    D、

10.已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)

A．1              B．－1                C.                  D．－

11．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为(      )

A、      B、       C、      D、

12. 设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”.下列命题正确的是(       )

A、等差数列可能为“和等比数列”

B、等比数列可能为“和等比数列”

C、非等差等比数列不可能为“和等比数列”

D、若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知数列的前项和，        

14．已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则        

15.若直线l：mx＋ny－m－n＝0将圆C：2＋2＝4的周长分为2∶1两部分，则直线l的斜率为________．

16. 已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为         ；若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项的和为         （本小题第一个空2分，第二个空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

18．（12分）已知数列和都是等差数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求证.

19．（12分）已知数列满足，，(且).

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的通项公式.

20．（12分）已知椭圆C:的离心率为,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.

(1)    求椭圆的方程；

(2)    直线与椭圆C交于A、B两点，与轴交于点P,线段AB的垂直平分线与AB 交于点M,与轴交于点N,O为坐标原点，如果，求的值.

21．（12分）已知数列满足，，数列满足，

(1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式；

(2)数列满足，求数列的前项和.

22．（12分）已知点是圆：上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称，线段的中垂线分别与、交于、两点.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)直线经过，与抛物线交于、两点，与交于、两点，当以为直径的圆经过时，求.

答案

1-4    5-8

9. AD    10. AB     11. AB     12. ABD

13. 73
14. 5
16.     3782

17.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

解　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，

(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，，

(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.

(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.

(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.

故两圆的公共弦的长为2＝2.

18.已知数列和都是等差数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求证.

(1)设等差数列的公差为，∵，∴，，             则，，，                               

又数列是等差数列，∴，                    

 化简得，解得，                                       

则；                                                

(2)由(1)可知，                                                    

当时，，，符合，                                   

当时，，                              

，

综上，当时，.

19．（12分）已知数列满足，，(且)。

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的通项公式.

(1)    当时，，                                        

当时，

，            

∴数列是以为首项，为公差的等差数列；                   

(2)    由(1)知，，                              

即，                                                

∴当时，、、…、，

∴利用累加公式可得：  

，                                    

又当时，，满足上式，                        

 ∴，.

20．（12分）已知椭圆C:的离心率为,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆C交于A、B两点，与轴交于点P,线段AB的垂直平分线与AB 交于点M,与轴交于点N,O为坐标原点，如果，求的值.

(1)                  

21．（12分）已知数列满足，，数列满足，.

(1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式；

(2)数列满足，求数列的前项和.

(1)∵当时，，             1分

又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，                3分

∴，∴()；                           5分

(2)∵，∴，                6分

当时，当时，                                   7分

∴，

当时符合，∴，                                                  9分

∴，                    10分

∴

.                                                        12分

22．（12分）已知点是圆：上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称，线段的中垂线分别与、交于、两点.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)直线经过，与抛物线交于、两点，与交于、两点，当以为直径的圆经过时，求.

(1)由题意得，，圆的半径为，且，       1分

∴，

∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆，                                     2分

设：()，则、，∴，

则轨迹的方程为；                                              3分

(2)当直线与轴垂直时，可取，，又，此时，

∴以为直径的圆不经过，不满足条件，                                  4分

当直线不与轴垂直时，设：，由，

得，恒成立，∴恒有两个交点，             6分

设，，则，，              7分

∵以为直径的圆经过，∴，

又，∴，

即，解得，                      9分

由得：，∵直线与抛物线有两个交点，∴，

设、，则，，            11分

∴.                                    12分