数学必修 第一册4.4 对数函数第1课时课后练习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.4.2　对数函数的图像和性质

第1课时　对数函数的图像和性质

1.D　[解析] 对于A,根据y=log0.5x为减函数,易知正确;对于B,由log34>log33=1=log55>log65可知正确;对于C,由log34=1+log3>1+log3>1+log5=log56可知正确;对于D,由π>e>1得,logeπ>1>logπe,可知错误.

2.A　[解析] 令4个函数取同样的函数值1,即1=logax1,1=logbx2,1=logcx3,1=logdx4,解得x1=a,x2=b,x3=c,x4=d,作出y=1的图像(图略),从左到右依次与4个函数的图像交于A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),所以c<d<1<a<b,故选A.

3.D　[解析] 因为幂函数f(x)是偶函数,所以a+2为偶数,且a2-a-1=1,即a=2,所以g(x)=logm(x-2)+3(0<m<1),令x-2=1,得x=3,又g(3)=logm1+3=3,所以函数g(x)的图像恒过定点(3,3).

4.D　[解析] ∵2a=3,∴a=log23,又1=log22<log23<log25,∴b>a>1.∵3c=2,∴c=log32,又0=log31<log32<log33=1,∴0<c<1,∴b>a>c,故选D.

5.D　[解析] 只需把函数y=ln x的图像向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度,即可得到函数y=ln(x-3)-1=ln的图像,故选D.

6.D　[解析] 令x-1=t,则x=t+1,t+1>0,所以f(t)=lg(t+1),故函数f(x)的解析式为f(x)=lg(x+1),则不等式f(x)<0为lg(x+1)<0,解得-1<x<0,故选D.

7.ABC　[解析] 对于A,若a,b均大于0且小于1,则由loga2<logb2知,必有0<b<a<1,故A中式子可能成立;对于B,若logb2>0>loga2,则有0<a<1<b,故B中式子可能成立;对于C,若a,b均大于1,则由loga2<logb2知,必有a>b>1,故C中式子可能成立;对于D,当0<b<1<a时,loga2>0,logb2<0,此时loga2<logb2不可能成立.故选ABC.

8.ACD　[解析] 由题意得2=loga4,即a=2,故f(x)=log2x.对于A,因为2>1,所以函数f(x)为增函数;对于B,因为函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=log2x不是偶函数;对于C,当x>1时, f(x)=log2x>log21=0成立;对于D,因为函数f(x)=log2x的图像往上凸,所以若0<x1<x2,则<f成立.故选ACD.

9.(4,-1)　[解析] ∵y=logax的图像恒过定点(1,0),∴令x-3=1,得x=4,则y=loga(4-3)-1=-1,故点P的坐标是(4,-1).

10.[0,1]　[解析] 设f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f(9)=2,所以loga9=2,可得a=3,即f(x)=log3x,又x∈[1,3],所以0≤f(x)≤1,即f(x)的取值范围是[0,1].

11.0,　[解析] ∵x∈(-1,0),∴x+1∈(0,1),要使函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,只需0<2a<1,解得0<a<.

12.,1　[解析] ∵函数y=logax+a+的图像经过第二、三、四象限,∴解得<a<1.

13.解:(1)∵22a+1>25a-2,∴2a+1>5a-2,解得a<1,又a>0,∴0<a<1.

(2)由(1)知0<a<1,则loga(3x+1)<loga(7-5x)等价于解得<x<,即不等式的解集为,.

(3)∵0<a<1,∴函数y=loga(2x-1)在区间[1,3]上单调递减,

∴当x=3时,y取得最小值-2,

即loga5=-2,∴a-2==5,解得a=或a=-(舍去),

故a=.

14.解:(1)函数y=log2(x-1)的图像是由函数y=log2x的图像向右平移1个单位长度得到的.

(2)y=|log2(x-1)|的图像如图所示.

(3)不妨设x1<x2,在同一坐标系中作出y=的图像,如图所示.

由图知1<x1<2,2<x2<3,

所以M=(x1-2)(x2-2)<0,故M的符号为负.

15.C　[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数y=lox,y=lox的图像,如图所示.

由图可得,当0<a<b<1时,loa=lob不可能成立;当0<b<a<1时,loa=lob可能成立;当 1<a<b时,loa=lob可能成立;当a>b>1时,loa=lob不可能成立;当a=b=1时,loa=lob=0.故选C.

16.ABC　[解析] 对于A,ab<aa<ba,故A正确;对于B,因为>1,b-a>0,所以b-a>1,整理得aabb>abba,故B正确;对于C,因为0<1-a<1,0<a<b<1,所以log(1-a)a>log(1-a)b,则loga(1-a)<logb(1-a),又0<1-b<1-a<1,0<b<1,所以logb(1-b)>logb(1-a),所以loga(1-a)<logb(1-b),故C正确;对于D,取a=,b=,则loga(1+b)=lo=lo,logb(1+a)=lo,因为=>,所以loga(1+b)<logb(1+a),故D不正确.故选ABC.

17.解:(1)当a2-1≠0时,由题意得解得a<-1或a>.

当a2-1=0时,得a=±1.

当a=-1时,f(x)=lg 1,符合题意;

当a=1时,f(x)=lg(2x+1),f(x)的定义域为-,+∞,不符合题意.

综上,实数a的取值范围为(-∞,-1]∪,+∞.

(2)只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,f(x)的值域就为(-∞,+∞).

当a2-1≠0时,

由题意得解得1<a≤.

由a2-1=0,得a=±1.当a=1时,t=2x+1,符合题意;

当a=-1时,t=1,不符合题意.

综上,实数a的取值范围为1,.