数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示精练

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第三章　函数的概念与性质

3.1　函数的概念及其表示

3.1.1　函数的概念

1.C　[解析] ①的定义域不是集合P;②能;③能;④与函数的定义矛盾.故选C.

2.C　[解析] 由解得x≥且x≠2,∴函数f(x)=+的定义域为,2∪(2,+∞).故选C.

3.D　[解析] 对于选项A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同,不是同一个函数;对于选项B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同,不是同一个函数;对于选项C,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,两个函数的定义域不同,不是同一个函数;对于选项D,f(x),g(x)的定义域均为{x|x≠0},对应关系也相同,故两个函数是同一个函数.故选D.

4.A　[解析] 因为函数y=的定义域是(-∞,1),即x<1,所以x-1<0,所以<0,故函数y=的值域是(-∞,0),故选A.

5.D　[解析] 因为函数y=f(x)的定义域为(-3,3),所以令-3<2x-1<3,解得-1<x<2,所以y=f(2x-1)的定义域为M={x|-1<x<2},又N=xy=+,所以N={x|1<x≤5},所以M∪N={x|-1<x≤5},故选D.

6.C　[解析] ∵函数y=f(x+1)的定义域为(-2,0),即-2<x<0,∴-1<x+1<1,则y=f(x)的定义域为(-1,1),由-1<2x-1<1,得0<x<1,∴y=f(2x-1)的定义域为(0,1).故选C.

7.AC　[解析] 对于A,函数f(x)=3x-1的值域为R,故A正确;对于B,函数f(x)=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故B错误;对于C,当x≤2时,函数f(x)=x2∈[0,+∞),当x>2时,f(x)=-(x-2)2∈(-∞,0),所以函数f(x)=的值域为R,故C正确;对于D,函数f(x)=|x|-2的值域为[-2,+∞),故D错误.故选AC.

8.BC　[解析] 对于A,f(x)的值域为{0,1},故A错误;对于B, f(x)的定义域为R,故B正确;对于C,当x是有理数时,x+1也是有理数,当x是无理数时,x+1也是无理数,故f(x+1)=f(x),故C正确;对于D,因为f=1,所以f(x)的图像经过点,1,故D错误.故选BC.

9.[-2,1)∪(1,2]　[解析] 由题意可得解得-2≤x<1或1<x≤2.

10.[0,1)　[解析] f(x)===1-,因为x2+1≥1,所以0<≤1,故f(x)的值域为[0,1).

11.(0,1]　[解析] ∵y=f(x-3)的定义域是[-2,4],∴-2≤x≤4,∴-5≤x-3≤1,∴y=f(x)的定义域为[-5,1].要使y=有意义,只需解得0<x≤1,故所求定义域是(0,1].

12.y=250+50x,x∈{x∈N*|x≤10}　750　[解析] 根据题意,该同学计划第一天记忆300个单词,第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量,则y=300+(x-1)×50=250+50x,x∈{x∈N*|x≤10}.因为函数的值域为{300,350,400,450,500,550,600,650,700,750},所以y的最大值为750.

13.解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3}.因为f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,

同理可得f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,

所以函数的值域为{1,2,5}.

(2)函数的定义域为R.

因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞).

(3)函数的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞).因为f(x)==5+,所以函数的值域为(-∞,5)∪(5,+∞).

(4)要使函数有意义,只需x+1≥0,

即x≥-1,故函数的定义域是[-1,+∞).

设t=,则x=t2-1(t≥0),于是y=t2-1-t=t-2-,

因为t≥0,所以y≥-,

所以函数的值域是-,+∞.

14.解:(1)因为f(x)==1-,

所以f(2)=1-=,f=1-=,

f(3)=1-=,f=1-=.

(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f=1.

证明如下:f(x)+f=+=+=1.

(3)由(2)知f(x)+f=1,

所以f(2)+f=1,f(3)+f=1,f(4)+f=1,…,f(2021)+f=1,

所以f(2)+f+f(3)+f+…+f(2021)+f=2020.

15.A　[解析] ∵函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),∴f(8)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=6f()=3,∴f()=.故选A.

16.D　[解析] ∵函数f(x)=的定义域为R,∴mx2+4mx+3≠0对于x∈R恒成立,∴当m≠0时,Δ<0,解得0<m<;当m=0时,符合题意.故选D.

17.解:存在.理由如下:

函数f(x)=x2-x+=(x-1)2+1图像的对称轴方程为x=1,且开口向上,顶点坐标为(1,1).

∵m>1,∴当x∈[1,m]时,y随x的增大而增大,

∴要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],

则有∴m2-m+=m,即m2-4m+3=0,

∴m=3或m=1(舍去),∴存在实数m=3满足条件.