人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.2.2　同角三角函数的基本关系

1.B　[解析] 因为α是第三象限角,且sin α=-,所以cos α=-,所以tan α==.故选B.

2.A　[解析] ∵cos(α-2π)=cos α=-,且α为第二象限角,∴sin α===,故选A.

3.D　[解析] 由tan α=,得=,即sin α=cos α,代入sin2α+cos2α=1,得cos α=±,∵sin α<0,tan α>0,∴α为第三象限角,则cos α=-.故选D.

4.B　[解析] = =|cos 160°|=-cos 160°.故选B.

5.B　[解析] ==.

6.C　[解析] 由=,得sin α=3cos α,cos α≠0,所以tan α=3,故sin αcos α===,故选C.

7.B　[解析] 由题意得∴(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=-2×=1,解得m=1±.又关于x的方程4x2+2mx+m=0有实根,∴Δ=(2m)2-16m≥0,解得m≤0或m≥4.综上,m的值为1-.故选B.

8.BC　[解析] 由α是三角形内角,得α∈(0,π).由(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=2,得2sin αcos α=.∵sin αcos α>0且α∈(0,π),∴sin α>0,cos α>0,sin α-cos α的符号不确定,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-=,∴sin α-cos α=±.故选BC.

9.　[解析] ∵sin2α++cos2α+=1,∴sin2α+=1-=.∵0<α<,∴<α+<,∴sinα+=.

10.-　[解析] 方法一:由==,解得tan α=-.

方法二:由=,得3sin α=-cos α,且cos α≠0,∴tan α=-.

11.cos 20°　[解析] ====|cos 20°|=cos 20°.

12.　[解析] ∵θ为第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0.∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=.又sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=.

13.解:(1)∵sin α+3cos α=0,∴tan α=-3,

∴sin2α+2sin αcos α===.

(2)由题意得tan α·=k2-3=1,解得k=±2.

∵3π<α<π,∴tan α>0,sin α<0,cos α<0,

∴tan α+=k=2,得tan α=1,

则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.

14.证明:(1)∵1-2sin α·cos α=(sin α-cos α)2,

且1+sin α-cos α≠0,

∴左边===sin α-cos α=右边.

故原等式成立.

(2)由=1,可得tan α=-,

∴=-,即cos α=-2sin α.

∵左边=cos α-sin α=-3sin α,

右边=3(cos α+sin α)=-3sin α,∴右边=左边,故原等式成立.

15.A　[解析] 由0<A<π,得sin A>0.由sin A+cos A=a,两边平方得(sin A+cos A)2=a2,即sin2A+cos2A+2sin Acos A=1+2sin Acos A=a2,又a∈(0,1),所以2sin Acos A=a2-1<0,所以cos A<0,又sin A+cos A=a>0,所以sin A>-cos A>0,则tan A<-1.分析四个选项可知选A.

16.-2　[解析] 由已知得(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=2,∴sin θcos θ=-,∴tan θ+=+==-2.

17.解:(1)因为cos4-sin4=cos2+sin2cos2-sin2=cos2-sin2=-=,cos=,所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.

(2)因为cos4-sin4=cos2+sin2cos2-sin2=cos2-sin2=-=0,cos=0,所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.

(3)证明:cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x.

(4)推测cos2x-sin2x=cos 2x.